高考数学理二轮专题复习课件：专题四立体几何第二讲点直线平面之间的位置关系

第二讲点、直线、平面之间的位置关系专题四立体几何真题试做►———————————————————1．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(

)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于lD【解析】根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.【解】(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.考情分析►———————————————————(1)以选择、填空题的形式考查时，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题．(2)以解答题的形式考查时，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．考点一判断空间点、线、面之间的位置关系高考试题中多以考查空间点、线、面的位置关系的判断为主，考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；试题多为选择题、填空题(2013·高考广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

)A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【思路点拨】本题可以依据相应的判定定理或性质定理进行判断，也可以借助于长方体模型，利用模型中的直线和平面进行判断．D【解析】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.

解决空间线面位置关系的组合判断题的两大思路：(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择．强化训练1给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.其中为真命题的是________(填序号)．【解析】③中l∥m或l，m异面，所以③错误，其他正确．①②④考点二求证空间中线线、线面平行与垂直此类问题多以多面体为载体，求证线线、线面的平行与垂直，在解答题中往往作为第一问，难度一般不大，适当添加辅助线是解题的常用方法，考查学生灵活应用线线、线面的平行与垂直的相互转化能力．【思路点拨】本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平行”；第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”．【证明】(1初)连接A1B，设A1B与AB1交于E，连交接DE.∵点D是BC的中匠点，懒点E是A1B的中四点，∴DE∥A1C，∵A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2悉)∵△AB垮C是正怖三角圾形，虹点D是BC的中凶点，∴AD⊥BC.∵平面AB陕C⊥平面B1BC纪C1，平面AB配C∩平面B1BC喂C1＝BC，AD⊂平面AB牺C，∴AD⊥平面B1BC叠C1.∵BC1⊂平面B1BC筝C1，∴AD⊥BC1.解决它线线臭、线跟面的水平行题与垂驴直问刚题常储有以咸下技政巧：(1有)证明颂线线衔平行岛常用巡寿的方篇法：①利用岁平行估公理雀，即斩证两寺直线即同时飘和第抬三条言直线收平行虎；②利用视平行胜四边奴形进佳行平王行转舞换；③利用扁三角卫形的愤中位浴线定摩理证寸线线召平行夫；④利用抛线面巩平行斩、面南面平敞行的鸦性质塌定理颈进行箭平行句转换洞．(2弦)证明皱线面汽平行展常用附的两跃种方享法：①利用健线面熄平行盼的判承定定吊理，记把证猾线面翁平行即转化给为证泄线线侧平行上；②利用焰面面弟平行吵的性卧质，驰把证渔线面惕平行赛转化锦为证潮面面弦平行阳．强化才训练2如图滋所示扶，在岩棱长尺为2的正联方体AB炸CD­A1B1C1D1中，E，F分别清为DD1，DB的中洲点．理求证趟：(1穴)EF∥平面AB敌C1D1；(2拔)EF⊥B1C.【证明】(1违)连接BD1.在△DD1B中，E，F分别寒为D1D，DB的中胁点，则EF∥D1B.又D1B⊂平面AB降C1D1，EF⊄平面AB错C1D1，∴EF∥平面AB绕C1D1.(2象)由题齐意易丸得AB⊥B1C，B1C⊥BC1.又AB，BC1⊂平面AB泉C1D1，AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面AB裁C1D1.又BD1⊂平面AB哑C1D1，∴B1C⊥BD1.而EF∥BD1，∴EF⊥B1C.考点铺三淹证明湾空间遇面与垄面的迈位置限关系此类薪问题伶多以皇多面很体为帮载体破，结项合线丧线、和线面默的位冒置关滋系，荷涉及陕的知纪识点缝多，罪综合抓性强聪，通赤常考甲查面雹面位村置关捷系的拖判定颠及性羊质，耗考查符学生溪的推滑理论废证能跨力．在如烧图所恰示的储几何脏体中轻，四洗边形AB带CD是正默方形触，MA⊥平面AB遇CD，PD∥MA，E、G、F分别妇为MB、PB、PC的中探点，广且AD＝PD＝2MA.(1熄)求证闸：平掌面EF辣G∥平面PM暑A；(2华)求证鱼：平缺面EF撇G⊥平面PD颠C；(3哀)求三亮棱锥P­MA节B与四效棱锥P­AB刺CD的体茫积之净比．【思路世点拨】(1敬)证明EG、FG都平恭行于待平面PM迟A.(廉2)证明GF⊥平面PD湖C.(批3)设MA为1，从建而其黎他边驱的长页度都鞭可表惩示，草问题思可求战解．【解】(1裳)证明嘱：∵E、G、F分别套为MB、PB、PC的中郊点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四边煮形AB奶CD是正是方形级，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG、GF在平述面PM妙A外，PM、AD在平荒面PM秩A内，∴EG∥平面PM费A，GF∥平面PM企A.又∵EG、GF都在穿平面EF桐G内且臭相交贯，∴平面EF贷G∥平面PM恼A.(2吨)证明凡：由子已知MA⊥平面AB尽CD，PD∥MA，∴PD⊥平面AB猎CD.又BC⊂平灶面AB荷CD，∴PD⊥BC.∵四峰边形AB戚CD为正龟方形厅，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平举面PD嗽C.在△PB享C中，∵G、F分别止为PB、PC的中术点，∴GF∥BC，∴GF⊥平孤面PD幼C.又GF⊂平总面EF金G，∴平其面EF丝式G⊥平面PD追C.(1年)垂直贵问题盒的转悟化方摔向：面面贺垂直⇒线面下垂直⇒线线眯垂直蹄．主晕要依亦据有胳关定威义及结判定抄定理兔和性趟质定锐理证斩明．辅具体歉如下但：①证明笋线线挎垂直粉：线笼线垂港直的胳定义阀；线梯面垂坊直的也定义鸭；勾匹股定勤理等郑平面帮几何仓中的劲有关五定理袭．②证明眉线面乐垂直蛾：线稿面垂昌直的大判定泽定理牌；线舟面垂鲁直的刻性质宿定理并；面巴面垂蚊直的践性质筋定理百．③证明召面面禽垂直杯：面恢面垂愁直的康定义浴；面握面垂呈直的疫判定奥定理崖．(2凶)证明桑面面泄平行爸的常姐用方奴法是现利用梳判定失定理幅，其机关键钞是结剑合图茅形与凑条件摩在平酷面内病寻找传两相梢交直垫线分病别平兰行于态另一雪平面淡．∴四边饥形AM嗓CE为平益行四咽边形索，∴EC∥AM，∴EC⊥平面BC玩D，∴BC⊥EC.∵EC∩CD＝C，∴BC⊥平面CD友E，∴平面BC米D⊥平面CD霞E.(2胡)∵M为BD的中萝点，N为DE的中贩点，∴MN∥BE.由(1仆)知EC∥AM且AM∩MN＝M，又BE∩EC＝E，∴平面AM庙N∥平面BE拜C.考点达四讲空间悄图形途的折彩叠与拜展开此类感问题誓通常巨是把盗平面繁图形独折叠贯成空声间几向何体聚，并伏以此醒为载挨体考绑查线榨线、林线面构、面菌面位露置关为系及粮有关世计算处．考旱查学赵生的折知识稼迁移学能力愈和空虾间想尤象能顿力，良难度缸较大肝．【思路屈点拨】(1吩)要证散直线字和平北面平帖行，兴可证区直线森与该汪平面荣内的挂一条们直线皂平行船，也款可证汇直线稀所在堡的平妄面与酬该平魂面平螺行．(2岂)要证蝇直线污和平旨面垂钓直，龄需要尘证明闭直线音和该持平面豪内的今两条确相交某直线显垂直淘．(3湖)要求县三棱爪锥的厅体积说，需束要确肿定底炎面面织积和赤高，丹然后兰代入夫棱锥移的体值积公盐式计芬算．在折授叠后喉的图唯形中辛，仍红有DG∥BF，EG∥CF.又因钱为DG⊄平面BC立F，BF⊂平面BC弹F，所以DG∥平面BC资F，同刷理可痰证EG∥平面BC且F.又DG∩EG＝G，DG⊂平面DE盏G，EG⊂平面DE象G，故平敏面DE伪G∥平面BC窃F.又DE⊂平面DE岸G，所润以DE∥平面BC棵F.(1暗)解决猪与折担叠有茎关的耐问题窄的关携键是帜搞清艺折叠稍前后谋的变侧化量垄和不茅变量翻．一个般情酷况下孟，线剂段的回长度捐是不伸变量镜，而产位置围关系霸往往杰会发协生变齿化，酸抓住蒜不变梨量是颗解决继问题来的突芬破口因．(2孟)在解韵决问显题时亿，要葛综合竹考虑穷折叠子前后桥的图趋形，绒既要歌分析旗折叠稠后的柳图形漂，也丈要分岔析折爆叠前完的图喝形．强化品训练4(2阀01防2·高考泥福建向卷)如图脚，在饺长方盗体AB割CD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的柳一点端．(1缩慧)求三痕棱锥A­MC耕C1的体协积；(2颗)当A1M＋MC取得趣最小购值时性，求止证：B1M⊥平面MA陆C.推理该论证停能力——空间饶线、器面位置锡关系糠的判素断与缓证明推理侦论证喝是由捆前提淘和结店论两桨部分指组成疼；论竞证是山由已晒有的浸正确在的前馆提到誓被论孔证的慰结论胆的一铜连串挖的推受理过旷程．歇推理毯既包跨括演泥绎推李理，逮也包帆括合迅情推负理；难论证制方法该既包喷括按置形式殖划分娇的演敌绎法颂和归买纳法饶，也贪包括另按思修考方至法划棍分的假直接什证法俘和间省接证观法．(2而01咐3·高考枣北京邻卷)如图朗，在结四棱半锥P­AB升CD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平筐面PA殿D⊥底面AB欺CD，PA⊥AD，E和F分别膊是CD和PC的中挂点．病求证逐：(1保)PA⊥底面AB傲CD；(2尿)BE∥平面PA蹦D；(3鬼)平面BE盾F⊥平面PC靠D.【证明】(1钻)因为素平面PA偏D⊥底面AB紧CD，且PA垂直模于这将两个