第七章常微分方程7习题

习题7（1）x(y)32ysinx0 （2）(2x3y)dx(y2ex2x)dy0（3）x3y2x2yy

d2 dx ycosx d d解（2）（3）（4）下列各题中的函数是否是已给方程通解或特解（其中C,C1,C2均为常数 （1）

5x,y C 1（2）(xy)dxxdy0,y (x2yy2xyyy(xx2xyy2Cya2yex,yCsinax

cosax1ex 解（1）

2 x，代入方程左式5

5x1dy

dx，代入方程左式

1

dx

1

dx0x2xyy2Cxyy2x2y左式x2y)y2x2xy2yya2Csinax

cosax1ex 左式C(1a2sinaxC(1a2cosaxex

确定下列函数中常数C1,C2（1）y(CCx)e2x,y(0)0,y(0)1 （2）yC1sin(xC2),y()1,y()0解（1）y(00,C0y(0

1yxe2x

0，可取

,

ysin(x

ycosx2

yCexCe2x yCexCe2x 解在方程组yCex2Ce2x消去C,Cyy2y0 yCex4C 习题7xyylny （2）cosxsinydxsinxcosydy0

1x2y

（4）(exyex)dx(exyey)dy1xyyxtany （6）(x2y)dxxdy1xd 2 （7）(x2y2)y2xy

(x1)2d x（9）xy2y2x4 （10）ylnydx(xlny)dy0

dyxyex2y3 ）d）d d（1 积分后可得lnlnylnxlnC方程通解为yeCxyln 方程可化为cosydycosxdx，积分后可得方程通解为sinxsinyCsin sin11方程可化为d d 积分后可得方程通解为arcsinyarcsin11ysin(arcsinxC

eydyexd

，积分后可得方程通解为(ex1)(ey1Cey exyytanyyxuxutanu 分离变量后可得cosududx，积分后可得lnsinulnxlnC，原方程通解为sin sinx

Cx解法一方程可化为y2y1，它是齐次微分方程令uy则有d dx 积分后可得ln(u1)lnxlnCyCx2x

u

y2y1xy

(e

2dx

dxCyCx2xy令u ，方程可化为uxdy d

1

1u(1u2

dudxx即1

)du

dx，积分后可得

lnxlnC 1 1x2y2Cy

2d

52d为

1x((x1)2

1xdxCyC(1x)2

2(1x)2737y2y2x3yx4Cx2x该方程可化为dx 1，它是一阶线性微分方程，它的通解x

1dyln

11d ylny

d yln dyCxlnylnlnyClnyBernoullizy2，方程可化为dz2xz2ex2dzC2x)ex2，该方程通解为

(C2x)ex2方程可化为dy4y2x6，方程组4y2x60的解为x1d xy

xy3

yxX

d

4Y

4Y令

2X ，令u ，方程可化yY

d X

Y YXYu

du4u2

u

dud

，积分后可得(u2)(u2)2XCd u u该方程的通解为y2x)3Cyx1)2（1+ex

4x 44yxy,

2； （4）yxy2,yxyy

（5）yysinx,

2

0；（6）dyycotx5ecosx,d

2

4解（1）ydy

1

dx2

y2ln(1ex)C,y(1)11121C111212

sec2ydtan

sec2xd，积分后可得lntanylntanxlnCtanyarctan

可得C1，所求特解为y tan

x

tan该方程是齐次微分方程，令uyxdu1 d ududxy2x22lnxCy(12,C2x2x22x2(lnx（4）方程可化为yy2x，它是齐次微分方程，令u

，方程可化为x2 xdd

2(1u2)12u

11

du

(x2y2

xC,y(1)1,C2e4，所求方程特解为(x2y2 x2e4y1(sinxdxCx

cosy ,y()0,C0，所求特解为y y1(5sinxecosxdxCsinC

15ecosy ,y()4,C1，所求特解为y sin sinxf(xsinxx

f(tdtf(x解xf(x)f(xcosxyf(xyycosxy(0)f(0)0yycosxyex(cosxexdxC，y1(sinxcosxCex,y(0)0C1，所以f(x)表达式为 f(x)1(sinxcosxex)2)解P(xy，切线上动点坐标为X,YYX

yy轴交点为(0,yxy)yxy2ydydxyC y(12，的C2y2xN

t0x0tx(t)（)常数k0x(t 由题设有xkx(Nx)，分离变量后可 dx(N

kdt，积分后得 1

1

Nx )

Cekt,x(0)x,C( )N，由此可得x ．N

N

N

x ６．质量为1g的质点受外力作用做直线运动，外力和时间成正比，和质点运动速度成反比，在t10s时，速度等于50cms，外力为4g.cms2，问从运动开始经历了1min解Fkt，当在t10s时，速度等于50cms，外力为4g.cms2vk20，F20v

Fmdd

dv20d

v220t2C,v(10)50,C500,v

20t2500，v(60)

（1）dy(xy)2 （2）yd

；xyx2（3）y(xy1)dxx(1xyx2y2)dy0；（4）yyy22x0 （1）令uxy，方程可化为du1u2，分离变量并积分后可d 化为dxxyx2y31dxy1y3，令z1， 化d x2d d

yzy3z2y2d

2x

2y2Ce2方化为x2y

xy(1

，令uxyyxuux2yxuu

1xyx2 d

1u

)du

11lnulnxC，原方程通解为2x2y2lny2xy1Cx2y22u （4）令uy2， 化为du2u4x0ue2x[(4xe2x)dxC]，即du12xCe2xy212xCe2x习题7yC1Cx5x2y3xy5y0 证明y1代入方程左式x223x150y1 y2xy,y yC1Cx5x2y3xy5y01 ２yCxCexsinx 由题设知yCxCex是相应的齐次线性微分方程的通解， yCxCex yCCex,中消去C,C可得相应的齐次线性微分方程为(1xyxyy0 yC 所求方程表达式为(1xyxyyf(xf(xx(sinxcosx2sinx所求方程为(1xyxyyx(sinxcosx2sinx．（1）y4y5y0 （2）y4y13y0（3）y10y25y （4）y(4)2yy0解（1）特征方程为r24r50r5r1yCe5xCex 特征方程为r24r130, 23i，方程通解 ye2x(Ccos3x

sin3x)特征方程为r210r250rr5yCCx)e5x 特征方程为r42r210rrirri yC1C2xcosxC3C4xsinx． （1）4y4yy0, （2）y3y4y0, 0, （3）y2y0, 0, 1

1 （1）方程可化为yy4

y0，该方程通解为yC1C2x)e2，由1y

0可得C12,C21y2x)e2 yCe4xCex

1可得

1,

15y1e4x1ex yC1cosxC2sinxyx00yx0可得C10C21所ysinx．（1）y3y2y6e4x （2）y6y9y(26x)e3x（3）yy3x2 （4）y2y10yexcos2x（5）y2y2y2excosx （6）yy3x2ex 解（1）y3y2y0的通解为Y(x)CexCe2x y(x)Ae4x代入方得A1，因而所求方程通解为yCexCe2xe4x （2）y6y9y0的通解为Y(x)(CCx)e3x，该方程的特解可设为 y(x)Q(x)e3x，代入方程则有Q(x)26xQ(x)x2x3y(x)(CCxx2x3)e3x （3

y3y

Y(x)CC

y(x)x(Ax2BxC)，代入方得6Ax2B(3Ax22BxC)3x21，由此A1B3C7yCCe3xx33x27x y2y10y0的通解为Y(x)Cexcos3xCexsin3x y(x)ex(Acos2xBsin2x（5A2Bcos2x2A5Bsin2xcos2xA5B2 yCexcos3xCexsin3x(5cos2x2sin2x)ex y2y2y0的通解为Y(x)CexcosxCexsinx，该方程的特解可设为y(x)xex(AcosxBsinx)，代入方 (2Bcosx2Asinx)2cosx,A0B1 yCexcosxCexsinxexsinx yy0的通解为Y(x)CCexyy3x2 yxAx2BxCA1B3C6yx(x23x6) yyex的特解可设为yxAex，代入方得A1，yxex，因此原方 的通解为Y(xCCexx(x23x6xex （2）y4y4xe2x, 0, 解（1）yy0的通解为Y(xC1cosxC2sinxy(x)Acos2xBsin2x，代入方解得A0,B1，该方程的通解yC1cosxC2sinxsin2xy(1,C11y(1,C21ysinxsin2xcosx 方程y4y0通解为Y(x)Ce2xCe2x特解可设为y(x)xe2x(AxB) 解得A1,B1，该方程的通解为yCe2xCe2x(x21x)e2x，由 y(00y(01可得C3C3yx21x3)e2x3e2x

７f(xf(x)exx(xtf(tdtf(x0 解 改写为f(x)exxxf(t)dtxtf(t)dt，等式两边同时对x求导可 f(xexxf(tdtf(xexf(xyf(x)0 yyexy(01y(01yy0的通解为Y(xCexCex 可设为y(x)Axex，代入 得A1，因此有f(x)(C1x)exCex，由 f(01,f(01，可得C3C1f(x31x)ex1ex

知下沉过程中，液体对它的阻力（包括浮力）与下沉速度成正比（比例系数为k．求物体解xtx(t由第二定律有

d2x

x(00x(00

mgmgmgdt2 d dt2 dmg

x(tC1

m x(0)0x(0)0可得C1 k

C2k2

x(t)

(em1 x(t0k 习题7

(ek

0k（1）ysinxex；（2）x2yxy （3）yyy2yy解(1)y

(sinxex)dx

cosxex,y

cosxex)d12Cx12Cxsinxex,y

(2Cxsinx(2Cxsinxex)dxCx2Cx；（2）py，方程可化为dp1p1p1

1dxC)lnxC1d

x y(lnxC1)dx1ln2xClnxC，即原 解为y1ln2xClnxC

令py，原 化为ypdpp2yp,dpp1,py(lnylnC)，d d 此可得

dy(lnylnC) dx，积分后可得ln(ln y(lnylnC) 11yCeC2ex1 （1）yxlnx, 1, （2）yxy, 0, （3）y2yy0, 1, 解（1）y

(xlnx)dx1x2xlnxxC,y(1)0,C1y 1

1 3 1 (2

xlnxx )dx x

x

lnxC2y(11,C212y1x33x21x1x2lnx13dp dp

(xppyp

xdx

xC1,y(1)1,C11,y (x

(x y

C2,y(1)0,C23,y 3令py， 化为pdp2yp0,dp2ydy，积分后可得yy2Cd由初始条件知C0yy2dydx，积分后可得1xCy(01

方程特解为y

13＊．求Eulerx2y2xy2yx33x解令xet，方化

d2dt2

dy2yd

d2dt2

2y0dddt解为Y(t)t

d2

dd

2y

y

1 d2 d 1得A

d

2y3e d

Bte3t，代入方得B 7

d2dt2

dy2yd

3t3etyCetCe2t

1e3t

tety

3lnx)x7

2

1x3

dydz2y2z4＊．设yy(x),zz(x)是未知函数满足方程组d dd d

4yd d 始条件 1, 2，求函数y, d2

方程组两式相加可d

zdyd

d 4y0y

Cx)e2x，z 3y(C

Cx)e2xd d

d

由 1, 2可得C

1y1x)e2xz2x)e2x 微分方程yytanxcosx的通解 设yy(x)是可微函数，y(0)2，且yy(xx)y(x) x1lim0，则y(x) x0设连续函数f(x)满足f(x)2xf(t)dtex，则f(x) x2微分方程xy y在x(0,x2设微分方程y3yay5ex的有形式为yAxex的特解，则该方解 解（1）yCxcosx

y

111

,dyy

1

dx11lny1ln(1x2)ln1122e2xex

，y(0)2,C2，y 等式两边对x求导可得f(x2f(xex,f(xCe2xex,f(01,C2f(x)2e2x

xCx方化为y

y，令uyxdu

111(yx1(yx可得arcsinulnxlnC，原方解为 xCxy(Cx)exCe4x 由题设可知r1必为该方程的特征方程单根，因此a4yAxexA1y(Cx)exCe4x yp(xyq(xyf(x)y1,y2,y3是它的三个线性无关的特解，C1,C2是任意常数，则该方解为（（Ａ）C1y1C2y2（Ｃ）C1y1C2y2(1C1C2)

（Ｂ）C1y1C2y2(C1C2)（Ｄ）C1y1C2y2(1C1C2)0yf(xyyesinx0f(x0f(x0（ yyx21sinx的特解形式可设为（（Ａ）yax2bxcx(AsinxBcos （Ｂ）yax2bxcAsin（Ｃ）yx(ax2bxcAsinxBcosx

（Ｄ）yax2bxcBcosyC1C2tanxcosx（其中C1C2为任意常数）是某二阶微分方程的通解，则该方程表达式是（（Ａ）sinxy2cosxy （Ｂ）cosxy2sinxy（Ｃ）sinxy2cosxy （Ｄ）cosxy2sinxy解（1）y1y3y2y3是该方程对应的齐次线性方程的两个线性无yy3C1y1y3C2y1y3)，因此答案是Ｄ．f(xesinx00f(xx 1yyx21yax2bxcyysin1yx(AsinxBcosxy2tanx是方程cosxy2sinxy0y2tanx不是方程sinxy2cosxy0的特解，故答案只能为Ｄ．3．设yex是微分方程xyP(xyx的一个特解，求此方程满足初始条件yxln20解P(xx(ex1yex1y1yex1y通解为yCexex因此原方解为yex

exy(ln20Ce2是yex(1 2)形如yP(x)yQ(x)y2f(x)的方程称为（Riccati）方程，通常情况下yy1(x)yy1(xz的Bernoulliyy2

1解yy(xzyP(xyQ(xy2f(x1yP(xyQ(xy2zP(x2Q(xy)zQ(x)z2f(xz 1zP(x2Q(xy)zQ(x)z20，显然它是Bernoulliyy221函数y1是它的解，令yz1代入 得z2zz21z211， xu1可得u2u1,uxC，原 解为y1

(C

C

3Cf(xf(xexexxf2tdtf(x0解xf(xexexxf2tdtexf2x0f(xf(xexf2xyf(xyyexy2,y(01z1y有dz

1

zd

z

e,f(x)2

Cex12

,f(0)1,C

2,f(x)3e2x6x0，曲线yf(x)(x,f(x))处切线在y轴上的截距等于1xf(tdt，又该曲线过点(12，且在点(12y3x1f(xx解yf(x点(x,f(x处切线方程为Yf(x)X

f(xX,Yy轴的交点为(0,f(xxf(xf(xxf(x)1xf(tdtxxf(xx2f(x)