高考总复习《走向清华北大》课件函数的单调性与最大小值

第六讲函数的单调性与最大(小)值回归课本1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;当f′(x)<0时,f(x)为减函数.2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I,都有f(x)≤M;①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M.②存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值结论 M为最大值 M为最小值定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).考点陪练1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是()A. B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)答案:A答案:B答案:D答案:C5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.答案:①③类型一 函数单调性的判定与证明解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法､直接法､图象法.1.用定义法证明函数单调性的步骤:(1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1<x2,则Δx=x2-x1>0;(2)作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过因式分解､配方､有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;(3)定号:确定差值Δy的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论;(4)判断:根据定义作出结论.2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数､二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出.了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处:(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数 与y=f(x)的单调性相反;(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等;(4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增､异减”的原则.3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调性的方法.[反思酒感悟]利用对函数昂单调肤性的随定义某证明f(橡x)的单肢调性违时,比较f(帆x1)与f(摧x2)的大至小常催用作谁差法,有时愤可运记用作雷商法､放缩箭法等;讨论摊函数贺的单穴调性劈燕值域决问题句不可包忽视牺函数讽的定盗义域.类型岁二鞭函数佣的奇绕偶性肚与单评调性解题睁准备:因为料奇函怨数的队图象帽关于谜原点桂对称,所以指结合暮图象胖可得蜓奇函视数在(a,退b)与(-霉b,后-a痒)上的楚单调破性相终同.因为妨偶函皇数的棉图象予关于y轴对阅称,所以体偶函挽数在(a,跃b)与(-奸b,谅-a罗)上的饺单调时性相摘反.[分析]利用f(装-x)=朽-f(挣x)求a,著b的值.∵x21+1雾>0侧,x22+1浊>0歉,x2-x1>0企,而x1,x2∈[稿0,填1]时,x1x2-1齿<0抹,∴当x1,x2∈[驼0,惯1]时,f蜡(x1)-什f(帽x2)<英0,函数y=f(廊x)是增佛函数;当x1,x2∈[翁1,饺+∞乐)时,f陡(x1)-岂f(氧x2)>龟0,函数y=f(辆x)是减努函数.又f(均x)是奇秆函数,∴f(栏x)在[-邻1,尚0]上是射增函炮数,在(-冬∞,脱-1郊]上是严减函滔数.又x∈糟[0屠,1芽],设u∈惑[-厨1,嫁0]时,恒有f(爱x)昼≥f盲(u),等号胖只在x=幅u=军0时取舱到,故f(条x)在[-逃1,棍1]上是萄增函为数.(3叉)由(2董)知函阴数f(样x)在(0怠,1汪)上递榨增,在[1建,+访∞)上递积减,则f(狐x)在x=估1处可未取得吵最大舒值.∴f辰(1铸)=，∴函项数的挤最大盗值为,无最届小值.类型刺三关求函苍数的仇最值解题蛛准备:(导1)若函扔数是渠二次傲函数振或可来化为奶二次未函数放型的猛函数,常用另配方卖法.(2恶)利用挑函数质的单笋调性趴求最冰值:先判旨断函月数在馒给定粥区间脚上的剪单调管性,然后贡利用桶单调身性求贸最值.(3驰)基本友不等勉式法:当函晨数是番分式阴形式置且分存子分团母不渴同次执时常熟用此陆法.(4泉)导数殿法:当函承数较氏复杂(如指､对数傅函数嫁与多台项式译结合)时,一般雷采用摇此法.(5超)数形询结合似法:画出蛮函数陪图象,找出许坐标邀的范警围或梁分析殊条件胸的几仔何意杆义,在图不上找蚀其变牌化范傻围.[分析]在解趣决该惯类型库函数月的最悼值时,首先伶考虑姥到应堤用均描值不蔬等式夫求解,但须换逐一排验证知应用父均值复不等四式所似具备鸦的条严件.若条斗件不滋具备,应从员函数看单调衬性的划角度日考虑.类型冒四吩抽象宗函数韵的单间调性论与最观值解题掠准备:抽象椒函数央是近景几年皇高考衡的热圆点,研究猜这类连函数伤性质桶的根么本方卸法是“赋值”,解题序中要殊灵活永应用浅题目右条件申赋值壶转化愈或配仪凑.【典例4】函数f(方x)对任压意的a、b∈歉R,都有f(潮a+陆b)=包f(眨a)讲+f疯(b候)-齿1,并且偶当x>例0时,f(贯x)>尝1.(1浩)求证:f(珍x)是R上的互增函哨数;(2素)若f(喇4)滋=5雅,解不蓄等式f(晕3m2-m载-2表)<终3.[分析]世(阴1)是抽释象函雁数单养调性洒的证菠明,所以拨要用落单调策性的蛛定义.(裙2)将函硬数不遣等式残中抽蝴象的用函数锁符号“f”运用虹单调淹性“去掉”,为此捆需将靠右边嗓常数3看成抛某个气变量勒的函吼数值.[解]肠(缝1)设x1,x2∈R航,且x1<x2.∴x2-x1>0躁,则f(仔x2-x1)>液1.∵f(轮a+蒜b)=晚f(柳a)筐+f宰(b胳)-迷1,∴f永(x2)=畏f[柿(x2-x1)+搏x1]=型f(扇x2-x1)+鸣f(袜x1)-敏1又f(扑x2-x1)-徒1>铺0,因此f(莫x2)>划f(饶x1),故f(丙x)在R上是跪增函惹数.(2执)令a=晕b=俊2,则f(脂4)富=2毛f(节2)场-1亡.又f(吐4)访=5紫,∴眉f(揪2)陪=3留.原不壳等式炎即为f(铲3m2-m捆-2吵)<班f(萄2)鄙.由(1免)知f(增x)在R上是居增函擦数,∴3星m2-m坊-2揭<2对.[反思耽感悟]丘(果1)若函跨数f(掌x)是增界函数,则f(酒x1)<秀f(点x2)⇔x1<x2,函数耽不等悔式(或方衡程)的求湖解,总是茎想方疼设法挎去掉臭抽象捡函数主的符拍号,化为妹一般闷不等盛式(或方忙程)求解,但无柴论如朵何都材必须暮在定挥义域过内或他给定保的范悟围内盟进行.(2桑)在解薪答过雅程中冠易出重现不箱能正目确构柔造f(驻x2-x1)的形窗式或言不能规将不绪等式质右边3转化抄为f(橡2)从而呼不能见应用乌函数摘的单堆调性扬求解,导致里此种盲错误乖的原吊因是撇没有许熟练些掌握贺单调庄性的杂含义刚及没僻弄清郑如何猛利用此题目沿中的嘱已知令条件居或者摊不能慰正确羊地将悲抽象沫不等亩式进著行转丸化.错源罩一肤不注肆意分浸段函勉数的愤特点[剖析]本题盲的错恶误在乏于没欣有注轻意分护段函姨数的记特点,只保蓬证了商函数躲在每慨一段熟上是增单调充递减冷的,没有垂使函闯数f(筝x)在(-醋∞,牵1]上的籍最小总值大冒于(1遮,+澡∞)上的椅最大放值,从而犬得出皱错误射结果.[答案]酿C错源余二肤判疾断复针合函虾数的房诚单调瞎性时,未弄糕清内､外函赵数的树单调鲁性而喇致错技法愉一另复合勺法[方法枝与技禁巧]复合列函数诊求单阁调区竞间是菊一个兴难点,我们洁应明垒确单傍调区姨间必蛾须是眼定义背域的笨子集,当求塞单调壳区间柄时,必须铁先求贸出原享复合候函数喇的定岗义域,再根盗据基糊本函优数的谁