几何体的一种构造单纯体

几何体的一种构—单体(金飞津南开大学我们学习了几何学，对几何体有了一定的了解，当我们知道三维空间中只有五种正多面体时，禁被它的神秘所吸引是有种想进一步了解它的冲动呢？我们下面要研究的是一种特殊的几何体——单纯体。单体每个面均为相同多边形的多面体（可以是凹多面体也可是凸多面体我们将会证明只三角、边形五形可构单体并重讨论四边形构成单纯体的情况包完成菱形多面体的分类和讨论一般四边形构成单纯体的情况于形构成单纯凸多面体的分类，我们也已研究清楚，另文发表。菱形多面体为说明如何用菱形构造单纯体，我们先来了解它的一个特例——正6面（即正方体，它的每个面均是正方形，而正方形是一种特殊的菱形图，容易知道连接正6面的一组“面对角线”得到一个正体因正体可以这样构造出在正面的每一条棱上均添加一个相同的正方形，使得正方形的对角线与正4面的棱重合。类似地，在正6面或体的棱上添加适当的菱形可得到菱形面，如下图所示：同样地，在正12面或正20体的棱上添加适当的菱形可得菱形面体，如下图所示：/

将所得多面体列表如下：正多面体

棱上添加

所得多面体

所得多面体

所得多面体

所得多面体的顶点数

的棱数

的面数正4面体正6面体正8面体正面体正面体

正方形菱形菱形菱形菱形

正6面菱形面体菱形面体菱形面体菱形面体

由以上归纳，我们给出一类新的多面体的定义——菱形多面体。菱多体即每个面均为相同菱形的凸多面体。以上的几种菱形多面体人们早已发现，那么菱形多面体有多少种呢？前人并没有论述。下面，我们讨论了关于菱形多面体的分类，得到如下定理。定：菱形多面体仅有五种，它菱形面、形二体伴形二面、形十和菱三面。证：以下分四种情况讨论(一)若个顶点周围仅有三个面菱形多面体的每个面均为四边形，则有4F=2E（1）每个顶点周围有三个面，则有3V=2E）欧拉公式

VE+F=2（3）由（1V=8、E=12、F=6对的多面体为菱形面体。如下图：（二）若有一顶点，其周围有四个面则这个顶点周围的四个角的组合有以下几种情况：这顶点这周围有四个锐角A

B

D

CE

H图1/

G

如图-，易知ABD四点最多再接一个菱形，否则该点周围面角之和将小于60度（1若AB、、D点接菱形锐角，即EBF=∠FCG=∠GDH=HAE均锐角，由对称性可知AD共面,∥AD图-考四边形ABCDAB=BC=CD=AD=AC=BD，易知，四边形ABCD存在，所以这种情况不行。BCA

D图2（2若B点接锐角，C点钝角。即EBF为角FCG为钝角，由平行线所夹的关系可得∠，∠HAE=∠FCG。考察如图-3多面体，PA=PB=PC=PD，bAB=BC=CD=DA=AC形的长对角线长为对角长为计算得，=a

512

，在此条件下，我们通过作图以及模型制作发现这种菱形拼成一个面，而且拼法唯一，我们称之为伴菱形面体。DACB图3（3若A、、、D点接菱形钝角，即EBF=∠∠GDH=∠HAE均钝角。易计算得，该菱形的长短对角线长之比为，它拼成菱形面体。．这个顶点周围有三个锐角和一个钝角，如-4，∠为钝角。

DAH

GCBE

F图4

/

222222（1若AB、、D点接菱形锐角，即EBF=∠FCG=GDH=∠均锐角，由对称性可知AC四共,∥AD察边形ABCDBD=AC=AB，易知，四边形ABCD不在，所以此种情况不行。（2若B、点接菱形钝角，即EBF为角，∠FCG为角，易知，，∠∠，BD=FG=AD，EF=AC=AB=BC，考察-面体，AD=BD，AC=BC，则，

≌

，∴∠∠因此，点D在面ABC上投影在ACB的角平分线上，又因该多面体为凸多面体，因此点在面ABC上投影在面的侧，易知此投影在直线的侧，因此与点D在面ABC上投影在ACB的角平分线上矛盾。DACB图5（3若A、B、、D都接菱形钝角，即∠EBF=FCG=∠∠均钝角，设菱形长对角线长为，短对角线长为，考察梯形如图-6)，AC=BD=AD=2b易知AH=

、HD=

，而–|AH|=|CD|–|HD|，即

b))2)2)2b5=>=，a2

A

BHD易知，此种情况该菱形拼成的多面体为伴菱形12面或菱形面体。如下图所示：

图-伴菱形12面体

菱形面体/

（三）若有一顶点，其周围有五个面则这顶点周围的四个角的组合有以下几种情况：、这顶点周围有个锐角JFCE

ABDHG图7如图-，顶点A周有个锐角，若BC、、均再接锐角，易计算出菱形的长对角长小于短对角线长盾因此其中有一点周围应再接一个钝角妨设点B围再接一个钝角。若点C周再接一个锐角，考虑D点若D点围不再接菱形了，即GH两重合，易知DG//AE,DH//AF.则AE//AF,盾，因此点周围应再接若干个菱形锐角。若D点围再接一个锐角，即存在一顶点D，周围有三个锐角一个钝角，由情况（一）中情形的论可知，所得多面体应是伴菱形面或菱形20面体。易知它们不满足-7的结构。对于D点围再接更多的锐角的情况下面将给出否定回答此BFJE周应均再接一个菱形钝角。据此，易计算出菱形的长短对角线长之比为形30面。、这顶点周围有个锐角和一个钝角HA

52C

。此菱形拼成的多面体为菱形20面或菱G

BF

DE图8如图-，A点围有四个锐角和一个钝,了保证A点周围面角之和小于度，则菱形的锐角应小于60度钝角应大于度。故BC两只能再接一个锐角。考虑F点围已不能再接菱形了，即D、两重合。易得EF//AG,FD//AH.AG//AH,矛盾。/

（四）若有一顶点，其周围有六个面或多于六个面只讨论一顶点周围有六个面的情况。其它情况类似讨论。、这个顶点周围有六个锐角E

DF

AGB图9

C如图-，A周围有四个锐角和一个钝为保证A点周围面角之和小于度，则菱形的锐角应小于60度钝角应于120度则B、CD、E、、均只能再接一个菱形锐角。易计算出菱形的长对角线长小于短对角线长，矛盾。、这顶点周围有个锐角和一个钝角HACBG

F

ED图如图-，A点围有五个锐角和一个钝,易知B、C点围只能再接一个菱形锐角，考虑F点F点围不能再接菱形，即D、E两重合，易知DF//AGEF//AH.AG//AH,矛盾。综上所述，单纯菱形多面体仅有五种，形面、形面体伴形面体、形20面体菱形面体。/

一般四边形的单纯体引：简多体三角面个与面的数和小。证设简单多面体有x个角形面y个面角i角面的个数为S连j条的顶点的个数i为

T

j

，其中

i，j

。则：

xF)ii3jxV)Vjj

（1（）（1）+2得

EFx

，命题得证。命1四边长不等凸边不构单体。证：设这种单纯体存在，我们考虑其任一顶点周面的排列情况，容易发现每个顶点周围至少有面。而该单纯体的每个面均为四边形因此与引理矛盾。故四边长各不相等的凸四边形不能构成单纯体。命2对边长等邻长等凸边不构单体。证：同样，我们考虑其任一顶点周围面的排列情况，容易发现这种单纯体不存在。命3不存在凸nn）边构的纯。证：设

(i)

为连接i条的顶点个数显然i

Ti

。i每个面包含n条棱，因而有

E

（1欧拉公式

VEF

（2i))V

（）i由（1

i33V（n-2＞n=，与3矛盾。2由命题证明过程，我们容易得到下面命题命4一简单面必三形四形五形一形状面下面给出，有三边相等的梯形构单纯凸多面体的一个结果，其中只讨论了一种情形，另一种情形类似讨论。命5有三边等梯不构单的多体证明假设这种梯形能构成单纯凸多面体，考虑梯形（如图-11AB=BC=AD＜）下面分两种情况讨论BACD图（一）若单纯体每个定点周围只有三个面。则有如下等式/

3V=4FVE+F=2F=6、、V=8它是一个六面体如图-12所B

ADCB

AC

D图-其中AAB、CD为形长的底边BC//B、D//CD。平面ABCD行于平1111面ABD平面ADDA交面ABCD和面ABCD分于ADDＤ//A111111矛盾。因此这种梯形不能构成单纯六面体。（二）若单纯体存在一顶点，其周围至少有四个面Ａ

ＦＢＥＧＣＤＩＨ图如图，A点足假设。易分析得，个顶点周围只能是四个锐角、三个锐角和一个钝角两种情形不B