第四章拉普拉斯变换与域分析

（优选）第四章拉普拉斯变换与域分析目前一页\总数一百六十一页\编于七点二、拉普拉斯变换优点

拉普拉斯变换是一种算子方法，可以把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。通过拉斯变换，可以简化运算，方便分析系统。（1）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。（2）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。（3）拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。（4）利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。目前二页\总数一百六十一页\编于七点三、从傅里叶变换到拉普拉斯变换则定义1．拉普拉斯变换目前三页\总数一百六十一页\编于七点2．拉氏逆变换目前四页\总数一百六十一页\编于七点3．拉氏变换对目前五页\总数一百六十一页\编于七点四、从算子法的概念说明拉氏变换的定义设变换关系可以通过积分完成目前六页\总数一百六十一页\编于七点五、拉氏变换的收敛

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。实际上就是拉氏变换存在的条件；Oσjw0σ收敛轴收敛区目前七页\总数一百六十一页\编于七点说明5.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。目前八页\总数一百六十一页\编于七点五、一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛

3.单位冲激信号目前九页\总数一百六十一页\编于七点4．tnu(t)目前十页\总数一百六十一页\编于七点已知则同理5.正弦和余弦目前十一页\总数一百六十一页\编于七点第二节

拉氏变换的基本性质目前十二页\总数一百六十一页\编于七点目前十三页\总数一百六十一页\编于七点二．原函数微分推广：证明：目前十四页\总数一百六十一页\编于七点例电感元件的s域模型应用原函数微分性质设目前十五页\总数一百六十一页\编于七点三．原函数的积分证明：①②①②目前十六页\总数一百六十一页\编于七点电容元件的s域模型目前十七页\总数一百六十一页\编于七点四．延时（时域平移）证明：目前十八页\总数一百六十一页\编于七点【例】已知【例】目前十九页\总数一百六十一页\编于七点五．s域平移证明：目前二十页\总数一百六十一页\编于七点目前二十一页\总数一百六十一页\编于七点六．尺度变换时移和尺度变换都有时:证明：证明：见黑板目前二十二页\总数一百六十一页\编于七点七．初值目前二十三页\总数一百六十一页\编于七点初值定理证明由原函数微分定理可知目前二十四页\总数一百六十一页\编于七点说明目前二十五页\总数一百六十一页\编于七点终值存在的条件:八．终值证明：根据初值定理证明时得到的公式目前二十六页\总数一百六十一页\编于七点例3

即单位阶跃信号的初始值为1。例4目前二十七页\总数一百六十一页\编于七点九．卷积证明：交换积分次序目前二十八页\总数一百六十一页\编于七点十．对s微分目前二十九页\总数一百六十一页\编于七点十一．对s积分两边对s积分：交换积分次序:证明：目前三十页\总数一百六十一页\编于七点第四节

拉氏逆变换目前三十一页\总数一百六十一页\编于七点一、系统的s域分析方法（1）部分分式展开法（2）长除法用拉氏变换方法分析系统时，最后还要将象函数进行拉氏反（逆）变换。求解拉氏逆变换的方法有：（3）留数法目前三十二页\总数一百六十一页\编于七点二、部分分式展开法目前三十三页\总数一百六十一页\编于七点部分分式展开法(1)极点为单实根的情况（p1…pn）说明：m≥n时，先用长除法将分子中的高次项提出，余下的满足m<n部分按上法分解。目前三十四页\总数一百六十一页\编于七点例1无重根目前三十五页\总数一百六十一页\编于七点目前三十六页\总数一百六十一页\编于七点例2非真分式目前三十七页\总数一百六十一页\编于七点目前三十八页\总数一百六十一页\编于七点例3目前三十九页\总数一百六十一页\编于七点目前四十页\总数一百六十一页\编于七点目前四十一页\总数一百六十一页\编于七点（3）极点包含多重根的情况（k重根p1）其中D(s)为分母除去多重根剩余部分目前四十二页\总数一百六十一页\编于七点例4目前四十三页\总数一百六十一页\编于七点举例4.4:目前四十四页\总数一百六十一页\编于七点目前四十五页\总数一百六十一页\编于七点三、留数法设一闭合围线的积分路径为无限大圆弧,则上式中积分等于围线中被积函数所有极点的留数之和目前四十六页\总数一百六十一页\编于七点目前四十七页\总数一百六十一页\编于七点第五节

用拉氏变换法分析电路目前四十八页\总数一百六十一页\编于七点一.用拉氏变换法分析电路的步骤列s域方程（可以从两方面入手）列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程。，得到时域解答。目前四十九页\总数一百六十一页\编于七点二．微分方程的拉氏变换我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的s域模型。目前五十页\总数一百六十一页\编于七点三．利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型电阻元件的s域模型目前五十一页\总数一百六十一页\编于七点电感元件的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：目前五十二页\总数一百六十一页\编于七点电容元件的s域模型电流源形式：目前五十三页\总数一百六十一页\编于七点2.电路定理的推广线性稳态电路分析的各种方法都适用。3.求响应的步骤

画0-等效电路，求起始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。目前五十四页\总数一百六十一页\编于七点目前五十五页\总数一百六十一页\编于七点（4）求反变换目前五十六页\总数一百六十一页\编于七点求两种方法结果一致。使用0-系统使分析各过程简化。目前五十七页\总数一百六十一页\编于七点(3)对微分方程两边取拉氏变换（采用0-系统）目前五十八页\总数一百六十一页\编于七点重解列s域方程:目前五十九页\总数一百六十一页\编于七点结果同前目前六十页\总数一百六十一页\编于七点第六节

系统函数（网络函数）H(s)目前六十一页\总数一百六十一页\编于七点1.定义一．系统函数响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比目前六十二页\总数一百六十一页\编于七点3.应用：求系统的响应2．求H(s)的方法利用网络的s域元件模型图，列s域方程→微分方程两端取拉氏变换→目前六十三页\总数一百六十一页\编于七点二．LTIS互联的系统函数1．LTI系统的并联2．LTI系统的级联目前六十四页\总数一百六十一页\编于七点3．LTI系统的反馈连接目前六十五页\总数一百六十一页\编于七点4．结论在s域可进行代数运算：目前六十六页\总数一百六十一页\编于七点一、系统函数定义系统函数H(s):系统零状态响应的拉氏变换R(s)与激励的拉氏变换E(s)之比H(s)可能是阻抗或导纳或数值比当r(t)与e(t)同端时称

“策动点函数”，当r(t)与e(t)异端时称

“转移函数”目前六十七页\总数一百六十一页\编于七点二、系统函数求响应系统分析方法求解：将网络作出S域元件模型图；按照元件约束特性和拓扑约束(KCL、KVL)特性写出与R(s)与E(s之比)即网络（系统）函数目前六十八页\总数一百六十一页\编于七点第七节

由系统函数零、极点分布决定

时域特性目前六十九页\总数一百六十一页\编于七点一．序言冲激响应h(t)与系统函数H(s)

从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。

主要优点：1．可以预言系统的时域特性；2．便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。目前七十页\总数一百六十一页\编于七点二、H(s)零、极点分布与h(t)的对应设集总参数线性时不变系统其系统函数为其中zj为第j个零点，pi为i第个极点位置目前七十一页\总数一百六十一页\编于七点则H(s)部分分式分解后，其每个极点将决定一项对应的时间函数目前七十二页\总数一百六十一页\编于七点H(s)零、极点分布与h(t)的对应目前七十三页\总数一百六十一页\编于七点H(s)零、极点分布与h(t)的对应目前七十四页\总数一百六十一页\编于七点H(s)零、极点分布与h(t)的对应图（1）极点在原点：为单极点，则系统冲激响应为阶跃函数；为多重极点，则系统为增长函数，为不稳定系统。变换到时域变换到时域目前七十五页\总数一百六十一页\编于七点H(s)零、极点分布与h(t)的对应图（2）极点在s的左半平面：系统为衰减系统，为稳定系统。变换到时域目前七十六页\总数一百六十一页\编于七点变换到时域变换到时域目前七十七页\总数一百六十一页\编于七点H(s)零、极点分布与h(t)的对应图（3）极点在s的虚轴上：单极点（一定为一对共轭极点），则系统为振荡系统，则系统为临界稳定系统。若系统为多重极点，系统为增长系统，则系统为不稳定系统。目前七十八页\总数一百六十一页\编于七点变换到时域变换到时域目前七十九页\总数一百六十一页\编于七点(4)极点在s的右半平面：系统为增长函数，则系统为不稳定系统。变换到时域变换到时域目前八十页\总数一百六十一页\编于七点结论目前八十一页\总数一百六十一页\编于七点总之，若H(s)极点落于s左半平面（或右半平面）则对应h(t)波形为衰减形式（或增长形式）；若H(s)极点（共轭极点）落于虚轴上,则对应波形为等幅振荡或阶跃（或增长式）;而H(s)

零点分布仅影响h(t)的幅度和相位不影响其t平面波形。目前八十二页\总数一百六十一页\编于七点三、H(s)、E(s)极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应设集总参数线性时不变系统的系统响应R(s),激励信号E(s)与系统函数H(s)之间满足R(s=H(s)E(s)其中zj、pi分别为H(s)的第个j零点和第i个极点，zl、pk分别为E(s)的第个l零点和第k个极点，目前八十三页\总数一百六十一页\编于七点H(s)极点与系统响应的对应目前八十四页\总数一百六十一页\编于七点目前八十五页\总数一百六十一页\编于七点结论：响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点自由响应分量；激励函数的极点强迫响应分量。目前八十六页\总数一百六十一页\编于七点自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数都有关。四、瞬态响应与稳态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。目前八十七页\总数一百六十一页\编于七点目前八十八页\总数一百六十一页\编于七点给定系统微分方程试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：方程两端取拉氏变换目前八十九页\总数一百六十一页\编于七点则

目前九十页\总数一百六十一页\编于七点稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应极点位于s左半平面极点位于虚轴暂态响应稳态响应H(s)的极点E(s)的极点自由响应强迫响应目前九十一页\总数一百六十一页\编于七点第八节

由系统函数零、极点分布决定频响特性目前九十二页\总数一百六十一页\编于七点一、H(s)和频响特性的关系1频响特性所谓“频响特性”是指系统H(s)在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。2H(s)零、极点决定系统的频响特性目前九十三页\总数一百六十一页\编于七点则系统响应目前九十四页\总数一百六十一页\编于七点二、系统正弦稳态响应其中稳态响应可见:在频率为w0的正弦激励信号作用下,系统稳态响应仍为同频率的正弦信号.但幅度乘以系数H0,相位移动且:目前九十五页\总数一百六十一页\编于七点系统频响特性目前九十六页\总数一百六十一页\编于七点三、滤波网络的频响特性wc称截止频率，w<wc范围称为通带，w>wc范围称为阻带目前九十七页\总数一百六十一页\编于七点目前九十八页\总数一百六十一页\编于七点四、S平面几何分析法设集总参数线性时不变系统的系统函数取s=jwS平面几何分析法：由H(s)的零、极点分布绘制频响曲线目前九十九页\总数一百六十一页\编于七点则系统频响特性目前一百页\总数一百六十一页\编于七点

当w沿虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都随之改变，于是就得出幅频特性曲线和相频特性曲线。这种方法称为“s平面几何分析法”目前一百零一页\总数一百六十一页\编于七点举例4.7:如图所示RC高通滤波网络，求其频响特性目前一百零二页\总数一百六十一页\编于七点举例4.7目前一百零三页\总数一百六十一页\编于七点举例4.7:目前一百零四页\总数一百六十一页\编于七点

此点为高通滤波器的截止频率点。目前一百零五页\总数一百六十一页\编于七点目前一百零六页\总数一百六十一页\编于七点目前一百零七页\总数一百六十一页\编于七点第九节

二阶谐振系统的s平面分析目前一百零八页\总数一百六十一页\编于七点一、二阶谐振系统的s平面分析目前一百零九页\总数一百六十一页\编于七点二阶谐振系统的s平面分析目前一百一十页\总数一百六十一页\编于七点二阶谐振系统的s平面分析目前一百一十一页\总数一百六十一页\编于七点二阶谐振系统的s平面分析目前一百一十二页\总数一百六十一页\编于七点二阶谐振系统的s平面分析目前一百一十三页\总数一百六十一页\编于七点二阶谐振系统的s平面分析目前一百一十四页\总数一百六十一页\编于七点3)具共轭极点和零点的谐振系统:二阶谐振系统的s平面分析目前一百一十五页\总数一百六十一页\编于七点二阶谐振系统的s平面分析目前一百一十六页\总数一百六十一页\编于七点二阶谐振系统的s平面分析目前一百一十七页\总数一百六十一页\编于七点作业P2594-37，4-38，4-39目前一百一十八页\总数一百六十一页\编于七点第十节全通函数与最小相移函数的零、极点分布目前一百一十九页\总数一百六十一页\编于七点一、全通函数的定义全通函数：一个系统函数，其：

极点位于左半平面，

零点位于右半平面，且零点与极点对于jw轴互为镜像，那么，此系统函数称为全通函数。此系统称为全通系统或全通网络。目前一百二十页\总数一百六十一页\编于七点二、全通函数的特性全通：即指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。常数目前一百二十一页\总数一百六十一页\编于七点例4-23：系统函数如下其零、极点分布互为镜像。因此为一个全通网络。其频率特性：目前一百二十二页\总数一百六十一页\编于七点一．全通网络零、极点分布

极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴互为镜像频率特性目前一百二十三页\总数一百六十一页\编于七点频率特性幅频特性——常数相频特性——不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。

由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即目前一百二十四页\总数一百六十一页\编于七点三、最小相移网络与非最小相移网络问题提出：为使系统稳定，必须限制网络函数的极点位于左半平面，而其零点落于s平面的右半或左半平面对系统特性有何影响？结论：零点落于s平面的右半平面的图形，其相移的绝对值比较大，而零点落在左半平面的图形其相移比较小。目前一百二十五页\总数一百六十一页\编于七点最小相移网络与非最小相移网络最小相移函数：零点全部位于左半平面或jw轴的系统函数称之。该系统称为“最小相移系统”。非最小相移函数：系统函数在右半平面有一个或多个零点，那么，就称为“非最小相移函数”该系统称为“非最小相移系统”。目前一百二十六页\总数一百六十一页\编于七点目前一百二十七页\总数一百六十一页\编于七点非最小相移函数=最小相移函数全通函数即：非最小相移系统=最小相移系统与全通系统的级联。目前一百二十八页\总数一百六十一页\编于七点三．级联非最小相移网络最小相移网络全通网络目前一百二十九页\总数一百六十一页\编于七点作业P2614-41，4-42目前一百三十页\总数一百六十一页\编于七点第十一节

线性系统的稳定性目前一百三十一页\总数一百六十一页\编于七点一、线性系统的稳定性（1）因果系统的分类目前一百三十二页\总数一百六十一页\编于七点（2）稳定系统的定义若系统对任意的有界输入其零状态响应也是有界的，则称此系统为稳定系统(BIBO)即对，其

其中Me，Mr为有界正值（3）稳定系统的充分必要条件：即H(s)极点位于s左半平面目前一百三十三页\总数一百六十一页\编于七点例4-24已知两因果系统的系统函数激励信号分别为求两种情况的响应并讨论系统稳定性。目前一百三十四页\总数一百六十一页\编于七点解：激励信号的拉氏变换为：系统响应的拉氏变换为目前一百三十五页\总数一百六十一页\编于七点系统响应的时域表达式：看出：激励信号有界，而产生无界信号的输出。说明：系统属不稳定。从系统函数的极点看：系统在虚轴上有一阶极点，属临界稳定系统。目前一百三十六页\总数一百六十一页\编于七点二、系统稳定性在电路中的具体体现稳定系统：通常不含有受控源的RLC电路，一定为稳定系统。振荡系统：只有LC元件构成的电路会出现H(s)极点位于虚轴的情况，h(t)呈等幅振荡。以上两种情况都是无源网络，它们不能对外部供给能量，响应函数幅度有限的，属稳定或临界稳定系统。含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定几种情况。目前一百三十七页\总数一百六十一页\编于七点举例4.25目前一百三十八页\总数一百六十一页\编于七点目前一百三十九页\总数一百六十一页\编于七点目前一百四十页\总数一百六十一页\编于七点目前一百四十一页\总数一百六十一页\编于七点举例4.26:目前一百四十二页\总数一百六十一页\编于七点目前一百四十三页\总数一百六十一页\编于七点三、连续系统的稳定性准则判别系统是否稳定，是否每次都要求出H(s)的极点位置，才能判别其稳定性呢？否。可以根据H(s)的分母多项式D(s)的系数来判断系统的稳定性。系统稳定的必要条件：H(s)的分母多项式D(s)的所有系数ai都必须是正实数。目前一百四十四页\总数一百六十一页\编于七点1、稳定系统判断系统稳定的判断：（a）各系数为正实数且不能等于0。（b）如果有一个系数=0，则系统处于临界稳定。（c）如果系统全部缺奇次项，或全部缺偶次项；系统都是临界稳定或不稳定。目前一百四十五页\总数一百六十一页\编于七点2、罗斯-霍尔维兹稳定性判据罗斯-霍尔维兹稳定性判据指出：若则D(s)=0方程式的根位于s右半平面的个数等于罗斯阵列第一列数字符号改变的次数。D(s)的根全部位于s左半平面的充要条件是：D(s)的系数全部是不等于0的正实数（无缺项），并且罗斯阵列第一列数字符号相同。目前一百四十六页\总数一百六十一页\编于七点罗斯-霍尔维兹稳定性判据罗斯阵列：（以n=6为例）其中目前一百四十七页\总数一百六十一页\编于七点罗斯-霍尔维兹稳定性判据罗斯阵列：（以n=6为例）其中目前一百四十八页\总数一百六十一页\编于七点罗斯-霍尔维兹稳定性判据罗斯阵列：（以n=6为例）其中目前一百四十九页\总数一百六十一页\编于七点例子1符号改变两次，两个根在右半平面，系统不稳定。目前一百五十页\总数一百六十一页