第八章+立体几何初步（章末小结） 高一数学 （人教A版2019必修第二册）

章末小结必修第二册

第八章《立体几何初步》知识网络知识网络知识梳理——1.多面体和旋转体(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。如：六棱柱、长方体、三棱锥、棱台(2)旋转体：由封闭的旋转面围成的几何体。旋转面：由一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的曲面。如：圆锥、圆柱、圆台、球知识梳理——2.几何体的特征(1)棱柱：①底面互相平行；②侧面都是四边形；③侧棱互相平行，底面侧面侧棱顶点ABCDEFABCDEF①侧棱：相邻侧面的公共边。②底面为n边形的棱柱叫n棱柱，如三棱柱、四棱柱；

底面为正n边形的棱柱叫正n棱柱，如：正四棱柱底面为正方形.③棱柱用底面各顶点的字母来表示，如：三棱柱ABC-A’B’C’

正/长方体ABCD-A’B’C’D’④分类：直棱柱

斜棱柱(侧棱均与底面垂直)(侧棱均与底面不垂直)⑤棱柱被一平行与底面的平面截后的两部分仍然是棱柱⑥平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。知识梳理——2.几何体的特征底面SABCD侧面顶点侧棱①棱锥用顶点和底面各顶点的字母来表示:如:三棱锥S-ABC、四棱锥S-ABCD.②n棱锥：底面为n边形的棱锥，如三棱锥、四棱锥；

正n棱锥：底面为正n边形，侧面是全等的等腰三角形.(侧棱相等)

如：正四棱锥的底面为正方形，侧面是全等的等腰三角形③正三棱锥：

正四面体：底面为正三角形，侧面为等腰三角形；底面和侧面为全等的正三角形.(2)棱锥：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形从正棱锥的顶点向底面引垂线，该垂线必过底面的中心。知识梳理——2.几何体的特征(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，

底面与截面间的部分叫做棱台.原棱锥的底面叫做棱台的下底面；截面叫做棱台的上底面；其余各面叫做棱台的侧面；CDABCDAB下底面上底面侧棱侧面②各侧棱延长后必交于一点；①两底面平行且相似；各侧面是梯形.③棱台用底面各顶点的字母来表示，

如：四棱台ABCD-A’B’C’D’知识梳理——2.几何体的特征

(4)圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.圆柱的轴：旋转轴；圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边。(有无数条)圆柱用旋转轴的字母表示，如：圆柱OO'(5)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边即为圆锥侧面的母线.圆锥用旋转轴的字母，如：圆锥SO底面母线侧面轴SO知识梳理——2.几何体的特征

(6)圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面间的部分叫做圆台。如图，记作圆台OO’各母线的延长线与轴交于一点。轴截面是全等的等腰梯形。

(7)球体：以半圆周的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫球体，简称球.如图，记作球O.D·OCMAB球心：半圆的圆心；球的半径：连接球心和球上任意一点的线段；球的直径：连接球面上两点且过球心的线段。用任一平面截球，所得截面恒为圆。知识梳理——2.几何体的特征棱柱、棱台、棱锥关系图圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．知识梳理——3.几何体的体积、表面积公式知识梳理——4.斜二测画法和直观图(1)画水平放置的平面图形的直观图在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；已知图形中平行于x轴或者y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段(平行关系不变)；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半；已知图形直观图知识梳理——4.斜二测画法和直观图(2)空间几何体直观图的画法：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴；平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．②原图中相等的角或线段在直观图中不一定相等；③平行的线段在直观图中仍平行，

垂直的线段在直观图中不一定垂直.知识梳理——4.球的切接问题(1)正方体的外接球直径=正方体体对角线长.正方体的中心与其外接球球心重合.(2)长方体的外接球直径=长方体的体对角线长.长方体的中心与其外接球球心重合.知识梳理——4.球的切接问题(3)三棱柱的外接球球心为球心两底面中心连线的中点.知识梳理——4.球的切接问题(4)正四棱锥的外接球O满足OP=OA=OB=OC=OD=R;

球心O在顶点和底面中心的连线(正四棱锥的高)上;(5)正三棱锥的外接球O满足OA=OB=OC=OP=r；球心O在顶点和底面中心的连线(正三棱锥的高)上;知识梳理——4.球的切接问题(6)球与正三棱锥的的4个面各有一个切点；球心O到4个面的距离均等于r，即OQ=OT=OR=OS=r；知识梳理——4.空间中点、直线、平面的关系点A：直线a：平面α：基本元素点的集合点的集合(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：ABABlm(3)直线与平面的位置关系：①直线l在平面α内：直线l上的所有点都在平面α上.②直线l与平面α相交：直线l与平面α只有一个公共点A.

③直线l与平面α平行：直线l与平面α没有公共点.

llAl知识梳理——4.空间中点、直线、平面的关系(4)直线与直线的位置关系：相交直线（有1个公共点）平行直线（无公共点）aboab(不同在任何一个平面内)(5)平面与平面的位置关系：知识梳理——4.空间中点、直线、平面的关系基本事实2.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.αlAB作用：证明线在面内.基本事实3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有

一条过该点的公共直线。作用：证明点共线、线共点.基本事实1.不共线的三点确定一个平面.证:P,Q,R三点共线证:AB,CD,l三线共点推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．知识梳理——4.空间中点、直线、平面的关系三个平面能把空间分成4或6或7或8部分.知识梳理——5.空间中直线与直线的关系知识梳理——5.空间中直线与直线的关系(1)证明线线平行的方法①线线平行的定义：两直线在同一平面内且无公共点；②基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；(平行线的传递性)③三角形的中位线平行于底边(找中点)；④平行四边形的对边平行(先证平行四边形)；⑤棱柱的侧棱互相平行；⑥线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；⑦线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b；⑧面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.⑨线段对应成比例知识梳理——5.空间中直线与直线的关系(2)证明线线垂直的方法①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角②求证两异面直线所成角为90°③勾股定理的逆定理④等腰/边三角形的高和底边互相垂直⑤线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；⑥线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.知识梳理——6.空间中直线与平面的关系知识梳理——6.空间中直线与平面的关系(1)证明直线与平面平行的方法①线面平行的定义；②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.④求证直线与平面所成角为0°知识梳理——6.空间中直线与平面的关系⑥求证直线与平面所成角为90°⑦棱柱的侧棱与底面互相垂直知识梳理——7.空间中平面与平面的关系(1)证明面面平行的方法①面面平行的定义；②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β；④基本事实4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β.⑤柱体的两底面互相平行；(2)证明面面垂直的方法①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.方法提炼——转化与化归求三棱锥的体积时，有时要用到顶点和底面的转化，即等体积法(换底法)；球的切接问题要将空间几何图形割补转化为长方体、正方体、三棱柱等，转化为特殊几何体的外接球问题；位置关系的证明时，通常需要线线平行、线面平行、面面平行的互相转化，或线线垂直、线面垂直、面面垂直的互相转化；空间角的求解转化到三角形中的平面角求解方法提炼——等体积转换法(1)用等体积法求空间几何体的体积：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换．(2)用等体积法求点到面的距离：通常在三棱锥中，转换底面与顶点，利用等体积求距离．方法提炼——求三种空间角(1)求异面直线所成的角，一般解法是将两条异面的直线平移至相交，转化为等价的平面角，再解三角形即可．(2)求线面角，关键是作垂线，找垂足，从而连接斜足和垂足，得到斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成角就是线面角的平面角，再解三