动量与角动量

动量与角动量1第一页，共九十四页，编辑于2023年，星期五§3.1冲量，动量，质点动量定理§3.2质点系动量定理§3.3动量守恒定律§3.4变质量系统、火箭飞行原理§3.5质心§3.6质心运动定理§3.7质点的角动量§3.8角动量守恒定律前言本章目录2第二页，共九十四页，编辑于2023年，星期五前言我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应：平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改变力在空间上的积累效应功改变能量牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，如：碰撞（宏观）、（微观）…散射3第三页，共九十四页，编辑于2023年，星期五§3.1冲量，动量，质点动量定理定义：力的冲量（impulse）—作用力与作用时间的乘积质点的动量（momentum）—4第四页，共九十四页，编辑于2023年，星期五质点动量定理：（theoremofmomentumofaparticle）（微分形式）（积分形式）质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。5第五页，共九十四页，编辑于2023年，星期五6第六页，共九十四页，编辑于2023年，星期五平均冲力[例]已知：一篮球质量m=0.58kg，

求：篮球对地的平均冲力解：篮球到达地面的速率从h=2.0m的高度下落，到达地面后，接触地面时间t=0.019s。FFto

t速率反弹，以同样7第七页，共九十四页，编辑于2023年，星期五船行“八面风”8第八页，共九十四页，编辑于2023年，星期五逆风行舟帆v1v2v1v2Δv风

F风对帆

F横

F进

F横

F阻龙骨F帆对风Δv9第九页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例1力，沿z方向，计算t=0至t=1s内，力对物体的冲量。解：10第十页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例2（0371）一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力为F=400–4105t/3(SI)，子弹从枪口射出时的速率为300m/s,假设子弹离开枪口处合力刚好为零，则（1)子弹走完枪筒全长所用的时间t=?(2)子弹在枪筒中所受力的冲量I=?(3)子弹的质量m=?11第十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期五（1)子弹走完枪筒全长所用的时间t=?F=400–4105t/3子弹离开枪口处合力刚好为零子弹走完枪筒全长12第十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期五(2)子弹在枪筒中所受力的冲量(3)子弹的质量m=?13第十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例3（0427）一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力等于已落到桌面上的绳的重量的三倍。解：取刚刚落到桌面的质量元为研究对象受力：方向向上方向向下14第十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期五动量定理:★

作用于桌面的压力:+（忽略）15第十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期五§3.2质点系动量定理（theoremofmomentumofparticlesystem）Fipifjifij为质点i受的合外力，········ij质点系

为质点i受质点j的内力，为质点i的动量。对质点i：对质点系：由牛顿第三定律有：16第十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期五所以有：令则有：或质点系动量定理（微分形式）—质点系动量定理（积分形式）系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。17第十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例子：见书P137例3.3用质点系动量定理处理问题可避开内力。任意一段时间间隔内质点系所受合外力的冲量等于在同一时间间隔内质点系内所有质点的动量矢量和的增量。18第十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期五§3.3动量守恒定律这就是质点系的动量守恒定律。即几点说明：

1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点系所受合外力为零时，质点系的总动量不随时间改变。（lawofconservationofmomentum）19第十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期五4.若某个方向上合外力为零，5.当外力<<内力，

6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。量守恒，且作用时间极短时（如碰撞），可认为动量近似守恒。的定律，它在宏观和微观领域均适用。7.用守恒定律作题，应注意分析过程、系统切惯性系中均守恒。3.动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一和条件。20第二十页，共九十四页，编辑于2023年，星期五在直角坐标系中的分量式可表示为：21第二十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例4（0711）粒子B的质量是粒子A的质量的

4倍，开始时粒子A的速度粒子B的速度，在无外力作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子

A的速度变为，则此后粒子B的速度=?解：（A+B）粒子动量守恒★

粒子B的速度见书P139～141：冲击摆、粒子散射22第二十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期五

▲粘附—主体的质量增加（如滚雪球）

▲抛射—主体的质量减少（如火箭发射）低速（v

<<c）情况下的两类变质量问题：下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。

§3.4变质量系统、火箭飞行原理

这是相对论情形，不在本节讨论之列。以随速度改变—m=m(v)，情况下，还有另一类变质量问题是在高速（v

c）这时即使没有粘附和抛射，质量也可23第二十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期五条件：燃料相对箭体以恒速u喷出初态：系统质量M，速度v(对地)，动量Mv火箭不受外力情形（在自由空间飞行）1.火箭的速度系统：火箭壳体+尚存燃料总体过程：i(点火)f(燃料烧尽)先分析一微过程：

tt+dt末态：喷出燃料后喷出燃料的质量：dm=-dM，喷出燃料速度(对地)：v-uvu24第二十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期五火箭壳体+尚存燃料的质量：M-dm系统动量：

(M-dm)(v

+dv)+-dM(v

-u)

火箭壳体+尚存燃料的速度(对地)：v

+dv由动量守恒，有

Mv

=-dM(v

-u)+(M-dm)(v

+dv

)经整理得：Mdv

=-udM速度公式：25第二十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期五引入火箭质量比：得讨论：提高vf的途径(1)提高u（现可达u=4.1km/s）

(2)增大N（受一定限制）为提高N，采用多级火箭（一般为三级）v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN326第二十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期五t+dt时刻：速度v-u，动量dm(v-u)由动量定理，dt内喷出气体所受冲量2.火箭所受的反推力研究对象：喷出气体dmt时刻：速度v(和主体速度相同)，动量vdmF箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为27第二十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期五水平上抛三角板投掷手榴弹运动员跳水§3.5质心（centerofmass）28第二十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期五rc一.质心的概念和质心位置的确定×C······mi·z·riyx0定义质心C的位矢为：质心位置是质点位置以质量为权重的平均值。为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。29第二十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期五二.几种系统的质心●两质点系统m2m1··×r1r2Cm1r1=m2r2●连续体×rrcdmC0mzxy……30第三十页，共九十四页，编辑于2023年，星期五R●“小线度”物体的质心和重心是重合的。[例]如图示，CxCO″rO′rddxyO均质圆盘求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心C应在x轴上。解：令为质量的面密度，则质心坐标为：挖空

·●均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。31第三十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期五§3.6质心运动定理（theoremofmotionofcenterofmass）一.质心运动定理rcCvc×······mi·z·riyx0vi即质点系的总动量是质点系的“平均”速度32第三十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期五由—质心运动定理有拉力纸·C×球往哪边移动？该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，的外力。实际上是物体质心的运动。在质点力学中所谓“物体”的运动，思考33第三十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期五系统内力不会影响质心的运动，▲在光滑水平面上滑动的扳手，▲做跳水动作的运动员尽管身体在翻转，但▲爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：其质心做匀速直线运动运动员跳水34第三十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期五若合外力为零，二.动量守恒与质心的运动质点系动量守恒若合外力分量为0，质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价！则则相应的质心分速度不变35第三十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期五

1.质心系质心系是固结在质心上的平动参考系。质心系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动——三.质心（参考）系（frameofcenterofmass）36第三十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期五2.质心系的基本特征质心系是零动量参考系。m1v10m2v20··m1v1m2v2质心系中看两粒子碰撞等值、反向的动量。两质点系统在其质心系中，总是具有37第三十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期五§3.7质点的角动量（angularmomentumofaparticle）一.质点的角动量角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。

LmOpr·

质点m对惯性系中的固定点O的角动量定义为：单位：kg·m2/s大小：方向：决定的平面（右螺旋）38第三十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期五LRvm·O

质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为方向圆面不变。L=mvR，同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。例如：方向变化方向竖直向上不变OlO锥摆m39第三十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例5（0990）A和B是两个滑冰者，质量都是m，且都以速度V沿着互相平行的直线相对滑行，两条平行直线间距为L。第三个滑冰者C，在与A、B滑行的直线平行的另一直线上，以V′的速度滑行。C的滑行直线与B的滑行直线相距为d，三条滑行直线在同一平面内，如图。当A、B、C三人在垂直三条滑行线的同一直线上时，（1）若C与B同方向运动，如图（a）所示，A和B相对C的总角动量（动量矩）大小为多少？（2）若C与B反方向运动如图（b）所示，A和B相对C的总角动量（动量矩）大小为？40第四十页，共九十四页，编辑于2023年，星期五A和B相对C的总角动量（动量矩）大小解：方向：方向：41第四十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期五

2.研究的问题（1）力的瞬时作用规律；（2）力的时间积累效应及规律；（3）力的空间积累效应及规律。1.描述质点动力学的基本物理量：质点动力学质点质点系惯性系(4)力矩的时间累计效应42第四十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期五动量（质点与质点系）动量定理动量守恒定理守恒条件冲量43第四十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期五火箭飞行原理N个质点系统连续分布的物体质心运动定理44第四十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期五二.质点的角动量定理，力矩由有：定义力对定点O的力矩(momentofforce)

为：FMr·Om称力臂r045第四十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期五于是有质点角动量定理或积分质点角动量定理称冲量矩——力矩对时间的积累作用。（积分形式）（微分形式）46第四十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期五力矩的计算★

集中力（力集中在一点）方法一：47第四十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期五大小：方向：与相同元力矩总力矩方法二：★

分散力（力分散在一区域内）48第四十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例6（0724）一质量为M的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为

其中a、b、皆为常数，则此质点所受的对原点的力矩；该质点对原点的角动量解：★

质点所受的对原点的力矩49第四十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期五50第五十页，共九十四页，编辑于2023年，星期五★

质点对原点的角动量51第五十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例7一根质量为、长为、的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为，则杆转动时受的摩擦力矩的大小等于？解：★

注意摩擦力分布在整个细杆上，因此52第五十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期五53第五十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期五是变量54第五十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例8

唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上去后将受转盘的摩擦力作用而随转盘转动。设唱片可以看成是半径为R的均匀圆盘，质量为，唱片和转盘之间的滑动摩擦系数为。问唱片受到的摩擦力矩有多大？解：★

注意摩擦力分布在整个圆盘上，因此55第五十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期五第一步：方向：56第五十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期五第二步：方向：沿轴57第五十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期五zFrO·平面

z轴FF//MMzr//rrrsin三.质点对轴的角动量

1.力对轴的力矩把对O点的力矩向过O点的轴（如z轴）投影：——力对轴的力矩。58第五十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期五2.质点对轴的角动量——质点对轴的角动量3.对轴的角动量定理即——质点对轴的角动量定理rsinprrO·z59第五十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期五——质点角动量守恒定律

§3.8角动量守恒定律

（lawofconservationofangularmomentum）OmvF·L（中心力）r（1）mvrsin=const.，（2）轨道在同一平面内。60第六十页，共九十四页，编辑于2023年，星期五—

质点对轴的角动量守恒定律

角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。61第六十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例9.质量为m的小球系在绳的一端,另一端通过圆孔向下,水平面光滑。开始小球作圆周运动(r1,v1)。然后向下拉绳,使小球做半径为r2的圆周运动。求：v2=？

v1r1r2FOv2解:作用在小球的力始终通过O点（中心力）对O点力矩=0质点角动量守恒：62第六十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例10.证明开普勒第二定律(Kepler’slaws)：行星对太阳的径矢,在相等的时间内扫过相等的面积。证明什么？m63第六十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期五m行星对太阳的径矢扫过的面积：64第六十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期五讨论：行星受力方向与矢径在一条直线上(中心力),总是与矢径反平行的。故对力心,质点所受的力矩为零,角动量守恒！1.行星受力吗?m力心2.行星的动量时刻在变吗?其角动量在变吗?65第六十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例11锥摆的角动量对O点：合力矩不为零，角动量变化。对O点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）OlO锥摆m66第六十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期五1.质点系对定点的角动量········ijO2.质点系的角动量定理合外力矩M外合内力矩=0四.质点系的角动量定理和角动量守恒定律67第六十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期五o68第六十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期五对于某一定点，如果质点系所受的外力矩的矢量和为零，则质点系对同一定点的角动量矢量保持不变。注意：对质点系：3.角动量守恒定律69第六十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例12.半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其上穿过一条轻绳,质量相同的两个孩子,在同一高度从静止开始同时向上爬.任何时刻,相对绳子,甲的速率是乙的2倍.试问谁先到达滑轮处？忽略摩擦.

解：以二小孩为系统：外力：重力内力：二质点与绳子间的张力A.甲C.同时到达B.乙D.谁先到达不能确定质点系对O角动量守恒70第七十页，共九十四页，编辑于2023年，星期五质点系对O角动量守恒C.同时到达71第七十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期五为什么星系是扁状，盘型结构？1.孤立系五.角动量守恒的几种可能情况：72第七十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期五v1r1r2FOv22.中心力场,对力心角动量守恒.3.用分量式

虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.常量与刚体一同讨论73第七十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期五为什么当把哑铃收拢在胸前时，女孩的旋转速度加快？六角动量守恒的表现74第七十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期五

人沿盘的边缘跑，

盘却反方向转动75第七十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期五直升飞机加尾翼的作用当直升飞机机翼旋转起来时，由角动量守恒知机身将发生反向的旋转，为了稳定机身，常在直升飞机的尾部加上一尾翼。76第七十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期五1020

是普遍规律，宏观、微观都适用。30中心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。力心特征：质点对力心的角动量永远守恒！40质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。50

角动量守恒，不见得动量守恒。讨论77第七十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期五1.冲量:3.动量定理4.动量守恒定律2.动量本章总结：78第七十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期五5.质点角动量：质点的位矢与动量的叉积7.质点(系)角动量定理：8.质点(系)角动量守恒定律：6.对定点的力矩：位矢与力的叉积单个质点：对质点系：79第七十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期五动量定理角动量定理力力矩或角力动量角动量或动量矩力的冲量力矩的冲量或冲量矩80第八十页，共九十四页，编辑于2023年，星期五比较动量定理角动量定理

形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。

81第八十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期五作业：3.13.73.253.263.2982第八十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期五o

例1求半径为R的匀质半圆环的质心。设半圆环的质量线密度为l，取弧长为dl的线元，xyxyO半圆环以y轴为对称

xc=0x=Rcosq，y=Rsinq在y轴上的坐标为Rdl其坐标为解取坐标如右图所示，质量为dm=ldl=lRdq，练习83第八十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期五解：以地面为参考系，导弹为质点系。质点系受到的外力只有重力，而爆炸力（内力）远大于重力，因此质点系动量守恒。例2、质量为m、速度大小为v=200m/s的导弹在空中爆炸，分裂为两块。已知质量为m/4的一块的速度大小为v1=400m/s，与导弹原飞行方向成α=60˚。求另一块的速度。60˚84第八十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例3、质量为m=0.1kg的质点在位置时的速度为，求此时该质点对原点的角动量。解：对原点的角动量：85第八十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期五xo例4.

x轴沿水平向左,y轴竖直向下,在t=0时刻将质量为m的质点由a处静止释放,让它自由下落.求在任意时刻t

,质点所受的对原点O的力矩和对原点O的角动量.

解：任意时刻tyaa例5.一质点的角动量为求质点在t=1s时所受力矩.解：

t=1s86第八十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期五例题6哈雷慧星围绕太阳作轨道为椭圆的运动，慧星轨道上的近日距离为Rp=0.8851011m,远日距离Rα=52