数学思想在三角函数中的应用及三角函数的求参问题

数思在角数的用三函的参题一、三角函数中的数学思想1．数形结合思想体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线角数图象求三角函数定义域三角不等式、求单调区间、讨论方程解的个数、比较大小等．267[例1]sinπ，cosπtanπ从到大的顺序________．555267[解析]设sinπ，＝cosπc＝tanπ，图所示．555可知<0<<，627∴cosπ<sinπ<tanπ.555627[答案]cosπ<sinππ555[点评本题中所涉及的角都不是殊角出值来再比较大小很不方便利单位圆上的三角函数线则很容易将它们各自函数值的大小区分出来．[例2]当0≤≤时，不等式sin值范围是_______．

π≥恒成立，则实数k的取2ππ[解析]作y＝sin与y＝kx图象不等式sin≥22成立，由图可知，需k≤[答案](－∞，π[点评]本将不等式转化成两个函数图象的位置关系≤≤1时等sin2π≥成立即≤x≤时函数y＝的象在函数＝的方作出两函数图象2后比较即可轻易得出k≤

2．化归与转化思想化归与转化思想体现在三角函数中要是利用切化弦统一角统函数名、换元等手段处理求(域、最值、比较大小等问题．sin[例3]已

2＋βsinα

－2cos(α＋)＝，求sin

β＋2cosα的．[

解]

由

sin2＋βsinα

＝

sin[＋α＋sinα

]

＝sinαcosα＋＋cosαsinα＋βsinα

cosαsinα＋＝cos(α＋β＋sinα

，则条件转化为

cosαsinα＋sin

－cos(

＋

)＝2cosαsinα＋－sinαcosα＋βsinα＝2sin，

＝sin[(α＋β)－α]＝2sinαsin所以sinβ＋2cosα＝4sinα＋－2sinα)＝[点评]本的关键是要化简已知条件两角和与差的正余弦公式化简条件得到sinβ＝2sinα，代入所求式子．3．函数与方程思想体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题，用方程的思想求值、证明等问题．π[例4]已函数)＝sin(ωxφ)A>0，>0，φ|<在2一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x<，方程()有个不同的实数根，求实数m的值范围以及这两个根的和．π[解](1)所的函数的解析式()＝2sin2x＋.6(2)在同一坐标系中画出＝2sin

π

(0<x<π)和y＝(∈R)的图象如所示，由图可知，当<1或1<<2时直＝与线有两个不同的交点方程两个不同的实数根取值范围为2<m<1或1<<2.4π当－2<<1时两根之和为；当1<<2时两根之和为.33[点评]本将方程的根的问题转化成两个函数图象交点的个数问题数问题转化成几何问题求解．从函数图象上可以清楚地看出当2<m<1或1<<2，直线y＝与曲有两个不同的交点方有个不同的实数根体了函数与方程思想的具体应用．4．分类讨论思想

211π1－282211π1－282体现在三角函数中是根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论．[例5]已a＝(sin，x)，＝(sinx，)，c＝(－2cosx，x－．1(1)若()＝·b＋)求()最小正周期及方程f(x)＝的集；23(2)若()a＋b·c，求当k为何值时，(x的最小值为－.2[解](1)＋c＝x－2cosx，sinx，f()＝·＋c)＝(sinx－x)＋cossin＝x－sincos＝

1－2x111－sin2＝－(sinx＋cos2)222212＝－sin22

π4

，所以f()的最小正周期为T＝＝π.由fx)＝，得－sin，以222242πsin＝4πππ所以2＋＝kπ(∈．以x＝－(∈Z)4281kπ所以方程f)＝的解为2

k∈Z

(2)＋＝(2sinx，cos＋)，g()＝abc＝－cosx＋＋)(sinx－＝－3sincosx(sinx－cosx)－

.令＝sinx－cosx＝2sin

π

，则∈－，2，且t＝sinx＋－2sinxx1－2sincosx1－所以sinxcos＝.21－33所以(可化为()＝－3)·＋－＝＋－－，∈－2，2]，222kk对称轴t－＝332×2k①当－－2，即>32时，33g()＝(2)＝×－2)

33＋－2)－＝－－2＋，22

2233－214由－k－2＋＝－，得k＋2－＝0.所＝.因为>32，以此222时无解．k②当－2≤－≤2，即－2≤k≤2时3kg()＝h

3＝·23

373－－＝－－262733由－k－＝，得＝∈[3，32．622k③当－2，即k<－2时，33g()＝(2)＝·2)

33＋2k－－＝－＋2＋2233由－k＋2＋＝－，k－2－＝，22所以＝

2±142

.因为<－32，所以此时无解．3综上所述，当＝0时，()的最小值为－2[点评]本是一种典型的三角函数求最值的题型换元将三角问题转化成我们熟知的二次函数求最值问题，然后根据对称轴与自变量的位置关系进行分类讨论．5．整体思想整体思想在三角函数中主要体现在利用整体代入体变形整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数的性质等．αα6[例6]已α∈，π＋＝222(1)求cosα的；3(2)若sin(－β＝－β∈，πcos的值．5αα61π[解](1)因sin＋cos＝，边同时平方，得sinα＝.又<α<π所22222以cos＝－

32

.ππ(2)因为<<π，<β<π，22ππ所以－π－β<－，－α－<.222

ππ－3＋＋3＋＋理，得ππ－3＋＋3＋＋理，得sin(3)sin＝恒成立，而x∈R故sin34由α－β)－，得cos(α－)55所以cosβ＝cos[－α－)]＝αcos(α－)sinαsin(α－β)＝－

34133＋×＋×.252510[点评]本第2)问求解的关是整体运用已知角α－和角α来示角β，β＝α－α－)这样可以直接利用已知条件求解．数学思想较多了以上几种外有类比等数学思想要家认真思考活运用，数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果．二、巧用三角函数的性质求参数1．根据三角函数的奇偶性求解数[例1]已f(x)＝cos(3＋φ－3sin(3x＋φ)为偶数可取的一个值为)A.

π6

πB.3πC．－6[解析](x)＝

πD．－32

cos

3＋φ

－

3sin2

3＋

＝2cos

3＋φ

＋3＋＋(－x)＝f()恒立，得332cos

ππ＝2cos3

恒成立，利用两角和的余弦公式展开并整ππ＋恒立，由所给选33项，只有适合[答案]D[点]

求解三角函数的奇偶性的参数问题还可利用下列结论进行简解：函数

y＝πAcos(ω＋φ)＋(A0)为奇函数φ＝π＋(∈Z)且B＝，为偶函φ＝π(∈2Z)．[例2]已存在实数ωφ(其中ω≠ω∈Z)使得函数()＝(＋)是奇π函数，且在函数，试求出所有符合题意ω与φ的值．[解]由f()奇函数，知f－)－(，∴2cos(－＋φ)＝2cos(＋φ)．

＋π＋＋2＋1＋π[＋π＋＋2＋1＋π[例3]已函数(x)＝＋π7π75∴4cos·cosφ＝又x∈，∴cosφ＝π解得φ＝π＋，∈2当＝(n∈时fx＝2cos

2

＝2sin－x为函数，(在π4

πππ－π上是增函数ω由－≤≤≤x≤又)在222ω2ω4

上是增π－－π函数，故，≤，2≤ω<0，ω∈Z，ω＝1或－，4ω4ω＝－1或－，πφ＝π＋，Z.2当k＝n＋n∈时，f()＝2cos

π2

＝2sinx为奇函数，由于f()4

ππππ上是增函数，∴>0.－≤≤－≤x≤，)在222ω2ωπππ函，故有，4422ω＝或，或2，故πφ＝2＋π＋，Z.2∴所有符合题意的ω与的为

π，≤，0<≤，ω∈，＝42＝－1或－，πφ＝π＋，∈，2

＝或，或πφ＝2n＋π＋，∈2[点评]三函数是奇函数时，最后的结果都可以化为＝Asin，＝tanω的形式三函数是偶函数时最的结果都可以化为y＝cosωx形式在研究该类三角函数的单调性时，一定要注意A，ω的正负对单调性的影响．当已知函数在某个区间上单递增时，这个区间必须是函数单调递增区间的子区间．2．根据三角函数的单调性求解数π5ππsin(ω>0)的单调递增区间－，π＋31212(k∈Z)，单调递减区间＋，π＋1212

(∈Z)则的为_______．[解析]由意得1212[答案]2

＝π即函数fx)的周期为则＝

－，π＋－，π＋＋－，π＋－，π＋＋ππ＋π[点评]

解答此类题要注意单调区间给方如“函()5ππ12125ππ1212

(k∈Z)上单调递与“函数fx)的单调递增区间为(∈Z)者不相同的．3．根据三角函数的周期性求解数[例4]若数＝sinωx的最小正周期为，则ω＝________.27[解析]由意，得y＝ωsin22π＝＝，ω＝±|2|7

1＝sinωx·cosω＝sinω，由2[答案]±[点评]解时要注意x的数ω是规了符号无符号规定用周期公式时须加绝对值．[例5]如所示为函数f(x＝2cos(ω＋φ)(ω>0,0φ≤π)的部分图象，其中|

AB

|＝，那么和的值分别(ππA．＝，＝63ππB．＝，＝33ππC．＝，＝36πD．＝φ＝62π[解析]函f(x)的最小正周期为＝点AB横坐标之差为纵坐标之差为ωω4，所以

ππ1＝，＝，以ω＝.由f＝，cos＝，0φ≤ω32ππ，故＝.3[答案]B[点评]函f(x)＝sin(ω＋φ)，()＝cos(x＋φ)象上一个最高点和它邻π近的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期纵坐标之差的绝对值是2.在解决由ω三角函数图象确定函数解析式的问题时注使用好函数图象显示出来的函数性