幂、指、对函数及方程

幂、指、对函数及方程方法指导:一、幂函数.幕函数的定义函数y=xk(k为常数，keQ)称为幕函数，其中x是自变量，前面的系数为1..幕函数的图像p p研究y=xq的图像特点，其中p是既约分数(最简分数).q.幕函数的性质(1)对于一切幕函数，当x>0时，总有y>0,所以幕函数在第一象限均有图像，且幕函数图像不可能出现在第四象限.(2)幕函数一定过点(1,1).(3)当k>0时，y=xk在(0,+8)上递增，图像过点(0,0),(1,1)；①当0<k<1时，y=xk向x轴正方向递增；②当k>1时，y=Xk向y轴正方向递增.当k=0时，y=xk是一条不过点(0,1)的直线；当k<0时，y=xk在(0,+与上递减，图像过点(1,1)，图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.(4)在x=1的右侧由上至下k递减.二、指数函数.指数运算法则ax-ay=ax+y(a>0,x、ygR) (2)(ax)y=axy(a>0,x、ygR)(a-b)x=ax-bx(a>0,b>0,xgR).指数函数的定义函数y=ax(a>0,a丰1,xgR)称为指数函数.3.指数函数的图像4.指数函数的性质(1)函数图像在％轴上方，函数值恒大于零，故函数图像不可能在三、四象限.(2)指数函数的图像经过点(0,1),〃0=1.(3)函数定义域为R,值域为(0,+与.(4)非奇非偶函数(5)无零点(6)函数y=ax(a>1)在(一8,+8)内是增函数；函数y=ax(0<a<1)在(一8,+8)内是减函数.(7)在a>1时，第一象限内y>1,增长速度十分惊人；第二象限内0<y<1,增长缓慢；在0<a<1时，第一象限内0<y<1；第二象限内y>1.(8)无最值(9)函数图像与x轴无限接近，x轴叫做函数的渐近线.y=ax的图像与y=(i)x的图像关于y轴对称.a三、指数方程(1)同底型：af(x)=ag(x)=f(x)=g(x)(a>0,a丰1).基本型：af(x)=bof(x)=logb(a>0,a丰1,b>0)；af(x)=bg(x)of(x)lga=g(x)lgb(a>0,a中1,b>0,b丰1).(3)代换型：Aa2x+Bax+C=0，令t=ax(注意t的范围)，转化为At2+Bt+C=0求解;Aa2x+Baxbx+Cb2x=0nA(a)2x+B(a)x+C=0，令t=(a)x(注意t的范围)，转化为At2+Bt+C=0求解.(4)图解型：一般不可直接求解的可利用图象法求近似值.四、对数.对数的定义若a=N(a>0,a丰1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作10gaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.注意底数的范围是(0,1)U(1,+s);真数的取值范围是(0,+8)..对数的性质若a>0,a中1,M>0,N>0,n>0,b>0,b中1,那么(1)零和负数没有对数loga=1,log1=0,a10gaN=Nlog(MN)=logM+logN,log()=logM-logNa a a aN a anf,logMn=nlogM,logbn——logba a ammar logN»— . 1，一一logN―丁J(换底公式)，特别地logb―-——【拓展公式】blogb alogaa b.常用的对数为底的对数以10为底的对数叫做常用对数，通常写做lgN；以无理数e=2.71828为底的对数叫做自然对数，通常写做lnx.五、对数函数1.对数函数的定义函数y—五、对数函数1.对数函数的定义函数y—logx(a>0,a丰1,x>0)称为对数函数.2.对数函数的图像a(2)切数函数y—logax(a>0,a丰1)的图像都经过点(1,0).(3)函数定义域(0,+8)，值域R.(4)非奇非偶函数.(5)对数函数y=log/(a>1)在(0,+8)上是增函数，函数值开始增长较快，到了某一值后增长速度变慢；对数函数y=log/(0<a<1)在(0,+8)上是减函数，函数值开始减小较快，到了某一值后减小速度变慢.(6)对数函数y=logax(a>1)，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0；对数函数y=logx(0<a<1)，当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0.y轴是对数函数的渐近线.(8)当a>1时，底数越大，图像越靠近x轴；当0<a<1时，底数越小，图像越靠近x轴.(9)对数函数y=logax(a>0,a丰1)与指数函数y=ax(a>0,a丰1)互为反函数.六、对数方程 ,(1)同底型：力x)>0logaf(x)=logag(x)(a>0,a丰1)o<g(x)>0 of(x)=g(x)>0.、f(x)=g(x)(2)基本型：logf(x)=b(a>0,a丰1)of(x)=ab.(3)代换型：A10g2f(x)+Blogaf(x)+C=0，令t=logJ(x)(注意t的范围)，转化为At2+Bt+C=0求解.(4)图解型：一般不可直接求解的可利用图像法求近似值.典型题解：>幕、指、对函数的图像及性质>特殊方程.比较下列各题中两个值的大小、3一4、3一4(2)(4)-0-6和(3)-0.6(1)(4)32和(4)23

(3)(3)(5)-0.6和1(4)九2和弓)8log3log4、一，.右log*log3=(log3+log4)2—(&4+-^3-)，贝U%=( ).9 4 4 3log4log334416C416C.256D.81.如图，幕函数>=%m2-2m-3（mWZ）的图像关于y轴对称，且与％轴y轴均无交点，求此函数解析式..关于%的方程%+lg%=3,%+10%=3的根分别为a,P.则a+p=.使log2（-%）<%+1成立的x的取值范围是..方程log（%+4）=3%实数解的个数是（）2A0B1C2D3.已知关于%的方程2a2%-2—7a%-1+3=0有一个根是2,求a的值和方程的其