数列求与专题(裂项相消)

11n1n1nnn11n1n1nnn一公法1.等差数列求和公式：

n

数列求和题复习n)nn1nad222.等比数列求和公式：S(1)n13.常见数列求和公式：

((qS

kn(；S

2n(1)(2n；S6k

k

3

1nn2例1：已知

logx

log

，求

x

的前

项和.例2：设

n，

,求

Sf()n(

的最大值./

10101010二倒相法10101010似于等差数列的前

项和的公式的推导方法如果一数列

两项等距的两项之和于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求的方法称为倒序相加法.例3：求

2

2

sin

2

2

2

的值例4：求

2222222

2102

的和．变式1：已知函数

f

2

2x（）明：

f

）

f

f

2

8

f

9

的值./

nn三裂相法nn这是分解与组合思想在数列求和中的具体应.裂法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目.通分解（裂项）如：（）

(nf)

（）

sin1n

tan(n

tan

（）

11nnn

（）

(2)211a()(2（）

111[n2)nn(n

](6)

an

n111则n(2nn2nn(nn(n

n例5：求数列

2

,

3

,

n

,

的前

n

项和.例6：在数列

n

12，bnn

，求数列

的和/

变式1：求证：

12cos88cos891四倍位减类似于等比数列的前

项和的公式的推导方法.若列项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减若

nn

n

，其中

列

q等比数列，令ccn122

cnn则

qS

c12

cnnnn两式相减并整理即得例7：求和：

xn

2

3

n例8：求数列

242n,,2232n/

五分求法有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即.例9：求和：

Sn

例10:求数列

1)(2n和.课巩：1.等比数列{}的前n

项和

2n

n

，则

22a23n

＝2.设

(2n，S＝_______________.n3.

(3

.4.

11(n

=./

225.数列,(12

,(12n),

的通项公式

前项和

.6.

132,,,22223

,

的前

项和为.7.数列

1

对任意的

,nN都有

m

m

111aaa12008()A.

B.

C.

D.

8.数列

列首项满足n

a

bN,数列}111前10项的等()A．B．C．70D．9.设

m

，则

等于()A.

nn3

B.

11nn4)C.n(nD.2

nn7)10.若

n

n

，则

等于()A.1B.-1C.0D.2设

且n

，若数列

…则

项和为)A.978B.557C.467D.97912.

2

99

2

2

2

2

的值是)A.5000B.5050C.10100D.2020013.已知数列

n

a

，通项

n

n

(

n

，p

，

为常数，，a

，a

成等差数列．求：（）

，q

的值）数列

n

项和

的公式．/

14.设等差数列

n

项和为

，且4S

，

2

an

.（求数列

列n

bb12aan1n

n，

求

n

项和T

.15.已知等差数列

且满足n

154

，

3

.（）数列

令n

bn

19nn

(n2)，

13

，求数列

Sn16.已数列

n

项和为

，且

nn

；数列

n

b(n2,)n

，/

nbnbnbn.（）数列

n

的前项

.17.在等比数列

n1

，

n

，且

，a