因式分解的应用-初中数学竞赛讲义

2233+z22－2233+z22－22一利因分解断除性例12n1和2n+1示两个连续的奇(n是整)，证明这两个连续数的平方差能被整除．证＋－(2n－1)=(2n＋＋2n1)(2n＋1＋1)∴这两个续奇数的平方差能被除．例2x+z－3xyz能(x+y+z)整．证因分解，得原式即

222

－xy－yz－zx)，∴x3+y3+z3－3xyz被x+y+z)除．例3设－为倍数，求证4x+7xy－能9整．证∵4x

2－y)(x+2y)，又∵x+2y=4x－y－3x+3y－－－．∴原式＝(4x－y)［(4x－－3(x］＝－y)－3(4x－－y)∵－为的倍数∴－能被除例4设数，如果x=(a＋b)(c＋d)，y=(a＋c)(bd)＋d)(bc，那x、y、z的大小关系为)B.y<z<xz<x<yD.不能确定解∵，∴－y=(a＋b)(c＋－(a＋c)(b＋＋bd－－d)(c－b)<0即；x<y。同y－z=(ab)(d－，即。∴x<y<z选A。

22222222说：式解能x－和－两个差显出正性，到可较目的二22222222例5计下列各题：(1)23×＋×＋180×0.314解(1)适变形之后，提取公因式：原式＝23×＋593.14＋183.14＝×(23＋×100=314(2)原式＝说：述些计，妙应了式解，运过程得活简捷例6积的整数部分()2C.分：道题，要求个括号里的数值的乘积，当然不能用常规方法实乘。观察其特点：每个母是相邻奇数或偶数的积，记n(n＋；每个括号的分子相加又都是2)＋1)，于是，设所求式子之积为，则有，应选A说：时了因分，使含数关系显。三利因分解简值例已＋，则ab(cd)cd(a＋)的值等于__________。解原式(abc＋acd)＋＋b＋ad)bd(ad＋bc)＋＋×0=0

222222说：用式分，化简数，述的值变得容了222222例8已－b=3,－

3

,求(c—－b)

2

－－－c)

2

]的分：求的代数式中含有b可以通过已知的－b=3与a－－b3解由已知得c－b=3－

3

来推得所以原=（3－

3

）[

26)

2

]=

2

3

26)

3=27－26=1四利因分解方例9解程x＋－2(x＋4x)－解将原方程左分解因式，可得x＋4x＋＋4x－＋1)(x3)(x－＋由此得x+1x＋，或x－1=0，x原方程的是x=－1，x=3x=1－51234例求程4x－－=5的数解。解原方程或化2x－3y)(2x＋y)=5因为xy是数，故－3y和＋必是整数。又5=5－5)(－，因此原方程可化为四方程组：解这四个方程组便可得原方程的四组解为：说：式解的用使这道程化为们悉的次程五利因分解简

例化

13

分111

n93333000×…1000×…1解∵=

102nn－×()91333...3000...0)31n10103

)=

1139

(10

3n

2

n

=

127

n

3∴原=

127

3=

13

n

=333…六利因分解明式（等）例已三角形的三边、b、满等式

a

33

abc

，证明这个三角是等边三角形分要明以、、c为的三角形是等边三角形只要能证明即，题中给出了关于c的关系式用非负数的性质可。

a33abc

，利用因式分解它变形，在利解已知

a

33

abc即∵≠

222

－－bc－

222222∴

222

－ab－ca=0∴

aab)+(bc)+(c

)=0∴

a

=

()

2

=

c)

∴a=b=c∴这个三角形是边三角形例设a、、c为ABC的边求证

a22bc

证：

a

22

bc)=

b)=(a+b+c)(a－bc)∵、、c为ABC的边∴a－b∴－b－c)<0∴

a

七利因分解明何问例已、为两的半径c为圆圆心距，若方程x22ax+b2(b相等的实数根，求证两圆相等或外切．证对方程x

2

-2ax+b

2

--a)c=0，有△=4a-4b+4(b-a)c=0，即(a--，a=b或c=a+b所两圆相等或切．例在ABC中BAC=90°AC＞AD是M是BC的点，求：AD-．

BDM

222223222223322－证∵DM-=(CM+DM)(BMDM)=CD·DB=AD，∴AD-DM．注：若用CM替BM，：CD=CM+DM，DB=BMDM

AC练题1．求14

6

能被197除2如xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1975，试求然数x、、3在ABC中三边a、c足+b－3abc=0，判定三角形的形状4m为值时，方程2x－－6y－图象是两条直线？5．求

22

=1979的整数解6．设p是质数，且＞，求方程21pxy

的正整数解x≠）7计

19998计9×9999＋…9已

2xy

，求数x、的．

求出方程

3y

xy49

的全部正整数解

332332．

已知

x

2x0，x84

的值．

证明

545

545

4

是合数13．

如题图，M为段的点，D为MC上异于M的点过

l

A点D作线

l⊥，A为

l

上任意一点）证AB>AC,（）14．

AC2若BC=83.25，求DM如题图，在ABC中ABC>∠ACB,AD⊥于DPAD上任一点，A求证：AC+BP<AB+PCPBD答或示

B

1.证原式(14)+1=196+1=197(196-∴能被整除2.，，为①(7，12，；②(7，，12)；③，，18)；④(12，，，⑤(187，12)，⑥，，7)共6组3.△为等边三角形4.

或

56

时方程2－－2+mx+17y－12=0的图象两条直线5.x=±±9896.∵≠，以及p质数，则只能是2x－2－p=∴2p2

或或

－－pp2