第02讲两条直线的位置关系精练（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第02讲两条直线的位置关系(精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．两条平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C因为直线与直线平行,所以,解得,将化为,所以两平行直线与之间的距离为.故选：C2．直线：与：互相平行，则的值为（

）A．1 B．-1 C．1或-1 D．-1或2【答案】B由题意可列，解得或，当时两直线重合，舍去，故故选：B3．直线与且，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A由于，所以.故选：A4．若直线与直线垂直，垂足为，则（

）A． B．4 C． D．【答案】D因为与直线垂直，故即，因为垂足为，故，故，故，故选：D.5．已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D设点关于直线对称的点为，则，解得，故对称的点为.故选：D6．一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C点关于轴的对称点为，又反射光线倾斜角为，斜率，反射光线所在直线方程为：，即.故选：C.7．已知直线与关于原点对称，若的方程是，则的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A因为直线与关于原点对称，则只需将的方程中改为，改为，可得的方程是，即故选：A8．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A表示动点到定点和的距离之和，因为点在直线上运动，作关于直线的对称点，则，故，当且仅当三点共线时取等，故的最小值为故选：A二、多选题9．已知直线，则下列结论正确的是（

）A．存在实数，使得直线与直线垂直B．存在实数，使得直线与直线平行C．存在实数，使得点A到直线的距离为4D．存在实数，使得以线段为直径的圆上的点到直线的最大距离为【答案】ABD解：直线，，，直线的斜率为，直线的斜率为1，故当时，直线与直线垂直；当时，直线与直线平行，故AB正确；直线，即，令，求得，可得直线经过定点，由于，故点到直线的最大距离为3，故C错误；由于，，，故以为直径的圆的圆心，且，故圆的半径为，圆心到直线的最大距离为，故以线段为直径的圆上的点到直线的最大距离为，故D正确，故选：ABD．10．已知直线，，，以下结论正确的是（

）.A．不论a为何值时，与都互相垂直；B．当，与x轴的交点A到原点的距离为C．不论a为何值时，与都关于直线对称D．如果与交于点M，则的最大值是【答案】AD对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；对于B，与x轴的交点，点A到原点的距离为，故B错误；对于C，在l1上任取点，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确；对于D，联立，解得，即，所以，所以的最大值是，故D正确.故选：AD.三、填空题11．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为___________.【答案】解：直线与直线平行，，解得，直线，直线，直线与之间的距离为．故答案为：12．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．【答案】9因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率之积为，即，即，，即，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为9．故答案为：9．四、解答题13．已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求：(1)边上的高所在直线的方程．(2)直线的方程．【答案】(1)；(2).(1)在中，，，，则直线AB的斜率为，于是得边上的高所在直线斜率为，其方程为：，即，所以边上的高所在直线的方程是：.(2)因直线平行于，则直线的斜率为，又边的中点在直线上，于是得直线的方程为：，即，所以直线的方程为.14．已知两直线，.(1)求过，交点，且在两坐标轴截距相等的直线方程；(2)若直线与，不能构成三角形，求实数的值.【答案】(1)或(2)或或(1)由，解得：所以点的坐标为.设所求直线为，（ⅰ）当直线在两坐标轴截距为不零时，设直线方程为:，则，解得，所以直线的方程为，即.（ⅱ）当直线在两坐标轴截距为零时，设直线方程为:设直线方程为：，则，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.(2)（ⅰ）当与平行时不能构成三角形，此时：，解得；（ⅱ）当与平行时不能构成三角形，此时：，解得；（ⅲ）当过的交点时不能构成三角形，此时：，解得.综上，当或或时，不能构成三角形.B能力提升1．已知直线与关于直线对称，与垂直，则A． B． C．-2 D．2【答案】B直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得，即，相互垂直，故斜率乘积.点睛:本题主要考查了直线关于直线对称直线的方程，考查了直线与直线垂直的概念与运用.点关于直线的对称点为，故关于对称的直线即是交换的位置得到，也即，再根据相互垂直，故斜率乘积为可求得的值.2．已知，点为轴上一动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A由已知点关于轴的对称点为，，直线方程为，令得，所以直线与轴交点为，，当且仅当是与轴交点时等号成立．故选：A．3．若点在直线：上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B由已知的几何意义为点到点距离的平方，故其最小值为点到直线：的距离的平方，即，故选：B.4．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A因为直线：与：，所以，又两条平行直线：与：之间的距离是，所以解得即直线：，：，设直线关于直线对称的直线方程为，则，解得，故所求直线方程为，故选：A5．已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D由题知直线与直线交于点，且点在上，设点关于对称的点的坐标为，则解得则直线的方程为，即关于对称的直线方程为．故选：C综合素养1．已知三条直线和，且与的距离是．(1)求的值；(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)能，(1)解：因为可化为，所以与的距离为．因为，所以．(2)解：设存在点满足，则点在与，平行直线上．且，即或．所以满足条件②的点满足或．若点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即，所以或，因为点在第一象限，所以不成立．联立方程和，解得（舍去），联立方程和，解得，所以即为同时满足条件的点.2．已知直线和，两点.(1)求直线上一点使得最小；(2)设点到直线的距离为，求直线上一点使得.【答案】(1)；(2)和.(1)解：设点关于直线的对称点为，则直线为线段的垂直平分线，由，解得：，即的坐标为，如图，连接，交直线于点，则，对于直线上的任意一点，有，所以最小，可知直线的方程为，由，得，即点的坐标为，所以使得最小的点的坐标为.(2)解：由题可知，点到直线的距离为，且，由于，，，所以，而，直线的方程为：，即直线的方程为，设与平行的直线为，由两平行线间距离公式得，解得：或，所以到直线距离为的点都在直线或上，又因为点在直线上，且点到直线的距离为，所以联立和，解得：和，所以直线上使得的点的坐标为和.3．如图所示，是三条公路，与是互相垂直的，它们在点相交，与的交点分别是且工厂A在公路上，工厂B到的距离分别为.货车在公路上．(1)要把工厂A，B的物品装上货车，问：在什么位置时，搬运工走的路程最少？(2)在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)【答案】(1)(2)(1)以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系如图示：则有,故公路所在的直线方程为求在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求的值最小时