第四章对数运算与对数函数复习课导学案高中数学新北师大版必修第一册

第四章对数运算与对数函数复习课(1分钟)1.构建知识体系，明确知识与方法的联系，将知识转化为技能，提高综合应用能力.2.掌握本章主要题型及解法，熟悉各类题型的解题步骤和思想方法.3.培养数学运算、数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养.（2分钟）教师引导学生先自行构建思维导图，可选几个学生进行展示，充分肯定学生的优点，在主体结构基本合理的前提下，允许有漏洞，鼓励形式多样化，然后公布下面的知识框图：（2分钟）1.对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据对数的运算性质，在进行对数的运算时还要注意公式相互间的转化.2.对数函数的图象与性质是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0，1)和(1，+∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点.3.比较几个数的大小是对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较.4.求含有对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集，最后结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间.5.函数图象是高考考查的重点内容，对数函数的图象及其变换是主要考点，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质.在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．（1分钟）题型一：对数的化简与求值题型二：比较大小题型三：对数函数的图象及应用题型四：对数函数的单调性与奇偶性问题题型五：转化与化归思想的应用题型六：解简单的对数方程或不等式……(自主归纳)(根据学情，选讲部分探究，约31分钟)探究1：对数的运算【例1】计算：(1)(lg5)2+lg2lg50+21(2)2log32-log33227+log38+log34×log23【方法指导】根据对数的运算法则和换底公式，即可求解.【解析】(1)原式=(lg5)2+2lg2lg5+(lg2)2+21·2=(lg5+lg2)2+21·2=1+25.(2)原式=2log32-5log32+3log33+3log32+2×lg2=3+2=5.【方法小结】(1)对数的运算：注意在公式应用过程中，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行.(2)底数相同的对数式化简的两种基本方法：①将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；②将积(商)的对数拆成对数的和(差).探究2：比较大小【例2】已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为().A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【方法指导】根据对数函数的单调性并引入中间量比较大小关系.【解析】因为a=log52<log55=12，b=log0.50.2>log0.50.25=2，0.51<0.50.2<0.故12<c<1，所以a<c<b【答案】A【方法小结】比较对数式大小的策略：①能化成同底数的先化成同底数对数式，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.探究3：对数函数的图象问题【例3】若函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是().【解析】由题意知y=logax(a>0，且a≠1)的图象过点(3，1)，可得a=3.选项A中，y=3-x=13x，显然图象错误；选项B中，y=x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y=(-x)3=-x3，显然与所画图象不符；选项D中，y=log3(-x)的图象与y=log3x的图象关于y轴对称，显然不符.故选【答案】B【方法小结】识别函数的图象从以下几个方面入手①单调性：函数图象的变化趋势.②奇偶性：函数图象的对称性.③特殊点对应的函数值.探究4：对数函数的单调性与奇偶性问题【例4】设f(x)=log131-(1)求a的值；(2)证明f(x)在区间(1，+∞)内单调递增.【方法指导】(1)由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得a的值；(2)运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证.【解析】(1)∵f(-x)=-f(x)，∴log131+ax-1∴1+ax-x-1=x-11-ax，即(1+ax解得a=±1，检验知a=1应舍去，∴a=-1.(2)由(1)可知f(x)=log13x+任取1<m<n，则n-1>m-1>0，即有0<2n∴1+2n-1<1+2m-∴log13n+1n-1>log13m∴f(x)=log13x+1x-1【方法小结】对数函数的单调性与奇偶性的判断与应用：(1)注意底数a对函数单调性的影响；(2)对数函数的奇偶性，要根据对数函数的形式和奇偶性的定义判断.探究5：化归转化思想【例5】设函数f(x)=(log2x+2)(log2x+1)的定义域为14，4，求y=f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的【方法指导】先确定log2x的范围，通过换元，化为二次函数，利用二次函数的单调性求解.【解析】因为x∈14，4，所以-2≤log2x≤2，设t=log2x，则t∈[-2则y=(t+2)(t+1)=t2+3t+2(-2≤t≤2)，∵y=t2+3t+2在区间-2，-∴当t=log2x=-32，即x=24时，y=f(x)取得最小值，最小值为f24当t=log2x=2，即x=4时，y=f(x)取得最大值，最大值为f(4)=12.【方法小结】一般来说，小题对对数函数的考查，仅限于对数函数本身的概念、图象与性质.而解答题往往注重考查与对数函数有关的复合函数的性质.这类题目的解题思想如下：通过换元转化成其他函数，如二次函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成对数函数来处理.(1分钟)素养图谱(5分钟)1.(2020年全国Ⅰ卷)设alog34=2，则4-a=().A.116 B.19 C.1【解析】由alog34=2，可得log34a=2，所以4a=9，所以有4-a=19【答案】B2.(2020年天津卷)设a=30.7，b=13-0.8，c=log0.70.8，则a，bA.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】因为a=30.7>1，b=13-0.8=30.8c=log0.70.8<log0.70.7=1，所以c<1<a<b.【答案】D3.(2020年全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则().A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】由题意可知a，b，c∈(0，1)，ab=log=lg3+lg82lg52∴a<b；由b=log85，得8b=5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b<45由c=log138，得13c=8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c>45综上所述，a<b<c.【答案】A4.(2020年全国Ⅲ卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e-0.23(t-53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95A.60 B.63 C.66 D.69【解析】∵I(t)=K1+e-0.23(t-53)，∴I(t*)=K1+e-0.23(t【答案】C5.(2020年全国Ⅲ卷)设a=log32，b=log53，c=23，则(A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】因为a=13log323<13log39=23=c，b=13log533>13log5所以a<c<b.【答案】A6.(2020年全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y，则().A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0【解析】由2x-2y<3-x-3-y，得2x-3-x<2y-3-y，令f(t)=2t-3-t，∵y=2x为R上的增函数，y=3-x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y-x>0，∴y-x+1>1，∴ln(y-x+1)>0，则A正确，B错误；∵x-y与1的大小不确定，∴C，D【答案】A7.(2020年全国Ⅱ卷)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)().A.是偶函数，且在12B.是奇函数，且在-1C.是偶函数，且在-∞，D.是奇函数，且在-∞，【解析】由f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|得f(x)的定义域为xx≠±12，且定义域关于坐标原点对称，又f(-x)=ln|1-2x|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|