动力学动量定理和动量矩定理

动力学动量定理和动量矩定理第一页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学目录第17章动量定理和动量矩定理第18章动能定理2第二页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学一.研究对象：二.力学模型：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。

刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。例如：研究卫星的轨道时，卫星质点；刚体作平动时，刚体质点。引言3第三页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。

非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化的模型；包括刚体、弹性体、流体。三.动力学分类:质点动力学质点系动力学质点动力学是质点系动力学的基础。四.动力学的基本问题：大体上可分为两类：

第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。

综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。4第四页，共四十九页，编辑于2023年，星期五第17章动量定理和动量矩定理动力学5第五页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学目录14.1质点动力学的基本方程14.2动量定理14.3动量矩定理6第六页，共四十九页，编辑于2023年，星期五

质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础。质点动力学的基础是三个基本定律。质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的关系。一、质点动力学的基本定律

第一定律(惯性定律)：不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第一定律明确指出了物体运动状态发生变化的原因。

第二定律(力与加速度之间的关系的定律)：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。

§14.1质点动力学的基本方程动力学

7第七页，共四十九页，编辑于2023年，星期五

设作用在质点上的力为F，质点的质量为m，质点获得的加速度为a，则牛顿第二定律可以用矢量方程表示为动力学

第二定律建立了质点的质量、作用于质点的力和质点运动加速度三者之间的关系，并由此可直接导出质点的运动微分方程，它是解决动力学问题最根本的依据。牛顿第二定律指出了质点加速度方向总是与其所受合力的方向相同，但质点的速度方向不一定与合力的方向相同。因此，合力的方向不一定就是质点运动的方向。8第八页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学

第三定律(作用与反作用定律)：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时分别作用在两个物体上。第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引起的，它不仅适用于静止(平衡)状态的物体，而且同样适用于运动状态的物体。9第九页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学

将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。1.矢量形式2.直角坐标形式二、质点的运动的微分方程10第十页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学

3.自然形式

质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标形式、柱坐标等形式。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。11第十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学

质点动力学两类问题：第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力(微分问题)。解题步骤和要点：

①正确选择研究对象一般选择联系已知量和待求量的质点。②正确进行受力分析,画出受力图应在一般位置上进行分析。③正确进行运动分析分析质点运动的特征量。④选择并列出适当形式的质点运动微分方程建立坐标系。⑤求解未知量。12第十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学[例1]桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：①选重物(抽象为质点)为研究对象；

②受力分析如图所示；③运动分析，沿以O为圆心，L为半径的圆弧摆动。13第十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学④列出自然形式的质点运动微方程⑤求解未知量[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。

②拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。14第十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期五[例2]

已知质量为m的质点M在坐标平面内运动，如图所示。其运动方程为，其中是常数。求作用于质点上的力F。解：将质点运动方程消去时间t，得动力学

可见，质点的运动轨迹是以为半轴的椭圆。对运动方程求二阶导数，得加速度

15第十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学即将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影即可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其大小与r的大小成正比，称之为向心力。

16第十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学

第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）。已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。解题步骤如下：①正确选择研究对象。②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。③正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。17第十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学

选择并列出适当的质点运动微分方程。

如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量。

求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。如力是位置的函数，需进行变量置换18第十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期五

[例1]

质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为，其中均是常数，初始时。求质点运动规律。解

研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程

建立质点运动微分方程即

分离变量，对等式两边积分，并以初始条件代入，有动力学19第十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期五积分后得因，分离变量，再次积分，并以初始条件代入，有积分后得动力学20第二十页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算微分方程积分一次再积分一次

解：选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。[例2]

煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到距离为S=5米，H=1.5米的顶板A处。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

?(2)初速与水平的夹角a0？21第二十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学代入最高点A处值，得：即将到达A点时的时间t，x=S

，y=H代入运动方程，得发射初速度大小与初发射角为22第二十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学[例3]

发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。

解：取火箭(质点)为研究对象,建立坐标如图示。火箭在任意位置x处受地球引力F的作用。则在任意位置时的速度

即：23第二十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学可见，v随着x的增加而减小。若则在某一位置x=R+H时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论x多大（甚至为∞）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返时（）的最小初速度（第二宇宙速度）24第二十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学实际上的问题是：

1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。

2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动，仅需要研究质点系整体的运动情况。

对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程，联立求解它们即可。

从本章起，将要讲述解答动力学问题的其它方法，而首先要讨论的是动力学普遍定理（包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理）。§14.2动量定理25第二十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学它们以简明的数学形式，表明两种量

——一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力矩、功等)——之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷。

1、动量（1）质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。是瞬时矢量，方向与v相同。单位是kgm/s。动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例如：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。一、质点系的动量定理26第二十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期五

（2）质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。动力学

质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：（3）刚体系统的动量：设第i个刚体 则整个系统：27第二十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期五解：曲柄OA：滑块B：连杆AB：（P为速度瞬心）

动力学[例１]

曲柄连杆机构的曲柄OA以匀转动，设OA=AB=l

，曲柄OA及连杆AB都是匀质杆，质量各为m，滑块B的质量也为m。求当=45º时系统的动量。28第二十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学系统的动量为29第二十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期五2）力是变矢量：（包括大小和方向的变化）

元冲量：

冲量：1）力是常矢量：动力学2．冲量

力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。30第三十页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学

3）合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．冲量的单位：与动量单位同。31第三十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期五3．质点的动量定理质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）动力学—质点的动量定理①微分形式：（动量的微分等于力的元冲量）②积分形式：32第三十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期五③投影形式：④质点的动量守恒若，则常矢量，质点作惯性运动若，则常量，质点沿x轴的运动是惯性运动4．质点系的动量定理

质点系的动量定理动力学对整个质点系：对质点系内任一质点i，33第三十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期五

质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。

质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。

在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。②积分形式)(12eiIKKå=-动力学①eiKieIdtFå微分形式

)()(dd==å34第三十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期五

③投影形式：å=)(eixxFdtdKå=)(eiyyFdtdKå=)(eizzFdtdKååò==-21)()(12tteixexxdtFSixKKååò==-21)()(12tteiyeyydtFSiyKKååò==-21)()(12tteizezzdtFSizKK动力学④质点系的动量守恒若则常矢量。若则常量。

只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。35第三十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学[例2]

设作用在活塞上的合力为F，按规律变化，其中为活塞的质量为，。已知，活塞的速度m/s，方向沿水平向右。试求s时活塞的速度。解

以活塞为研究对象。已知作用在活塞上的合力F随时间的变化规律及，欲求，故采用积分形式的动量定理。取坐标轴Ox向右为正，根据公式，有

在给定条件下，(a)(b)36第三十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学将式(b)及代入式(a)，得解得

m/s

[例3]

有一质量kg的邮包从传送带上以速度m/s沿斜面落入一邮车内，如图所示。已知邮车的质量kg，原处于静止，不计车与地面间的摩擦，求邮包落入车内后车的速度。37第三十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学

解

将邮包及邮车分别视为两质点，组成一质点系。因作用于质点系上的外力在轴上投影的代数和等于零，即，故质点系的动量在轴上的投影应保持不变，即

解得

m/s38第三十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期五动力学[例4]

如图所示物块，重量各为(W1>W2)，挂在绳子两端，绳子绕在重量为W的均质滑轮上，设下降时其加速度为。求支座对滑轮的约束反力。解两物块和滑轮组成一质点系。作用于质点系上的外力有重力和支座对滑轮的约束反力。设M1下降时，其速度为，应用质点系的动量定理微分形式，在坐标轴上有：39第三十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期五其中质点系的动量及作用于质点系上的外力分别为代入上式得解得

动力学40第四十页，共四十九页，编辑于2023年，星期五

[例5]

质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面上，斜面上另放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。动力学解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析，水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止；则设大三角块速度，小三角块相对大三角块速度为，则小三角块运动分析，41第四十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期五运动分析，设经过ｔ时间后，流体AB运动到位置ab，

[例6]

流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，密度为(kg/m3）。动力学

解：

取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。由质点系动量定理；得42第四十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期五静反力，动反力

计算时，常采用投影形式与相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力。动力学即43第四十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期五1.质点系的质心

质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。动力学质心C点的位置：二、质心运动定理44第四十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期五

在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。动力学内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：2、质点系的内力与外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。45第四十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期五将代入到质点系动量定理，