结构力学静定结构位移计算

（优选）结构力学静定结构位移计算目前一页\总数七十七页\编于八点第一节位移计算概述1、结构的位移杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。变形是指结构原有形状和尺寸的改变；位移是指结构上各点位置产生的变化线位移（位置移动）角位移（截面转动）。思考：变形与位移的差别？两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一定有变形。目前二页\总数七十七页\编于八点第一节位移计算概述形状的改变称变形；位置的改变称位移AyAxAAABAxBxAB=Ax+BxA’A’B’无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还是相对位移统称广义位移绝对位移相对位移FP目前三页\总数七十七页\编于八点第一节位移计算概述2、结构位移计算的目的(1)结构刚度验算的要求。吊车梁允许的挠度<1/600跨度；高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高(3)为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础.(2)施工要求：结构的制作、架设、养护过程中往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取施工措施;目前四页\总数七十七页\编于八点第一节位移计算概述如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移。将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。建筑起拱目前五页\总数七十七页\编于八点第一节位移计算概述3、产生位移的主要原因各种因素对静定结构的影响

内力变形位移荷载√√√温度改变或材料胀缩

×√√支座移动或制造误差

××√产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、③支座移动和制造误差。目前六页\总数七十七页\编于八点4体系特征假定(3)理想联结叠加原理适用(1)线弹性(2)小变形可以利用虚功概念计算结构的位移目前七页\总数七十七页\编于八点第二节变形体虚功原理1、功的概念功：是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作用点的运动路程上对物体作用的效果。功=力×力作用点沿力方向上的位移

理解为广义力广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。目前八页\总数七十七页\编于八点第二节变形体虚功原理实功：力在自身所产生的位移上所作的功。(1)常力作功SFP(2)变力作功FP（力与位移有因果关系）O目前九页\总数七十七页\编于八点第二节变形体虚功原理虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。（力与位移相互独立）FP1FP2（此过程力保持为常量）虚功具体有两种情况：

1作功双方其一是虚设的；

2作功双方均是实际存在的，但彼此无关。目前十页\总数七十七页\编于八点第二节变形体虚功原理注意：定义“功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则称实功；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称虚功；为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念：凡与力相关的因子均称广义力（如集中力、分布力，力偶等）凡与位移相关的因子均称广义位移（如线位移、角位移等）目前十一页\总数七十七页\编于八点：结构产生的各种位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移。广义位移

：与广义位移对应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一组力系。

注意：广义位移与广义力的对应关系，能够在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广义位移对应的广义力。

广义力目前十二页\总数七十七页\编于八点第二节变形体虚功原理作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力；未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变形称虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却是确定的，真实变形是虚变形中的一个。广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必须具有功的量纲。目前十三页\总数七十七页\编于八点回顾（1）质点系的虚功原理

具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：Σfiδri=0→→.

对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即目前十四页\总数七十七页\编于八点（2）刚体系的虚功原理

去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：

对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。FPΔPΔB-FPΔP+FB

ΔB=0目前十五页\总数七十七页\编于八点第二节变形体虚功原理2虚功原理（1）刚体系的虚功原理刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。（2）变形体的虚功原理任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We恒等于变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立：

We=Wi目前十六页\总数七十七页\编于八点变形体虚功原理的必要性证明:FNM+dMMq刚体位移变形力状态（满足平衡条件）位移状态（满足约束条件）FN

＋dFNFSFS

＋dFS第二节变形体虚功原理目前十七页\总数七十七页\编于八点

按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和=微段外力虚功+微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系dWz=dWe+dWiWz=We+WiWz=WeWi=0第二节变形体虚功原理目前十八页\总数七十七页\编于八点

按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和=微段刚体虚功+微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理dWz=dWg+dWidWZ

=

dWidWg

=

0Wz

=

Wi故有Wz=We＝Wi第二节变形体虚功原理目前十九页\总数七十七页\编于八点对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:虚功方程内力总虚功外力总虚功目前二十页\总数七十七页\编于八点力状态的外力和内力都是不变的常力；“虚”仅仅表明作功双方是相互独立的。当一方是真实的时候，另一方即可按要求假设。当体系没有变形时Wi=0,即

We=0。说明刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例;原理说明：第二节变形体虚功原理目前二十一页\总数七十七页\编于八点从变形类型看：即可以考虑弯曲变形，也可考虑拉伸和剪切变形；虚功原理的结论具有普遍性。表现在：

从变形因素看：即可以考虑荷载作用引起的位移，也可考虑温度改变和支座移动引起的位移；从结构类型看：即可用于静定结构，又可用于超静定结构；从材料性质看：即可用于线弹性结构，又可用于非弹性结构。第二节变形体虚功原理目前二十二页\总数七十七页\编于八点由于作功双方地位平等，所以可虚拟任何一方，由此原理可有两个方面的应用：虚功方程同时应用了平衡条件和变形连续条件，因此方程是即可用来代替几何方程，又可代替平衡方程的综合方程。

实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。

——虚力原理

实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。

——虚位移原理第二节变形体虚功原理目前二十三页\总数七十七页\编于八点第三节位移计算公式单位荷载法

(Dummy-UnitLoadMethod)

是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也称为Maxwell-MohrMethod。

用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移，故称为单位荷载法。1、一般位移计算公式目前二十四页\总数七十七页\编于八点协调的位移状态平衡的力状态ABkc1c2kkFPq(x)AB考察同一结构的两个状态，欲求k点位移k实际状态虚设状态目前二十五页\总数七十七页\编于八点外力虚功内力虚功由虚功方程此式即为平面结构位移计算一般公式。若结果为正，表明的实际位移方向与虚设力的方向相同。若结果为负，表明的实际位移方向与虚设力的方向相反目前二十六页\总数七十七页\编于八点(1)在拟求位移点沿位移方向虚设相应单位荷载；(2)在单位荷载作用下，由平衡条件求虚内力和虚反力；(3)由位移计算公式求相应位移。位移计算的一般步骤位移计算的关键在于虚设恰当的力状态第三节位移计算公式目前二十七页\总数七十七页\编于八点求1点竖向线位移求1点绝对角位移求1、2点的相对线位移广义力与广义位移对应关系：1112第三节位移计算公式目前二十八页\总数七十七页\编于八点求1、2两截面的相对角位移求12杆件的转角位移广义力与广义位移对应关系：1212a第三节位移计算公式目前二十九页\总数七十七页\编于八点线弹性、小变形假设下，荷载作用引起的位移：真实变形虚拟内力2、荷载作用下的位移计算公式第三节位移计算公式目前三十页\总数七十七页\编于八点例题：求结构A点竖向位移ABCABCAB段内力函数BC段内力函数第三节位移计算公式目前三十一页\总数七十七页\编于八点设杆件截面形状为矩形：则：土木工程中杆件一般：可见对以弯曲为主的细长杆结构的位移计算可忽略轴向变形和剪切变形的影响第三节位移计算公式目前三十二页\总数七十七页\编于八点各类结构的位移计算公式1、梁和刚架：2、桁架：3、组合结构：4、拱结构：拱内弯矩较小时：拱内弯矩较大时：荷载引起的位移与杆件的绝对刚度值有关第三节位移计算公式目前三十三页\总数七十七页\编于八点

例6-1图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面惯性矩I均为常数，试求B点的竖向位移△BV，水平位移△BH,和位移△B

。

解:(1)作出荷载作用下的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。横梁BC

竖柱CA

目前三十四页\总数七十七页\编于八点(2)求B点的竖向位移△BV

写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图横梁BC

竖柱CA

目前三十五页\总数七十七页\编于八点(3)求B点的水平位移△BH

在B点加单位水平力。画出弯矩图并写出各杆的弯矩方程横梁BC

竖柱CA

注意：负号表示位移的方向与假设的单位力的方向相反。（4）求B点的线位移ΔB

目前三十六页\总数七十七页\编于八点

在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方便。下面寻求一种简单的计算位移的法。受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘称莫尔积分第四节图乘法及其应用目前三十七页\总数七十七页\编于八点对于直杆对直线弯矩图对于等刚度杆xcxycxyCABMPM第四节图乘法及其应用目前三十八页\总数七十七页\编于八点

方法使用条件注意事项1、等刚直杆2、至少有一直线图

和yc为代数量，若它们在杆轴线同侧，则乘积为正；反之为负；

拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；

应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。这也是图乘法的亮点3、yc应取自直线图中第四节图乘法及其应用目前三十九页\总数七十七页\编于八点常见图形面积和形心矩形三角形抛物形第四节图乘法及其应用目前四十页\总数七十七页\编于八点当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们分解为几个简单图形的叠加（分解方法不唯一）i，yi是代数量第四节图乘法及其应用目前四十一页\总数七十七页\编于八点目前四十二页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法例题.已知EI

为常数，求B点的转角位移l/2ABl/2EIFPABMP图图目前四十三页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法ql2/2

例题：求梁B点竖向位移。3l/4解题步骤：①虚拟力状态；②分别作荷载弯矩图和单位弯矩图； ③计算位移。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqABMP图P=1l

图目前四十四页\总数七十七页\编于八点ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2MPl求B点竖向位移。目前四十五页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法PPaaa例题：求图示梁中点的挠度。PaPaP=1a/2a/2？两个图形均非直线性MP图图目前四十六页\总数七十七页\编于八点例题：求图示梁C点的挠度。l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dw5Pl/6？竖标不是取在直线图形中Pl/2l/2CPlMP图CP=1图目前四十七页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法

对折线段要分成直线段做。

对刚度不同的区段要分段做目前四十八页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法

取

yc的图形必须是直线，不能是曲线或折线。

不同的图乘方式，其难易程度不同。当两个图形均为直线图形时，取那个图形的面积均可。目前四十九页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法练习.已知EI

为常数，求中点C点的竖向位移l/2ABEICql/2目前五十页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法练习.

已知EI

为常数，求距右支座l/3处C点的竖向位移。2l/3ABEICql/3

分几段？

各段面积的形心怎样确定？

各段的yc怎样确定?MP图图目前五十一页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法求C截面竖向位移CMP图图目前五十二页\总数七十七页\编于八点1.图乘法的应用条件：（1）等刚度直杆；（2）两个内力图中应有一个是直线；（3）yc应取自直线图中。2.若与yc在杆件的同侧，yc

取正值；反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形.图乘法小结目前五十三页\总数七十七页\编于八点练习.

已知EI

为常数，求A、B两点的相对位移ABlhABCDq目前五十四页\总数七十七页\编于八点求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163)()®¬=EI-756øö×××+3322318çèæ××××-+EI643636311øö+×××-2639632(çèæ×+×-××+××-=DEI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常数9999999目前五十五页\总数七十七页\编于八点练习.

已知EI

为常数,求C铰两侧相对转角位移qlllABDC目前五十六页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法练习.

已知EA

为常数,求D点水平位移D以及EC杆的转角位移ECABCDEFFP2aa只需求出都为非零杆内力目前五十七页\总数七十七页\编于八点第四节图乘法练习.

已知EI

为常数，试问当FP为何值时，B点竖向位移B＝0.ABlqFP目前五十八页\总数七十七页\编于八点弹性支座处理：方法1.将弹簧看成是结构中的一个可变形的构件（拉压杆）方法2.将弹簧支座的变形看成是主体结构的支座位移。FPlaABCEI第四节图乘法目前五十九页\总数七十七页\编于八点第五节非荷载因素作用下位移计算1、温度的改变虽不产生内力，但产生位移温度改变引起的微段变形中性轴目前六十页\总数七十七页\编于八点当温度变形与虚内力变形方向一致时，乘积为正温度改变不产生剪切变形ABC单位弯矩图面积单位轴力图面积第五节非荷载因素作用下位移计算目前六十一页\总数七十七页\编于八点由温度变化引起的位移与刚度系数无关，所以不能通过增加刚度的方法控制位移。温度改变引起的轴向变形已不能忽略。注：第五节非荷载因素作用下位移计算目前六十二页\总数七十七页\编于八点2．下料误差处理将杆件加长看成杆件变形。只须求出下料有误的杆件内力例题.

桁架上弦杆每杆按设计长出0.02米，求由此引起的C点竖向位移C？ABCDEF26m6m第五节非荷载因素作用下位移计算目前六十三页\总数七十七页\编于八点3．支座移动引起的位移利用刚体虚功原理例题.

由于固端支座发生偏转，求引起k点的竖向位移。M=lkl/2ll/2第五节非荷载因素作用下位移计算目前六十四页\总数七十七页\编于八点第五节其它因素产生的位移例题：求图示结构由于支座移动产生的位移。abl/2l/2h110=AY1=BhX0=BY=1AhX解：虚拟单位荷载，由平衡条件，求支座反力。代入公式求位移。目前六十五页\总数七十七页\编于八点第五节其它因素产生的位移例题：求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa0+10+10CP=1P=1－1aFN图M

图目前六十六页\总数七十七页\编于八点材料满足线弹性，小变形的假设ABFPq<状态2>ABMq<状态1>考察同一结构的两种受力和变形状态。两种状态均满足受力平衡和变形协调。第六节线弹性体系的互等定理1功的互等定理目前六十七页\总数七十七页\编于八点功的互等定理：处于平衡且满足协调的两个状态1、2，状态1的外力在状态2的位移上所作的总虚功等于状态2的外力在状态1的位移上所作的总虚功。第六节线弹性体系的互等定理目前六十八页\总数七十七页\编于八点2位移互等定理1221ABFP2<状态2>ABFP1<状态1>第六节线弹性体系的互等定理目前六十九页\总数七十七页\编于八点位移互等定理：同一结构，在位置1作用单位力引起位置2处的位移，等于在位置2作用单位力引起位置1处的位移。ij

是广义位移与产生该位移的力的比值，它乘以力后得位移，故应