工程力学 第9章 弯曲

第9章弯曲§9-1剪力图和弯矩图的进一步研究§9-3求惯性矩的平行移轴公式§9-2弯曲正应力§9-4弯曲切应力§9-5梁的强度条件§9-6挠度和转角§9-7弯曲应变能§9-8超静定梁§9-1剪力图和弯矩图的进一步研究载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系;载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律应用。微分关系的推导;

规定载荷集度q(x)向上为正。1.微分关系的推导FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)q(x)M(x)CyAmnBxdxxq(x)dx段载荷集度分布均匀。载荷集度q(x)是x的连续函数。ΣFy＝0FS(x)+q(x)

dx-[FS(x)+dFS

(x)]=0——(1)ΣMC=0M(x)+dM(x)-M(x)-FS

(x)

dx–[q(x)dx]

dx/2=0——(2)——(3)FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)q(x)M(x)C2.载荷集度、剪力图、弯矩图之间的关系56

归纳：(1)图形规律FSq<0

为直线段FS=0>0<0>0>0<0<0=0>0MM(2)突变规律(a)在有集中力作用处,剪力图突变,弯矩图有折转。(b)在有集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图有突变。(3)绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。3.应用分析已知:F=2kN，M=10kN·mq=1kN/m。求:梁ABCDE的剪力图及弯矩图。解：(1)求约束力(2)利用微分关系作图4m4m4m3mABCDEqFFMFAFD（kN·m）M2020.51666x（kN）FS731325mx思考题9-1

下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。思考题9-2下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。§9-2弯曲正应力横力弯曲M

0FS

0弯曲正应力弯曲切应力FSMzy(-)(+)y9.2.1横力弯曲与纯弯曲的概念先观察下列各组图(a)

图中这种梁段的弯曲(横截面上既有弯矩又有剪力）称为横力弯曲。(b)

图中这种梁的弯曲(横截面上只有弯矩而无剪力）称为纯弯曲。

纯弯曲纯弯梁M=0,FS

=09.2.2单一材料的弯曲正应力(3)荷载作用在纵向对称平面内。lxbhyz1.分析模型：(1)单一材料窄高矩形截面梁（h

b）；(2)细长梁（l／h

10）；静力学方面:纵向对称平面2.实验研究yb/2hzb/2xyzOmnnmaabbMM弯曲变形演示

（1）各横向周线仍各在一个平面内，只是各自绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度；(2)纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直；(3)部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。

直梁纯弯曲时，原为平面的横截面仍保持为平面，且仍垂直于弯曲后梁的轴线，只是相邻横截面各自绕着与弯曲平面垂直的某一根横向轴——中性轴作相对转动。直梁纯弯曲时的平面假设：MM受压区受拉区c

中性层纯弯曲正应力切应力=0

沿截面宽度方向均匀分布正应力沿高度方向如何分布3.弯曲正应力的计算(1)几何方面:(2)物理方面:

中性轴通过截面的形心yzyA(3)静力学方面:EIz为抗弯刚度yzyA(a)几何方面：平面假设；(b)物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。

公式的适用条件：Iz为对z轴的惯性矩等直梁纯弯曲正应力的计算小结：正应力公式通过截面形心中性轴位置s=Ey/r单向应力状态下的胡克定律s=Ees变化规律e=y/r平面假设e变化规律结果依据项目截面zy线应变+－max正应力+－maxmax线弹性,小变形,外力作用在纵向对称平面内;线应变和正应力在横截面上的分布规律。4.轴惯性矩zyydybh空心矩形的惯性矩？圆的惯性矩？

如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？思考题9-3zyydybh5.轴惯性矩及抗弯截面系数对中性轴z

的抗弯截面系数:

（单位为:mm3或m3）zyydybh(1)实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数(2)空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数zybHhBC(3)实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数dczyyzdA(4)空心圆截面的惯性矩Dczydc(b)物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。6.纯弯曲理论的简单回顾

公式的适用条件：(a)几何方面：平面假设；7.纯弯曲理论的推广

横力弯曲时，由于切应力的存在,梁的横截面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上,还有由横向力引起的挤压应力。但工程中的梁,当跨高比较大时，按纯弯曲理论计算误差不大。yz806520208035

单位:mm

对于图示T形截面梁,已知:Iz=290.6×10-8m4求横截面上的最大拉应力和最大压应力。例题9-13AB13kN8kNC2xM2.5kN·m3kN·m解：B截面：C

截面：例题9-13AB13kN8kNC2xM2.5kN·m3kN·myz806520208035

单位:mm36.1MPa67.1MPaB截面上：30.2MPa56.0MPaC截面上：例题9-1xM2.5kN·m3kN·m

若例9-1中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？思考题9-43AB13kN8kNC2yzxM2.5kN·m3kN·m

图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。例题9-21.

在不考虑梁的自重(1.041kN/m)的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为例题9-2解:由型钢规格表查得56a号工字钢截面于是有危险截面上点a处的正应力为例题9-2

该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160MPa来计算：例题9-2显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载F所引起的最大正应力。

如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为例题9-2§9-3求惯性矩的平行移轴公式同理可得：zyCabdAzyyczcyczcO*(1)根据求惯性矩的平行移轴公式，是否可得如下结论：图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心轴平行的轴之惯性矩中的最小者？(2)求图示截面对于形心轴z的惯性矩。思考题9-5yz806520208035

单位:mm§9-4弯曲切应力横力弯曲M

0FS

0弯曲正应力弯曲切应力FSMzy(-)(+)y9.4.1单一材料矩形截面梁的弯曲切应力(3)荷载作用在纵向对称平面内。lxbhyz1.分析模型(1)单一材料窄高矩形截面梁（hb）；(2)细长梁（l／h

10）；2.关于切应力分布的假设FSyyzyFS

(1)切应力与侧边方向平行；

(2)切应力沿截面宽度方向均匀分布。

对h>b的截面而言，此假设为合理的。

为什么关于切应力分布的假设是合理的？

答：根据切应力互等定理可知关于应力方向的假设是合理的。又对于狭长矩形应力沿宽度的变化不可能大，所以假设切应力沿宽度不变是合理的。思考题9-6FSyyzyFS3.分离体平衡分析FS(x)M(x)FS(x)M(x)+dM(x)dxmmnnMeFq(x)lhbxyzmmnndxdx(x)+d(x)(x)(x)+d(x)dx(x)dx(x)yz(x)+d(x)xFSyyzyFSdxbxdx

(x)

(x)+d

(x)

得得到由平衡方程yzy*FSydA切应力计算公式:yzFSy其中：FS

所求切应力截面上的剪力

Iz

整个截面对中性轴的惯性矩

b

所求切应力点处横截面的宽度

Sz*

过所求切应力点作中性轴的平行线，将横截面分为两部分，其中任意一部分对中性轴的静矩。注意：实际计算中直接由剪力FS的方向确定t

的方向。4.单一材料矩形截面梁的切应力分布与计算发生在中性轴处发生在上下边缘处bhyzyFS

max*计算式：

实心细长梁弯曲切应力分布对弯曲正应力有什么影响？FxmpnqF思考题9-7

5.切应力分析方法小结:横截面上的切应力应力分布假设分离体平衡纵截面上的剪力切应力互等定理

纵截面上的切应力9.4.2Ｔ型截面梁yzbhtd对矩形截面梁所作的切应力分布假设依然适用。yzdxFS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)1.腹板部分(x)+d(x)(x)dxyzdfmax2.顶板部分(1)竖直切应力分析(b)对顶板竖直切应力大小的判断(Ⅱ)根据腹板承受的剪力判断

结论：顶板部分竖直切应力分量很小。(a)切应力分布假设对顶板竖直切应力不再适用；(Ⅰ)根据切应力互等定理ydz(2)水平切应力分析ydzydztdxFS(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)ydzhtyimax3.Ｔ型截面梁的切应力分布ydzyimaxfmax§9-5梁的强度条件smax≤[s]1.纯弯曲的梁最大弯曲正应力：Wz——抗弯截面系数(1)等截面直梁，中性轴为横截面对称轴故由smax≤[s]得(2)中性轴不是横截面对称轴，且材料拉压强度不相等则容许拉应力容许压应力(3)利用正应力的强度条件可以对梁进行三种不同形式的强度计算：(a)校核强度(b)选择截面尺寸或型钢号(c)确定许可荷载另还要满足tmax≤[t]2.横力弯曲的梁smax≤[s]b——中性轴处截面之宽度对于等截面直梁，则有：注意：(1)一般的梁，其强度主要受到按正应力的强度条件控制，所以在选择梁的截面尺寸或确定许可荷载时，都先按正应力强度条件进行计算，然后按切应力强度条件校核。(2)在弯矩为最大的横截面上距中性轴最远点处有最大正应力；在剪力为最大的横截面的中性轴上各点处有最大切应力。

如图，已知q=3.6kN/m，梁的跨长l=3m，梁的横截面为b×h=120mm×180mm的矩形，梁的材料为松木。由于该梁长期处于潮湿状态，故容许应力取得很低，容许弯曲应力[s]=7MPa,容许切应力[t]=0.9MPa。试校核此梁的强度ABq例题9-3ABqFAFB+M（kN·m）x4.05例题9-3解：FS（kN）x+-5.45.4作剪力图及弯矩图此梁之最大弯矩发生在跨中的横截面上抗弯截面系数为则

此梁的最大剪力出现在梁的支座处横截面上,其值为例题9-3以上两方面强度条件均能满足,故此木梁是安全的。又例题9-3ABq

图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa

。试选择工字钢的号码。例题9-4画M图，并确定Mmax。弯矩图如图c所示例题9-4解:强度条件要求：

此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为2.求Wz，选择工字钢型号例题9-4

图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心C的位置，如图b所示。已知横截面对于中性轴z的惯性矩Iz=5493×104mm4，b=2m。铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许用荷载[F]。例题9-5铸铁的拉压强度不等，其强度条件为st,max≤[st]

，sc,max≤[sc]。由M图可知，B、C截面上正应力的分布规律如图d所示。B、C截面上的最大拉应力分别为，。可见全梁的最大拉应力为。显然。86134C截面D截面(d)例题9-5解:1.由st,max≤[st]确定[F]。F1≤19200N=19.2kN例题9-586134C截面D截面(d)F2≤36893N=36.893kN2.由sc,max≤[sc]确定[F]。[F]=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。例题9-586134C截面D截面(d)

该题的st,max和最大压应力均发生在B截面处，当

st,max=[st]时，，而[sc]=3[st]，可见，当st,max=[st]，sc,max<[sc]。所以该题由拉应力强度控制，仅需由st,max≤[st]求[F]即可。例题9-5

一简易吊车的示意图如图a所示，其中F=30kN，跨长

l=5m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力[s]=170MPa，许用切应力[t]=100MPa。试校核梁的强度。例题9-61.校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图b)。

荷载移至跨中C截面处(图b)时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，例题9-6解:

由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正应力为例题9-62.校核切应力强度。荷载移至紧靠支座A处(图d)时梁的剪力为最大。此时的约束力FA≈F，相应的剪力图如图e所示。FS,max=FA=30kN对于20a号钢，由型钢规格表查得：例题9-6于是有由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以该梁是安全的。(e)例题9-6§9-6挠度和转角挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如下图所示。ABxy挠曲线w（+）θ（+）转角挠度曲线在小变形情况下1.研究梁的挠度和转角的目的：(1)对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；(2)解超静定梁。如下图所示梁。ABCF1F2FAFCFB2.求梁位移的基本方法

根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程：w=w(x)和转角方程：具体分析，在纯弯曲情况下：ABxyMeMe观察下梁

纯弯曲情况下，M与所对应的挠曲线的曲率1/r的关系为：对于下图横力弯曲的梁ABxyF1F2(1)有

由解析几何知识知：一根平缓的曲线w=w(x)，其曲率1/r

近似地等于w(x)对于x的二阶导函数，即则(2)(3)将(3)代入(2)，考虑到曲率半径总是正的，对图示坐标有ABxyF1F2

因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩方程M=M(x)，将其代入上式，对x连续积分后有：

利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方程q

=q

(x)=w'(x)和挠度方程w=w(x)，从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。

求图示悬臂梁的转角方程q=q(x)和挠度方程w=w(x)，并求最大转角qmax及最大挠度wmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。例题9-7Fθmaxxylxwmax解：(1)(2)(3)(4)例题9-7Fθmaxxylxwmax将x=0,w′=0代入(3)式有C1=0(3)固定端处转角为零,即固定端处挠度为零,即x=0,w=0将之代入(4)式得C2=0则将C1=0，C2=0代入(3)、(4)式有例题9-7Fθmaxxxwmax(4)例题9-7Fθmaxxylxwmax3.按叠加原理计算

为了方便，对于简单的梁在简单荷载作用下，其最大挠度和最大转角事先列出了他们的计算公式（教材和手册中可查到）。

利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某些受力较复杂情况下梁的挠度和转角。梁在线性弹性范围内工作，且变形微小求wC和qB。ABqθBqwCq例题9-8ABθBMewCMeMeABMel/2l/2Cq由叠加原理得：查表可知：ABqθBqwCq例题9-8ABθBMewCMeMeABFMe求下图B处的挠度和转角。思考题9-114.斜弯曲zyFFyFzxFFyFzxl-xl考虑荷载F不在梁的任一纵向对称面内的情况横截面上的最大正应力发生在角点

zywwywzF(1)当IyIz时，

，即梁的弯曲方向不与荷载方向一致时发生的弯曲称为斜弯曲;当Iy=Iz（如圆形和正多边形截面）时，

=，发生平面弯曲;zywwywzF得：zyfF中性轴过坐标原点中性轴中性轴

进一步的分析表明，横截面具有一个对称轴的梁，当横向外力（与梁的轴线正交的外力）垂直于对称轴作用时，也产生平面弯曲。至于横截面没有对称轴的梁，当横向外力作用于两个相互垂直特定方向之任何一个时也产生平面弯曲。前面讲述：弯曲应变能拉压应变能扭转应变能U=？§9-7弯曲应变能在线弹性范围内：Me

与q的线性关系。lABMeMeMeθOMe外力功：

根据应变能的大小等于外力偶所作的功，则有亦即：

对于横力弯曲：由弯曲变形与剪切变形可以得到弯曲应变能和剪切应变能。

工程中h/l比值小于1/10时，剪切应变能较小，可忽略。横力弯曲情况下：应注意：

求图示等截面简支梁内的弯曲应变能，并求跨中截面C的挠度wC。例题9-9l0.5lyxABFC(1)由对称性知解：于是整个梁之弯曲应变能为：例题9-9l0.5lyxABFC(2)外荷载所作的功l0.5lyxABFC因为W=U，故得此结果与采用积分法求解所得的结果一致！例题9-9§9-8超静定梁

工程实际中，为减少梁内的应力和位移需要附加多余约束，这样就会产生多余未知力，如下图所示：

上图为二次超静定问题，亦即其不可单由平衡方程得出结果。ABCDFCFD再如：BlA上图为“一次超静定问题”，其解同样也不能单由平衡方程求解得到，也要位移协调条件，即：B