高考数学人教A·数学文全程复习方略配套课件：直线平面垂直的判定及其性质

第五节直线、平面垂直的判定及其性质三年20考高考指数:★★★★1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等；3.通过求线面角，或与几何体的体积结合在一起命题，进而考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现.1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义条件：直线l与平面α内的_____一条直线都垂直.结论：直线l与平面α垂直.任意(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直.∵_____，_____，_____,_____，_______，∴l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线______.∵_____，______，∴a∥bαabOlaαb平行l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩b=Oa⊥αb⊥α相交【即时应用】(1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面α内，或者l与平面α相交但不垂直.(2)直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系是_______.【解析】由b∥α可得b平行于α内的一条直线，设为b′.因为a⊥α，所以a⊥b′，从而a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面.答案：垂直2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______，叫做这条直线和这个平面所成的角.如图，______就是斜线AP与平面α所成的角.(2)线面角θ的范围：θ∈［0，］.锐角∠PAO【即时应用】(1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.(2)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C与平面A1B1C1D1所成的角为_______，其大小为_____；D1B与平面ABCD所成的角的正弦值为_____.【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为∠CB1C1，其大小为45°；连接BD，则D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD，其正弦值为答案：∠CB1C145°3.平面与平面垂直(1)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的___.如图的二面角，可记作:二面角________或二面角_________.α-l-βα-AB-β面②二面角的平面角：如图，过二面角α-l-β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l,则_______就叫做二面角α-l-β的平面角.③平面角的范围：设二面角的平面角为θ，则θ∈［0,π］.∠AOB(2)平面与平面垂直①定义：条件：两相交平面所成的二面角为_________.结论：这两平面垂直.直二面角②平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直.∵______,______,∴α⊥β垂线l⊥αl⊂βαβl③平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面垂直.∵______,________,______________∴l⊥α交线β⊥αα∩β=al⊂βl⊥alaβα【即时应用】(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.(2)已知α,β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”)【解析】由条件知，当m⊥β时，一定有α⊥β；但反之不一定成立.故填必要不充分.答案：必要不充分(3吩)将正循方形AB柄CD沿AC折成凭直二尼面角倚后，朵∠DA筐B=凝__牛__址__至_.【解析】如图,取AC的中棕点O，连斗接DO，BO，则DO没⊥A单C，BO宪⊥A功C，故璃∠DO鸡B为二面角养的平乖面角管，从梅而∠DO施B=烛90魔°.设正方形屿边长沙为1，则愁所漆以DB流=1，故遇△AD乔B为等疤边三盆角形哀，所尘以∠DA悠B=英60厘°.答案屿：60东°ABCDO直线历与平责面垂死直的霞判定蓄和性消质【方法秘点睛】1.判定苍线面缠垂直黑的常冈用方俘法方法一

利用线面垂直的判定定理

方法二

利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.方法三

利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.

方法四

利用面面垂直的性质2.线面渣垂直幼性质息的应好用当直援线和悬平面诊垂直踪蝶时，叶则直破线与扩平面赢内的啦所有闪直线安都垂产直，浙给我粱们提叨供了拒证明呢空间她两线采垂直谁的一会种重锻要方刺法.【提醒】解题瞎时一及定要肥严格丹按照斥定理今成立岸的条生件规良范书争写过滩程.如用照判定支定理弦证明湾线面膨垂直统时，泳一定避要体建现出“平面绢中的辩两条辉相交馒直线”这一当条件.【例1】钥(1量)(表20膨12逼·北京牢模拟)已知岂如图时，六如棱锥P-赞AB粱CD苗EF的底卫面是尼正六技边形家，PA卡⊥平面AB象C.则下忆列结赵论不却正确仗的是(猎)(A融)C席D∥平面PA宫F(B增)D疗F⊥平面PA组F(C乖)C博F∥平面PA写B(D率)C赚F⊥平面PA扬D(2擦)(梅20咳12苍·鹰潭初模拟)如图劣，三达棱锥P-证AB孔C中，PA帜⊥底面AB养C，AB疤⊥B勾C，DE垂直悲平分脆线段PC，且炸分别崇交AC、PC于D、E两点,又PB疤=B词C，PA泼=A伐B.①求证吧：PC犹⊥平面BD稍E；②若严点Q是线催段PA上任易一点变，判厅断BD、DQ的位朱置关彻系，换并证仇明你恼的结平论；③若AB堪=2际,求三视棱锥B-闪CE伪D的体锅积.【解题征指南】(1肤)根据专线面悼平行娇、垂浙直的赴判定斜定理烈来判溉断.(2削)①利用字线面技垂直球的判蛙定定宗理证撇明；岭②证义明BD钉⊥平面PA钳C即可蚁；③甜根据VB-壤CE竭D=VC-落BD移E，转兽化为忙求S△B灶DE及CE的长准度.【规范柜解答】(1练)选D.由正射六边神形的犹性质境得CD肺∥A辟F，CF呆∥A垮B，故A、C正确淡；因置为PA吼⊥平面AB焦C，所猛以PA摸⊥D窝F，又DF芹⊥A护F，PA帽∩A牺F=冒A，故DF贯⊥平面PA校F，即B正确.故选D.(2务)①由等劣腰三睡角形PB挑C，得BE话⊥P许C，∵DE垂直编平分PC，∴DE部⊥P垫C，又BE虎∩D爱E=寸E，∴PC像⊥平面BD按E②由①汽得，PC惊⊥B疾D，∵PA浸⊥底面AB饰C，∴PA瓣⊥B栽D.又PC钢∩P眯A=骗P，∴BD音⊥平面PA勿C∴当点Q是线傲段PA上任疤一点灭时都含有BD驾⊥D镰Q.③∵失PA翅=A猛B=抓2,∴∵A哨B⊥裂BC石,∴∴P迎C=闸4，CE杆=2，且∵△CD挪E∽俭△C投PA，∴∴由②伸知：BD彼⊥D周E.∴【互动马探究】本例(2虾)②若改享为“写设Q是线泽段PA上任把意一越点，亚求证举：平错面BD柱Q⊥平面PA介C”，如野何证听明？【证明】由(2叙)②的解扮法可元知BD形⊥平面PA寻C.又BD烫⊂平面BD脖Q,∴平面BD枯Q⊥平面PA胞C.【反思·感悟】1.在证换明垂咐直关做系时台，要冒注意西线面罚垂直伶与面筐面垂虽直间锐的相犯互转貌化，芬同时肌要注减意通关过作凉辅助的线进撇行这允种转喉化.2.解答源与垂瞒直有腥关的野问题佣时要桑重视农对图次形的遭观察多与分鸽析，针从中求找到规线线调垂直码往往煤是解地题的尊关键稳，因矮为所主有的作垂直量问题触都可朵转化联为线白线垂薯直来精处理.【变式烘备选】如图链所示委，在懒长方姻体AB践CD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧机棱BB1的中榆点.(1荣)求证盟：A1E⊥平面AD放E；(2讲)求三尖棱锥A1－AD笼E的体率积.【解析】(1膀)由勾肠股定嘴理得规：∴A1A2＝A1E2＋AE2，∴菜∠AE即A1=9猴0°，∴A1E⊥帝AE易.∵A肾D⊥平面AA1B1B，A1E⊂平面AA1B1B，∴A1E⊥茫AD，又AD荣∩A亭E＝A，∴A1E⊥平面AD猎E.(2名)由题吸意得平面博与平艺面垂亩直的竿判定耗和性桶质【方法根点睛】1.判定格面面湿垂直腔的方呆法面面出垂直凭的判冈定综事合性育强，勤可通外过转薄化使营问题慌得以拐解决揪，“浅线线岛垂直巩”、遥“线猛面垂短直”杏、“挺面面皆垂直嚷”间佩的关鬼系如坑图，其中舒线线采垂直溉是基豪础，之线面睁垂直吨是核兵心.解决武这类乐问题猜时要养善于惕挖掘藏题目公中隐与含着岭的线烈线垂愈直、枕线面置垂直俩的条章件.2.面面叉垂直茄性质裙的应公用(1姿)两平肺面垂肯直的恋性质竭定理队是把男面面直垂直惠转化吸为线杏面垂缺直的判依据框，运弄用时规要注换意“岛平面散内的碌直线脊”.(2浑)两个蹲相交坐平面逝同时午垂直洽于第塌三个论平面冠，它血们的铃交线斥也垂面直于查第三高个平黎面.【例2】如图济，在菌△BC颂D中，碗∠BC应D＝90榜°，BC＝CD＝1，AB剃⊥平面BC动D，∠AD决B＝60症°，E、F分别乱是AC、AD上的候动点聪，且(1桨)判断EF与平镰面AB丸C的位吓置关萍系并显给予证明货；(2馒)是否行存在λ，使虽得平樱面BE茂F⊥平面AC昼D，如果倡存在丹，求辽出λ的值锐，如然果不魄存在闪，说犹明理灿由.【解题固指南】(1久)结合摘图形闹猜测EF与平保面AB貌C垂直.由知EF希∥C讲D，由腿∠BC耳D＝90畏°及AB瓶⊥平面BC咏D可证鸽得结员论成暂立.(2育)由EF蜜∥C艺D可知拳问题两相当竖于过轻点B作一识个平级面与掌平面AC按D垂直简，而穗这样凡的平后面一减定存悄在，炉故只怀需计专算出λ即可.【规范唉解答】(1订)E盛F⊥平面AB丛C.证明染：∵AB罢⊥平面BC颈D，∴AB顷⊥C止D，在△BC蹲D中，贩∠BC揪D＝90护°，∴BC学⊥C翻D，又AB棍∩B挽C＝B，∴CD蔬⊥平面AB沟C，在△AC去D中∴EF冻∥C躬D，∴EF烧⊥平面AB概C.(2锡)∵权CD似⊥平面AB性C，BE黄⊂平面AB袜C，∴BE桂⊥C覆D，故要麻使平无面BE旧F⊥平面AC极D，只却需证BE秆⊥A垮C.在Rt红△A算BD中，爪∠AD厕B＝60验°，∴AB＝BD济ta姓n6叮0°＝则当BE督⊥A馆C时，则BE薪⊥A幻玉C，又BE倾⊥C岗D，AC肆∩C茄D＝C，∴BE织⊥平面AC茎D，∵BE院⊂平面BE矿F，∴平蛙面BE乱F⊥平面AC外D.所以恼存在援时姿，平昆面BE悟F⊥平面AC识D.【反思·感悟】证明怀面面会垂直钥时一辟般先释证线篇面垂阿直，晋确定泻这条皮直线笔时可悟从图虫中现廉有的坑直线阀中去核寻找精，若净图中顺不存将在这揭样的始直线横，则凤应通规过添唇加辅州助线川来构楚造.【变式与训练】如图蜻，四弱棱锥P-跟AB纱CD中，冻底面AB毕CD是∠DA陪B=磨60配°的菱画形，始侧面PA竖D为正三伯角形辣，其叔所在嘉平面宵垂直背于底愈面AB消CD浆.(1守)求证土：AD封⊥P件B;(2当)若E为BC边的柿中点桥，能腿否在摇棱PC上找吵到一春点F，使础平面DE武F⊥平面AB纽奉CD，并全证明银你的衰结论.【解析】(1流)如图誉，取AD的中顽点G，连星接PG，BG，BD偷.∵△煎PA本D为等铃边三缴角形零，∴PG研⊥A脆D,又∵奸平面PA弊D⊥平面AB键CD，∴PG条⊥平面AB宪CD凉.在△AB尸D中，梁∠DA诉B=诊60梢°,视AD枝=A奸B,∴△裳AB黄D为等硬边三绑角形捕，∴BG窃⊥A换D,且BG凭∩P贼G=怠G,∴A缘瑞D⊥平面PB摘G,延∴A次D⊥全PB貌.(2眠)连接CG拨,D蝇E,且CG与DE相交集于H点，在△PG舟C中作HF宏∥P膀G，交PC于F点，绑连接DF，∴FH谁⊥平面AB握CD烤,∴平面DE喘F⊥平面AB让CD贤.∵菱形AB躲CD中，G、E分别竭为AD、BC的中亦点，惧即得肤知H是CG的中侨点，眯∴F是PC的中榜点，∴在PC上存尸在一炭点F，即皮为PC的中诸点，尘使得断平面DE僵F⊥平面AB坏CD仁.垂直束关系得的综竿合问壳题【方法仁点睛】垂直币关系奔综合旷题的顺类型瞎及解浅法(1事)对于紫三种借垂直超的综卸合问秤题，吵一般授通过源作辅描助线锹进行逝线线扒、线务面、袄面面悲垂直则间的乖转化.(2诵)对于埋垂直吃与平兰行结伯合的浴问题班，求壁解时坚应注图意平迷行、心垂直录的性甘质及分判定纯的综屯合应烫用.(3旱)对于敲垂直滴与体贞积结肢合的冻问题怒，在童求体奶积时缺，可候根据食线面夫垂直努得到扣表示懂高的广线段麦，进垫而求湖得体吓积.【例3】狮(2盈01匹2·唐山顶模拟)如图脱，已牙知三峡棱锥A－BP斩C中，AP英⊥P哈C，AC锄⊥B暂C，M为AB的中点，D为PB的中责点，鲜且△PM厅B为正码三角嚷形.(1命)求证静：DM隙∥平面AP跪C；(2拼)求证露：平离面AB甩C⊥平面AP遥C；(3举)若BC＝4，AB＝20，求怪三棱污锥D－BC疯M的体舰积.【解题呈指南】(1挥)要证DM业∥平面AP智C,只需老证明DM爬∥A量P；(2载)证BC籍⊥平面AP弊C；(3寇)通过VD－BC岛M＝VM－BC抱D求体班积.【规范鞭解答】(1准)∵厚M为AB中点部，D为PB中点尸，∴DM锐∥A盒P，又DM座平面AP旧C，AP傍⊂平面AP助C.∴D棒M∥平面AP情C.(2挎)∵鹊△P席MB为正巷三角宵形，辱且D为PB中点朱，∴MD搂⊥P异B，又由(1虽)知MD侦∥A胞P，∴AP辆⊥P蜓B.又AP俯⊥P辉C，PB之∩P匹C=揪P，∴AP敲⊥平面PB樱C，∴AP膀⊥B莫C，又∵AC私⊥B毒C，AP切∩A搂C=搁A，∴BC护⊥平面AP洪C.又BC浓⊂平面AB欢C.华∴平面AB阀C⊥平面AP找C.(3蚀)∵坐AB＝20，∴MP＝10，PB＝10胞.又BC＝4，∴又【反思·感悟】1.本题宵体现译了“转化”思想巩在立脱体几悄何中蒸的应董用，翻解题盟中要骑注意传利用“平行”、“垂直”间的垦转化.2.解答嫩题中之要注何重关战键步趴骤的虎叙述丑与体相现，枕以做闹到规教范解妥题.【变式柿训练】1.如图凶，在听正四围面体P－AB椒C中，D、E、F分别廊是AB、BC、CA的中练点，手下面柿四个球结论喇不成贡立的邪是(浅)(A双)B跪C∥平面PD则F(B怒)D掉F⊥平面PA眼E(C细)平面PD序F⊥平面PA录E(D爷)平面PD真E⊥平面AB抵C【解析】选D.因BC喘∥D拦F，所荷以BC碑∥平面PD浙F，A成立伏；易象证BC扁⊥平面PA暗E，BC曲∥D妥F，所劫以结迫论B、C均成衣立；浴点P在底陪面AB爷C内的奏射影航为△AB晃C的中脑心，欣不在包中位态线DE上，社故结愁论D不成夹立.2.唤(2服01威2·鞍山次模拟)已知草直线l⊥平面α，直我线m⊂平面β，给拼出下级列命券题：①α∥北β⇒l⊥m；②α⊥汁β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥斧β；④l⊥m⇒α⊥焦β.其中沃所有俭正确霞的序塘号是__嘴__反__掩__是__狼.【解析】①中，位由α∥灵β,l⊥α得l⊥β，可见得l⊥m，故刚正确贝；②援中，锄由α⊥园β，l⊥α得l在平戏面β内或离与β平行园，不旁一定状有l∥m，故掘不正乞确；徐③中晕，由l∥m，l⊥α可得m⊥宾α，又m⊂莲β，故α⊥裁β，正摆确；电④中垂，由l⊥m不能林得到α⊥萝β.综上轮①③葱正确.答案傻：①③【变式民备选】(2晃01垃2·济南桐模拟)如图梁，在葛正方载体AB争CD练-A1B1C1D1中，M、N、P分别众为所屿在边俯的中催点，O为面衰对角刑线A1C1的中叔点.(1浮)求证哨：平庆面MN饰P∥平面A1C1B；(2嘱)求证束：MO严⊥平面A1BC1.【证明】(1辉)连接D1C，∵MN为△DD1C的中关位线项，∴MN联∥D1C.又∵D1C∥续A1B,岭∴M听N∥押A1B.同理MP浪∥C1B.而MN与MP相交弹，MN，MP敬⊂平面MN洗P，BC1与A1B相交欲，BC1,A1B⊂平面A1C1B.低∴平面MN似P∥平面A1C1B.(2鸦)方法抵一:连接C1M和A1M，设岔正方衰体的扩棱长术为a，∵正仍方体AB忧CD兽-A1B1C1D1，∴C1M=芳A1M，又∵O为A1C1的中反点，∴A1C1⊥M户O.连接BO和BM，在曾三角宁形BM诱O中，经计尖算知董：∴OB2+M情O2=M跳B2，∴BO握⊥M皮O.而A1C1，BO辫⊂平面A1C1B，A1C1∩B舰O=耽O,∴M兵O⊥平面A1C1B.方法至二:连接AB1，B1D,票B1D1,则O是B1D1的中点,∵A声D⊥平面AB挣B1A1,A1B⊂平面AB池B1A1,∴A幸D⊥梳A1B.又A1B⊥辞AB1,A认D和AB1是平织面AB1D内两球条相采交直数线,∴A1B⊥平面AB1D,又B1D⊂平面AB1D,∴A1B⊥虫B1D.同理:B躁C1⊥B1D.又A1B和BC1是平玩面A1BC1内两设条相宵交直倦线,∴B1D⊥平面A1BC1.∵O初M是△D1B1D的中童位线议，∴OM诞∥B1D.∴O斧M⊥平面A1BC1.【满分穴指导】垂直桑关系融综合弯问题午的规碍范解禾答【典例】(场12分)(繁20艺11摄·辽宁辞高考)如图，讯四边准形AB脱CD为正惑方形店，QA电⊥平面AB奥CD，PD参∥Q辰A,丘QA加=A敞B=透PD呼.(1姓)证明油：PQ普⊥平面DC吩Q；(2溪)求棱猎锥Q-渡AB掏CD的体孩积与牵棱锥P-抱DC厕Q的体斯积的摊比值.【解题绕指南】(1彩)证明PQ抚⊥D凤C，PQ犁⊥Q睬D，进醒而可姜得PQ钉⊥平面DC逆Q；(2抓)设出魄正方报形的邀边长背为a，分伪别计控算两唱个棱税锥的过体积况，再型求体厌积的现比值.【规范纠解答】(1泼)由条核件知PD权AQ为直贵角梯播形.因为QA岸⊥平面AB墨CD，QA图⊂平面PD功AQ，所以残平面PD贤AQ袜⊥平面AB霞CD，交烂线为AD型.又四将边形AB嗽CD为正湿方形赠，DC撇⊥A计D，所以DC姿⊥平面PD冲AQ，……梁……养……宽……河……坏……叮……置……2分又PQ宅⊂平面PD羡AQ，所叠以PQ先⊥D貌C.在直绣角梯纳形PD盐AQ中可智得则PQ喜⊥Q蜘D.……湖……敢……忠……弯……咐……渠……候……究……捆…5分又DC阿∩Q县D=仪D,所以PQ份⊥平面DC唐Q.……欧……崖……樱……补……6分(2血)设AB疗=a馆.由题证设知AQ为棱爬锥Q-导AB为CD的高节，所以谁棱锥Q-查AB龟CD的体做积……驱……哀……套……痒……畜…8分由(1其)知PQ为棱轨锥P-死DC部Q的高旱，而麦△DC究Q的面咬积为所以杰棱锥P-镇DC坟Q的体炕积……隙……涉……冶……杜……11分故棱售锥Q-悟AB娇CD的体基积与矿棱锥P-下DC找Q的体享积的杏比值耕为1.…12分【阅卷盈人点通拨】通过消高考覆中的台阅卷贷数据忌分析碑与总棚结，脸我们膨可以录得到款以下身失分痛警示惩和备惯考建禁议：失分警示

在解答本题时有两点容易造成失分：(1)解题时忽视各种垂直间的转化，从而造成思路受阻；(2)答题过程书写不规范，如在证明线面垂直时忽视了对“平面内两条相交直线”的叙述.备考建议

解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面；(2)对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；(3)不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力.另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达.1.就(2救01秆2·泉州确模拟)已知时两条启不同矮的直选线m，n，两易个不谋同的样平面α，β，则槐下列淋命题牺中的田真命居题是(女)(A赵)若m⊥沈α，n⊥袜β，α⊥授β，则m⊥佳n(B弃)若m∥假α，n∥尖β，α∥岭β，则m∥允n(C钓)若m⊥维α，n∥与β，α⊥凳β，则m⊥铁n(D下)若m∥处α，n⊥宝β，α⊥丘β，则m∥肌n【解析】选A.由m⊥博α,议α⊥絮β可得m∥项β或m⊂汽β，又n⊥宝β，故m⊥仆n，即A正确稻；如摄图(1要)，m⊥尼α,狱n∥妹β,辆α⊥辨β,但m∥翻n，故C错；位如图(2砌)知B错；份如图(3演)正方宫体中栗，m∥季α,灾n⊥生β,脖