线性平稳过程演示文稿

线性平稳过程演示文稿目前一页\总数九十四页\编于八点（优选）线性平稳过程目前二页\总数九十四页\编于八点一、一阶自回归AR(1)1、模型表达式：称上式为一阶自回归过程，记为AR(1)（一）AR(1)特征式中at为均值为0、方差为sa2的白噪声序列.目前三页\总数九十四页\编于八点当时，，当时，

计算过程：

令称为的中心化序列目前四页\总数九十四页\编于八点2、模型特点：（1）基本假定(i)与

有线性关系；在

已知条件下，与无关；(ii)为白噪声,即：(iii)目前五页\总数九十四页\编于八点（2）模型实质使相关数据转化为独立数据的变化器（3）与普通回归的关系不同:（i）变量不同（ii）依存关系不同（iii）假设不同（iv）状态不同联系:固定时刻t-1，且观察值已知时，AR（1）就是一个普通的一元线性回归模型。目前六页\总数九十四页\编于八点（二）AR(1)的可逆性与平稳性1、AR（1）模型可逆性判别

可逆性——一个过程是否具有逆转形式，也就是说逆函数是否存在的性质，通常称为过程是否具有可逆性，如果一个过程可以用一个无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，我们就称该过程具有可逆性。AR（1）模型是无条件可逆的目前七页\总数九十四页\编于八点2、AR（1）模型平稳性判别

例

考察如下两个模型的平稳性目前八页\总数九十四页\编于八点目前九页\总数九十四页\编于八点目前十页\总数九十四页\编于八点判别原因AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的

判别方法格林函数判别法特征根判别法（辅助方程判别法）目前十一页\总数九十四页\编于八点（1）格林函数判别法•Green函数定义Green函数是描述系统记忆扰动程度的函数。若将序列表示成其中系数称为Green函数。目前十二页\总数九十四页\编于八点•Green函数的意义

是前个时间单位以前进入系统的扰动对系统现在行（响应）为影响的权数。

客观的刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。

是系统动态的真实描述。

目前十三页\总数九十四页\编于八点•AR(1)的格林函数AR(1):从而格林函数为

上式是差分方程的解。它表明系统是怎样记忆扰动或某一时刻进入系统的扰动对后继行为的影响程度，是过去扰动的权重函数。目前十四页\总数九十四页\编于八点

1接近于1,表明系统的记忆较强；相反，1接近于0，表明系统的记忆较弱，故格林函数亦称为记忆函数。

由于格林函数描述了系统的动态性，那么在随机扰动序列已知的情况下，格林函数就完全能够确定系统的行为，从而根据已知的扰动序列和格林函数便可确定系统的响应。

目前十五页\总数九十四页\编于八点•平稳性的Green函数判别法欲使序列平稳，则格林函数应满足即：目前十六页\总数九十四页\编于八点特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和辅助方程的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归辅助方程的根都在单位圆外平稳域表示

平稳域（2）特征根判别法与辅助方程判别法目前十七页\总数九十四页\编于八点（3）AR(1)模型平稳条件特征根平稳域目前十八页\总数九十四页\编于八点平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差（三）AR(1)的统计特征1、AR(1)的方差：目前十九页\总数九十四页\编于八点递推公式2、AR(1)的自协方差函数目前二十页\总数九十四页\编于八点3、AR(1)的ACF：（1）ACF的求解目前二十一页\总数九十四页\编于八点（2）ACF的特点4、AR(1)的PACF：（1）PACF的求解目前二十二页\总数九十四页\编于八点（2）PACF的特点目前二十三页\总数九十四页\编于八点例3.2考察如下AR模型的自相关与偏自相关目前二十四页\总数九十四页\编于八点自相关函数按指数形式单调收敛到零目前二十五页\总数九十四页\编于八点理论偏自相关函数样本偏自相关图目前二十六页\总数九十四页\编于八点目前二十七页\总数九十四页\编于八点理论偏自相关函数样本偏自相关图目前二十八页\总数九十四页\编于八点二、二阶自回归AR(2)（一）AR(2)特征1、模型表达式2、模型特点目前二十九页\总数九十四页\编于八点（二）AR(2)的可逆性与平稳性1、AR（2）模型可逆性判别

AR（2）模型是无条件可逆的目前三十页\总数九十四页\编于八点2、AR(2)模型平稳性判别

（1）格林函数判别法AR(2)的Green函数目前三十一页\总数九十四页\编于八点(2)特征根判别法与辅助方程判别法AR(2)模型平稳的充要条件是特征方程的根都在单位圆内AR(2)模型平稳的充要条件是自回归辅助方程的根都在单位圆外目前三十二页\总数九十四页\编于八点AR(2)的特征方程为：则可以导出目前三十三页\总数九十四页\编于八点（3）AR(2)模型平稳条件平稳域目前三十四页\总数九十四页\编于八点例3.3考察如下模型的平稳性目前三十五页\总数九十四页\编于八点目前三十六页\总数九十四页\编于八点目前三十七页\总数九十四页\编于八点平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为1、AR(2)的协方差函数（三）AR(2)的统计特征目前三十八页\总数九十四页\编于八点2、AR(2)的ACF（1）ACF的求解目前三十九页\总数九十四页\编于八点（2）ACF的特点3、AR(2)的PACF（1）PACF的求解目前四十页\总数九十四页\编于八点目前四十一页\总数九十四页\编于八点（2）PACF的特点目前四十二页\总数九十四页\编于八点AR(2)ACF、PACF示例目前四十三页\总数九十四页\编于八点目前四十四页\总数九十四页\编于八点目前四十五页\总数九十四页\编于八点例3.4考察如下AR模型的自相关与偏自相关目前四十六页\总数九十四页\编于八点自相关函数呈现出“伪周期”性目前四十七页\总数九十四页\编于八点理论偏自相关函数样本偏自相关图目前四十八页\总数九十四页\编于八点自相关函数不规则衰减目前四十九页\总数九十四页\编于八点理论偏自相关函数样本偏自相关函数图目前五十页\总数九十四页\编于八点三、p

阶自回归模型AR(p)具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为(一)AR(p)特征目前五十一页\总数九十四页\编于八点自回归系数多项式引进延迟算子，模型又可以简记为

自回归系数多项式自回归辅助方程目前五十二页\总数九十四页\编于八点AR(p)模型是无条件可逆的（二）AR(p)的可逆性与平稳性1、AR(p)模型的可逆性目前五十三页\总数九十四页\编于八点2、AR(p)模型平稳性判别（1）格林函数判别法AR(p)的Green函数AR(p)模型平稳的充要条件是目前五十四页\总数九十四页\编于八点（2）特征根判别法与辅助方程判别法AR(p)模型平稳的充要条件是自回归辅助方程的根都在单位圆外目前五十五页\总数九十四页\编于八点1、方差平稳AR模型的传递形式两边求方差得（三）AR(p)的统计特征目前五十六页\总数九十四页\编于八点2、协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘，再求期望根据得协方差函数的递推公式目前五十七页\总数九十四页\编于八点3、自相关函数自相关函数的定义平稳AR(p)模型的自相关函数递推公式目前五十八页\总数九十四页\编于八点·AR模型自相关函数的性质拖尾性呈复指数衰减目前五十九页\总数九十四页\编于八点4、偏自相关函数滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。目前六十页\总数九十四页\编于八点根据Cramer法则，有其中目前六十一页\总数九十四页\编于八点·偏自相关函数的性质AR(p)模型偏自相关函数P步截尾目前六十二页\总数九十四页\编于八点第二节

移动平均过程一、MA模型的定义二、MA模型的统计性质

三、MA模型的可逆性目前六十三页\总数九十四页\编于八点一、MA模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为目前六十四页\总数九十四页\编于八点当时，称模型为中心化的目前六十五页\总数九十四页\编于八点移动平均系数多项式：引进延迟算子，模型又可以简记为

阶移动平均系数多项式目前六十六页\总数九十四页\编于八点二、MA模型的统计性质（一）均值目前六十七页\总数九十四页\编于八点（二）方差目前六十八页\总数九十四页\编于八点（三）自协方差函数自协方差函数q阶截尾目前六十九页\总数九十四页\编于八点（四）自相关函数自相关函数q阶截尾目前七十页\总数九十四页\编于八点常用MA模型的自相关函数MA(1)模型MA(2)模型目前七十一页\总数九十四页\编于八点偏自相关函数拖尾（五）偏自相关函数目前七十二页\总数九十四页\编于八点例3.1考察如下MA模型的相关性质目前七十三页\总数九十四页\编于八点MA模型的自相关函数截尾

目前七十四页\总数九十四页\编于八点目前七十五页\总数九十四页\编于八点MA模型的偏自相关系数拖尾

目前七十六页\总数九十四页\编于八点

目前七十七页\总数九十四页\编于八点三、MA模型的可逆性MA模型自相关系数的不唯一性例3.1中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数目前七十八页\总数九十四页\编于八点（一）可逆的定义可逆MA模型定义若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型可逆概念的重要性一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型.目前七十九页\总数九十四页\编于八点（二）MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外目前八十页\总数九十四页\编于八点可逆MA(1)模型

目前八十一页\总数九十四页\编于八点（三）逆函数的递推公式原理方法待定系数法递推公式目前八十二页\总数九十四页\编于八点例3.2考察如下MA模型的可逆性目前八十三页\总数九十四页\编于八点(1)—(2)逆函数逆转形式目前八十四页\总数九十四页\编于八点(3)—(4)

逆函数逆转形式不可逆目前八十五页\总数九十四页\编于八点第三节

自回归移动平均模型一、ARMA模型的定义二、平稳条件与可逆条件

三、ARMA模型的统计性质四、

ARMA模型的性质总结目前八十六页\总数九十四页\编于八点一、ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为目前八十七页\总数九十四页\编于八点系数多项式引进延迟算子，模型又可以简记为

阶自回归系数多项式阶移动平均系数多项式目前八十八页\总数九十四页\编于八点二、平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定