高中数学北师大版五学案：第二章 1．2　余弦定理（一）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2余弦定理(一)学习目标1。掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一余弦定理的推导思考1根据勾股定理,若△ABC中，∠C＝90°,则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？思考2在c2＝a2＋b2－2abcosC中,abcosC能解释为哪两个向量的数量积?你能由此证明思考1的猜想吗?梳理余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模．另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．知识点二余弦定理的呈现形式1．a2＝__________________，b2＝____________________，c2＝____________。2．cos____＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc）；cos____＝eq\f(c2＋a2－b2，2ca）;cos____＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab)。知识点三适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形?思考2观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？梳理余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；（2）已知三边,解三角形．类型一余弦定理的证明例1已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c。反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形,证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．跟踪训练1例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？类型二用余弦定理解三角形命题角度1已知两边及其夹角例2在△ABC中，已知b＝60cm,c＝34cm，A＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1cm）反思与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边,再利用正弦定理求其余的角．跟踪训练2在△ABC中，已知a＝2，b＝2eq\r（2），C＝15°，求A。命题角度2已知三边例3在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形(角度精确到1′）．反思与感悟已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc)，cosB＝eq\f（a2＋c2－b2，2ac）,cosC＝eq\f(b2＋a2－c2,2ba）求一个角，求其余角时,可用余弦定理也可用正弦定理．跟踪训练3在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状．1．一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是－eq\f（3，5)，则三角形的另一边长为()A．52B．2eq\r(13)C．16D．42．在△ABC中,a＝7,b＝4eq\r(3），c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角为（)A.eq\f（π,3)B.eq\f（π，6)C.eq\f(π，4)D.eq\f（π，12)3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(）A.eq\f(5,18）B。eq\f（3，4）C.eq\f（\r(3）,2）D.eq\f（7，8）4．在△ABC中,a，b,c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为eq\f(3，2)，那么b等于(）A.eq\f(1＋\r(3),2）B．1＋eq\r(3）C。eq\f(2＋\r(3）,2)D．2＋eq\r(3)1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：（1)已知两边和夹角,解三角形．(2）已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理的关系:余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．（1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．（3）如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．

答案精析问题导学知识点一思考1当a＝b＝c时,∠C＝60°，a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC。思考2abcosC＝｜Ceq\o（B,\s\up6(→））|·｜Ceq\o（A,\s\up6（→)）｜coseq\o（CB，\s\up6（→)），eq\o(CA，\s\up6（→))＝eq\o（CB，\s\up6（→)）·eq\o（CA，\s\up6（→））.∴a2＋b2－2abcosC＝eq\o(CB,\s\up6（→)）2＋eq\o（CA,\s\up6(→））2－2eq\o（CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6（→））＝（eq\o(CB，\s\up6（→）)－eq\o（CA,\s\up6(→)）)2＝eq\o(AB，\s\up6(→））2＝c2.猜想得证．知识点二1．b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2．ABC知识点三思考1每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．思考2每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．题型探究例1解如图，设Ceq\o（B，\s\up6(→))＝a，Ceq\o（A,\s\up6(→））＝b，Aeq\o(B，\s\up6(→））＝c,由Aeq\o（B，\s\up6(→))＝Ceq\o（B,\s\up6（→)）－Ceq\o（A,\s\up6(→)），知c＝a－b，则|c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a｜|b|cosC。所以c2＝a2＋b2－2abcosC。跟踪训练1解如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0，0)，B(c，0），C(bcosA，bsinA)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A,即a2＝b2＋c2－2bccosA。同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC。例2解根据余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1676.78，所以a≈41（cm)．由正弦定理得，sinC＝eq\f（csinA,a）≈eq\f(34×sin41°，41)≈0.5440.因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°）＝106°。跟踪训练2解由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4eq\r（3)，所以c＝eq\r(6）－eq\r（2).由正弦定理，得sinA＝eq\f（asinC,c）＝eq\f(1，2)，因为b>a，所以B〉A，所以A为锐角，所以A＝30°。例3解∵cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc）＝eq\f(87。82＋161.72－134.62,2×87。8×161。7）≈0.5543，∴A≈56°20′。∵cosB＝eq\f（a2＋c2－b2，2ac）＝eq\f（134。62＋161。72－87.82，2×134。6×161.7)≈0。8398，∴B≈32°53′。∴C＝180°－(A＋B）≈180°－（56°20′＋32°53′）＝90°47′.跟踪训练3解因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b