函数模型及其应用配套课件

函数模型及其应用配套课件第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五考纲要求考情风向标1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力．从近几年的高考试题来看，函数模型及其应用是高考的一个重点．函数除了涉及方程、不等式、数列等知识，还可渗透到三角、立体几何、解析几何，甚至还呈现于概率知识中，它具有题源丰富、跨学科综合的特征．解题时应注意把握问题主线，明确问题实质，运用有关知识进行转换．预计2015年高考仍将以函数建模为主要考点，重点考查利用二次函数、基本不等式、导数、线性规划求最值.第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五1．学习过的基本初等函数指数函数对数函数幂函数

一次函数、二次函数、正(反)比例函数、三角函数、_________、___________、_________等． 要熟练掌握这些函数的图象与性质，以便利用它们来解决一些非基本函数的问题．第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

2．用基本初等函数解决非基本函数问题的途径

(1)化整为零：即将非基本函数“拆”成基本初等函数，以便用已知知识解决问题．

(2)图象变换：某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函数图象通过图象变换得到的，搞清了变换关系，便可借助基本初等函数解决非基本函数问题．

3．在解决某些应用问题时，通常要用到的一些函数模型

________________、________________、______________、________________、________________、分式函数模型、分段函数模型等．二次函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型一次函数模型第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五4．三种函数增长的条件(1)当a>1时，指数函数y＝ax

是增函数，并且当a越大时，其函数的增长就越快．(2)当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数的增长就越快．(3)当x>0，n>0时，幂函数y＝xn

是增函数，并且当n越大时，其函数的增长就越快．第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五5．三种函数增长速度的比较

直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义：当a>1，n>0时，那么当x足够大时，一定有指数函数值增长快于幂函数值增长，幂函数值增长快于对数函数值增长．也就是说，指数函数值增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五D．11%1．某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价()DA．10%C．11%B．9%第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

2．在本埠投寄平信，每封信不超过20g时付邮资0.80元，超过20g而不超过40g付邮资1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮资0.80元(信重在100g以内)．如果某人所寄一封信的质量为82.5g，那么他应付邮资()DA．2.4元B．2.8元C．3.2元D．4元第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五P＝

3．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．则：

(1)总成本C(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式为___________________；C＝200＋0.3x(x∈N*)(2)单位成本P(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式为___________________；200

x＋0.3(x∈N*)(3)销售收入R(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式为______________；R＝0.5x(x∈N*)(4)利润L(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式为_____________________．L＝0.2x－200(x∈N*)第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五4．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，y＝20－2x(5＜x＜10)它的解析式为____________________．

5．已知函数y1＝2x

和y2＝x2.当x∈(2,4]时，函数_______的值增长快；当x∈(4，＋∞)时，函数_______的值增长快．y1＝2xy2＝x2第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期五考点1正比例、反比例和一次函数类的实际问题

例1：(2012年上海)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异)．

(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；

(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/时，外环线列车平均速度为30千米/时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问：内、外环线应各投入几列列车运行？第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五解：(1)设内环线列车运行的平均速度为v千米/时，由题意可知，309v×60≤10⇒v≥20.

所以，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，列车的最小平均速度是20千米/时．

(2)设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟，则t1＝

3025x×60＝72

x，t2＝

3030(18－x)×60＝

6018－x.第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

又因为x∈N*，所以x＝10，即当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟．第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

【互动探究】

1．(2013年山东临沂三模)某公司一年购买某种货物400t，每次都购买xt，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与储存费用之和最小，则x等于()A．10B．20C．30D．40第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

答案：B第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五考点2分段函数类的实际问题

例2：某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销售完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图3-8-1所示，其中图3-8-1①(一条折线)、图3-8-1②(一条抛物线)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图3-8-1③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五图3-8-1(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；

(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期五第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

由F(t)在(30,40)上是减函数，得F(t)＜F(30)＝6300.

故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第30天．

【方法与技巧】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起．要注意各段自变量的范围，特别是端点值．第(1)问就是根据图①和图②所给的数据，运用待定系数法求出各图象中的解析式；第(2)问先求得总利润的函数关系式，再将问题转化为方程是否有解．第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五【互动探究】

2．某市自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元；当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(单位：吨)．

(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x.

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8； 当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，

y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5(吨)，水费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5(吨)，水费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五考点3二次函数类的实际应用题

例3：市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P元和时间t(t∈N)的关系如图3-8-2.

图3-8-2第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五(1)写出销售价格P(单位：元)和时间t(单位：天)的函数解析式；

(2)若日销售量Q(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系是Q＝－t＋40(0≤t≤30，t∈N)，求该商品的日销售金额y(单位：元)与时间t(单位：天)的函数解析式；(3)问该产品投放市场第几天时，日销售额最高，最高值为多少元？第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五解：(1)①当0≤t<25，t∈N时，设P＝at＋b，将(0,19)，(25,44)代入，得19＝b，44＝25a＋b，解得a＝1，b＝19.∴P＝t＋19(0≤t<25，t∈N)．②当25≤t≤30，t∈N时，设P＝at＋b，将(25,75)，(30,70)代入，解得a＝－1，b＝100.∴P＝－t＋100(25≤t≤30，t∈N)．综上所述，P＝t＋19－t＋100(0≤t<25，t∈N)，

(25≤t≤30，t∈N).第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五(2)依题意，有y＝P·Q，第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

当0≤t<25，t∈N时，由二次函数的性质，可知：t＝10或t＝11时，y有最大值870元． 当25≤t≤30，t∈N时，70