第一章函数极限与连续第二节

高等数学要上课了，同学们准备好了吗？第一章：函数、极限与连续

第二节极限一、极限的概念二、极限的四则运算三、极限的复合运算四、两个重要的极限1.邻域：复习xxooo２.去心邻域：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：——刘徽《九章算术论》一、极限的概念新课导入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积............（圆的面积）2.截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”............3.人船距离问题黃鶴樓送孟浩然之廣陵

唐‧李白賞析春光明媚，給人本應是歡樂的感覺，然而因為好朋友的離去，充滿了濃郁的離愁。李白默默地站着，望着滔滔的长江水…

…孤零零的白帆，越走越

远，渐渐地消失在碧蓝的天际。只有滔滔的长江水，滚滚地向天边流去。李白他仍久久地站在江边

……

故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州。孤帆遠影碧空盡，惟見長江天際流。(其中诗人与船的距离为X，看到的船的高度为y.)自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限

为了叙述问题的方便，我们规定：当的左右两侧无限接近于时，用记号

(读作趋于)表示；当的右侧无限接近于时，用记号→表示；当的左侧无限接近于时，用记号→表示；当无限增大时，用记号→+∞(读作趋于正无穷)表示；当无限减小时，用记号→-∞(读作趋于负无穷)表示；当││无限增大时，用记号→∞(读作趋于无穷)表示．（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（x→∞时）一、极限的概念定义１.4：以上两个例子可以记为：另两种情形或不存在例０００定理1.1：观察图像xyo24xyo13(二)自变量趋向有限值时函数的极限xyo12yx1o2oxy注意：结论yoyo结论xyo1-1定理：函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限关系关系小结：定理二、极限的四则运算

为了方便在以下问题的讨论中省去自变量的不同变化状态，用“lim”表示，但总是假设在同一问题中自变量的变化过程是相同的.注意（1）定理（1）（2）可以推广到有限个具有极限的函数的情形；（2）极限的四则运算法则成立的条件是limf(x)=A,limg(x)=B.推论１常数因子可以提到极限记号外面.推论2解：解：求极限方法举例解因为

由法则3可有

有时所给函数在自变量的某个趋势下，分子、分母的极限均为0，即“”型，这时就不能直接用商的极限运算法则．例2解当（一）这种极限求法是：先将分子、分母分解后，约去它们公共无穷小因子，再求极限．(二).对x→∞时，分子分母都趋于无穷的极限,可用分母中x的最高次幂除之,然后再求极限.解

用同样的方法可得：解

不能直接用定理（一），一般处理方法是：先通分再用相应方法求极限．例4求下列极限

不能直接用商的极限运算法则，可先分子有理化，然后再用相应方法求极限．不能直接用定理，一般处理方法是：先通分再用相应方法求极限．例如图所示的矩形波在一个周期内的函数解析式为解因为

而所以，此函数在处的极限不存在.讨论函数当时的极限.例在一个电路中的电荷量由下列定义其中为正的常数值，求电荷量在时间时的极限.解因为

所以

故

例已知一个3Ω的电阻与一个可变电阻并联，求当可变电阻的支路突然断路时电路的总电阻.解

因为3Ω的电阻与可变电阻并联，所以电路的总电阻为

当含有可变电阻的这条支路突然断路时，电路的总电阻为时电路的总电阻的极限，即为小结：（5）若为分段函