第十三章位移法

建筑力学授课单位：土木工程学院主讲教师：王海东副教授建筑力学主讲教师：王海东副教授目前一页\总数六十页\编于七点第十三章位移法

目前二页\总数六十页\编于七点13.1等截面单跨超静定梁的杆端内力、转角方程力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法力法：普遍适用，随着混凝土结构的发展，高次超静定刚架出现，计算过于麻烦。结构在外力作用下，内力和位移存在对应关系。力法——多余未知力作为基本未知量，列位移协调方程，求出内力——最后求出位移。

位移法——某些结点位移作为基本未知量，列静力平衡方程，求出结点位移——最后求出内力。目前三页\总数六十页\编于七点回顾力法思路：（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构；（2）分析基本结构在未知力和“荷载”共同作用下的变形，消除与原结构的差别，建立力法典型方程；核心是化未知为已知（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。目前四页\总数六十页\编于七点AB杆端内力、位移的符号规定：

●杆端弯矩:MAB表示AB杆A端的弯矩。绕杆端顺时针为正（绕结点逆时针为正）

●杆端剪力：绕隔离体顺时针转为正(同前)。

●

结点转角：以顺时针转为正。

●杆端的相对线位移：使杆件弦转角顺时针转动为正。A′B′AB△ABABMABMBA目前五页\总数六十页\编于七点

用力法求解超静定梁的杆端内力

●

三种基本超静定杆件：

●用力法求得单位支座移动时的杆端内力，即形常数。●用力法求出荷载作用下杆件的固端内力，即载常数。目前六页\总数六十页\编于七点一、荷载作用下的杆端弯矩和剪力

ABLabPn=3选取简支梁为基本结构PX1X2X3基本结构典型方程为11X1+12X2+13X3+△1P=021X1+22X2+23X3+△2P=031X1+32X2+33X3+△3P=011MP图P3=0,故13=31=23=32=△3P=0则典型方程第三式为33X3=033≠0(因X3的解唯一)故作基本结构各和MP图由于X3=0M图11X1+12X2+△1P=021X1+22X2+△2P=0由图乘法求得代入典型方程(消去公因子)得解得代入典型方程解得作弯矩图。按式↶↷目前七页\总数六十页\编于七点目前八页\总数六十页\编于七点二、支座移动引起的杆端弯矩和剪力

原结构基本结构目前九页\总数六十页\编于七点ΔθAθB用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令目前十页\总数六十页\编于七点32

1FQBAFQABMBAMAB杆端剪力杆端弯矩梁的简图序号4i2i目前十一页\总数六十页\编于七点654FQBAFQABMBAMAB杆端剪力杆端弯矩梁的简图序号000目前十二页\总数六十页\编于七点ABLEIFA′B′AB△ABAB选取基本结构如图。FX1X2多余未知力为X1、X2。力法典型方程:11X1+12X2+△1P+△1△=A21X1+22X2+△2P+△2△=B计算系数和自由项，作、、MP图。图1图1MP图XAXB，，△ABAB由图知AB称为弦转角，顺时针为正。三、等截面直杆杆端力的一般算式-转角位移方程

目前十三页\总数六十页\编于七点将以上系数和自由项代入典型方程，可解得X1=X2=令称为杆件的线刚度。MAB=4iA+2iB－MBA=4iB+2iA－式中两端固定梁仅由荷载、温度变化等作用下的杆端弯矩,称为固端弯矩。令MAB=X1，MBA=X2:1111目前十四页\总数六十页\编于七点MAB=4iA+2iB__MBA=4iB+2iA__两端固定梁杆端弯矩的一般公式，称为转角位移方程。对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)，其转角位移方程可由上式导出，B端铰支，则:ABEIFlMBA=4iB+2iA__=0可见，B=f(A、△AB),不独立,代入第一式:MAB=3iA（转角位移方程）式中（固端弯矩）表明等直杆的杆端弯矩与荷载、杆端位移之间的关系.目前十五页\总数六十页\编于七点AMAB几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得（2）远端为固定铰支座因MBA=0，代入(1)式可得AMABMBA（3）远端为定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI目前十六页\总数六十页\编于七点12．2位移法的基本概念一、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）位移法的特点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁目前十七页\总数六十页\编于七点位移法解超静定结构时，每根杆件都视为单跨超静定梁。基本结构是把每一根杆件都暂时变为三类基本超静定杆件。方法:

在每个刚结点上假想地加一个附加刚臂(仅阻止刚结点转动);同时,在有线位移的结点上加一个附加链杆(阻止结点移动)。二、基本结构三、基本未知量位移法的基本未知量是各结点的角位移和线位移,计算时应首先确定独立的角位移和线位移数目。目前十八页\总数六十页\编于七点现通过一简单的例子来说明位移法求节点位移的基本原理。求如图所示一两跨连续梁，在集中力作用下的内力图。位移法求解时，在结点B处加一限制转动的约束，称为角变约束，用符号表示。▲目前十九页\总数六十页\编于七点加约束后，原两跨连续梁变为2个单跨超静定梁：梁AB为两端固支；梁BC为一端固支一端铰支。而B点处的角位移Z1即为本题中的位移法基本未知量。如何求Z1：1）求R1p：荷载作用下角变约束上产生的约束反力或反力矩。2）求Rz1：将角变约束转动一转角Z1，使得结点B在基本结构上的转角与原结构在荷载作用下的转角相同，由此获得约束反力矩Rz1。3）根据原结构B点处约束反力矩为零建立位移法方程：Rz1+R1p=0目前二十页\总数六十页\编于七点目前二十一页\总数六十页\编于七点

试用位移法计算图(a)所示排架结构的内力。

解：1)确定位移法基本未知量图(b)

2)作出Mp、M1图，求取系数及自由项目前二十二页\总数六十页\编于七点R1p=-3/8qhr11=6i/h2目前二十三页\总数六十页\编于七点

试用位移法计算图(a)所示连续梁，并作梁的弯矩图。

(a)目前二十四页\总数六十页\编于七点解1)确定位移法基本未知量图(b)

2)写出各杆端弯矩

(b)Z1目前二十五页\总数六十页\编于七点(c)(d)(e)Z1Z1目前二十六页\总数六十页\编于七点r11=7i

R1p=6kN.mZ1=-6/7i目前二十七页\总数六十页\编于七点一、独立角位移数目同一刚结点,各杆端转角相等一个独立的角位移未知量。固定支座处，转角=0,已知量;铰结点或铰支座各杆端的转角不独立，不必作为基本未知量。独立角位移数目=结构刚结点的数目例如,图示刚架123456独立的结点角位移数目为2。13．3位移法的基本未知量数目的确定目前二十八页\总数六十页\编于七点二、独立线位移数目每一结点可能有水平和竖向两个线位移。(受弯杆件略去轴向变形，弯曲变形微小，变形后长度不变，每一受弯直杆=一个约束，可减少结点线位移数目)，结构只有一个独立线位移(侧移)。1234564、5、6三个固定端均不动，结点1、2、3均无竖向位移,又因两根横梁长度不变，故三个结点均有相同的水平位移△

。F△△△(a)事实上，图(a)所示结构的独立线位移数目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目是相同的。因此，实用上为了能简捷地确定出结构的独立线位移数目，可以(b)将刚结点(包括固定支座)都变成铰结点,则使其成为几何不变添加的最少链杆数，即为原结构的独立线位移数目。目前二十九页\总数六十页\编于七点线位移数也可以用几何方法确定。140将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。目前三十页\总数六十页\编于七点1.独立角位移数目=结构刚结点的数目2.独立线位移数目=将刚结都变成铰结后,使其成为几何不变所需添加的最少链杆数注意:刚度=杆件所联结的结点,角位移相同;静定部分的内力直接由平衡方程求得,确定位移法基本未知量时无需再考虑;位移法的基本未知量个数与超静定次数无关.目前三十一页\总数六十页\编于七点练习:确定独立的位移数目:

静定部分的位移不必作为基本未知量2角，n=2目前三十二页\总数六十页\编于七点6角2线，n=8目前三十三页\总数六十页\编于七点2线，n=2目前三十四页\总数六十页\编于七点目前三十五页\总数六十页\编于七点13．4位移法典型方程一、形成位移法基本结构位移法解超静定结构时，每根杆件都视为单跨超静定梁。基本结构是把每一根杆件都暂时变为三类基本超静定杆件。123456例基本未知量3个。杆14,36:两端固定杆12,23,25:一端固定一端铰结目前三十六页\总数六十页\编于七点基本结构

（5次超静定）原结构（4次超静定）目前三十七页\总数六十页\编于七点二、位移法典型方程FL1234EI=常数基本未知量为:Z1、Z2。Z1Z2基本结构如图。(a)(b)基本结构1234=Z1Z2↷R1=0=0FR1—附加刚臂上的反力矩R2—附加链杆上的反力据叠加原理,=Z1↷R211234↷134F↷R2P12234则有R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R22R2R12R11R1PZ2目前三十八页\总数六十页\编于七点R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0第1个下标——该反力的位置，第2个下标——引起该反力的原因。设r11、r12——单位位移引起的刚臂上的反力矩；r21、r22——单位位移引起的链杆上的反力。这就是位移法的基本方程。物理意义：基本结构在结点位移和荷载共同作用下，每一个附加约束中的附加反力矩或反力都应等于零。r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0则上式可写成:目前三十九页\总数六十页\编于七点1342FMP图R2PR1P以及载荷作用下的弯矩图为计算系数和自由项，绘出基本结构在和MP图：34213424i2i3ir22111121212⇁⇁0↽⇁⇁0r21r22R2Pr11=7i4i3i

r110r12R1P0r12=-6i/l2

R1P=Pl/8R2P=-P/2r21=-6i/l2

↽3ir22=15i/l2

1目前四十页\总数六十页\编于七点将系数和自由项代入典型方程:解得:正值，Z1、Z2与所设方向相同。由叠加法：如M31为:M图1234P目前四十一页\总数六十页\编于七点对于具有n个独立结点位移的刚架，同样可以建立n个方程：r11Z1+···+r1iZi+···+r1nZn+R1P=0····················································ri1Z1+···+riiZi+···+rinZn+RiP=0····················································rn1Z1+···+rniZi+···+rnnZn+RnP=0rii——主系数，恒正；rij(i≠j)——副系数；据反力互等定理，rij=rji;RiP——自由项。副系数和自由项可能为正、负或零。典型方程各系数都是单位位移引起附加约束上的反力(反力矩)，结构刚度愈大，反力(反力矩)愈大，故称为刚度系数。位移法也称为刚度法。目前四十二页\总数六十页\编于七点13．5用位移法计算超静定结构

位移法计算步骤：1.确定基本未知量，附加约束形成基本结构；2.建立位移法典型方程；3.作各图、MP图，求系数和自由项；4.解典型方程，得结点位移Zi；5.最后弯矩图按叠加；6.内力图校核。目前四十三页\总数六十页\编于七点

试用位移法计算图(a)所示刚架结构的内力。

解1)确定位移法基本未知量图(b)

2)画出M1、M2及Mp图目前四十四页\总数六十页\编于七点目前四十五页\总数六十页\编于七点用位移法计算图示超静定刚架，并作出此刚架的内力图。解：1.确定基本未知量此刚架有B、C两个刚节点，所以有两个转角位移，分别记作Z1、Z22.将刚架拆成单杆

各杆的线刚度均相等目前四十六页\总数六十页\编于七点目前四十七页\总数六十页\编于七点试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量（2）基本体系计算杆件线性刚度i，设EI0=1，则4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0Δ

1Δ2Δ3Δ

1、

Δ2、Δ3目前四十八页\总数六十页\编于七点Δ

1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程r111+r122+

r133+F1P=0

r211+r222+

r233+F2P=0

r311+r322+

r333+F3P=0

（4）计算系数：r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、k32、r333241.53r11=3+4+3=10r12=k21=2r13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2Δ

2=134221r22=4+3+2=9r23=k32=?目前四十九页\总数六十页\编于七点Δ

3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8r33=(1/6)+(9/16)=35/48r31=k13=–9/8r32=k23=–1/2（5）计算自由项：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8)×20×42=40(1/12)×20×52=41.7F1P=40–41.7=–1.7F2P=41.7F3P=0目前五十页\总数六十页\编于七点（6）建立位移法基本方程：（7）解方程求结点位移：（8）绘制弯矩图ABCDFEM图（kN•m）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校核结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。目前五十一页\总数六十页\编于七点对称结构的计算PPMMQN对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。NQ目前五十二页\总数六十页\编于七点一、单数跨(1)对称荷载Δ1F1Pr11iBE2iAB4iABMPM1r11Δ1+F1P=0(2)反对称荷载PPABCDEΔ1Δ2Δ3ABEl/2P反弯点ABZ3Δ1ABEl/2q目前五十三页\总数六十页\编于七点二、偶数跨(1)对称荷载qqCCM=Q=0PPIN=0PP反弯点P无限短跨+PP(2)反