椭圆的定义及基本性质教案山东省2022届高三数学二轮复习备考Word版

高三椭圆的定义、方程及基本性质（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握理解椭圆的定义★★☆☆☆☆根据条件求解不同类型椭圆的方程★★★☆☆☆椭圆中基本性质的应用及最值问题★★★★☆☆一、椭圆的定义椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．备注：定义中的常数（距离之和）要大于，否则轨迹不是椭圆，等于，轨迹是线段，小于，轨迹不存在【例题讲解】★☆☆例1：平面内一动点到两定点的距离之和为常数，则点的轨迹为（）A．椭圆 B．圆C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹★☆☆练1：已知点,动点满足，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆★☆☆练2：已知点，动点满足，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【题型知识点总结】1.判断轨迹方程是否为椭圆，就需要2个条件：1）一动点到两定点距离之和为定值2）这个定值要大于两点间距离。二、椭圆的标准方程①焦点在轴：，焦点是，且．②焦点在轴：，焦点是，且．【例题讲解】★☆☆例1：已知椭圆的焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是_______．★★☆练1：求焦点的坐标分别为,且过点的椭圆的方程．★★☆练2：求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程．★★★例2：已知动圆P过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．★★☆练1：已知动圆P与圆相内切，且与圆相内切，求圆心P的轨迹方程【题型知识点总结】对于求解方程的题目，要先把握住焦点的位置，之后再去确定的关系在动圆的内外切求解圆心轨迹方程时，表示圆心距与半径之间的关系是解题的关键三、椭圆的基本性质及应用定义到两定点F1、​F2的距离之和等于常数2a图像标准方程xy范围−a≤x≤a且−b≤x≤b且顶点(a,0)，((b,0)，(轴长长轴长=2a短轴长=2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1−F10,焦距F离心率,越大，椭圆越扁；越小，椭圆越圆【例题讲解】★★☆例1：已知椭圆的离心率为，若面积为4的矩形的四个顶点都在椭圆上，点为坐标原点，则A． B．3 C． D．★★☆练1：若表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（）A． B．C． D．★★☆练2：在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则等于A． B． C． D．★★☆例2：已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于轴，且,则椭圆的离心率为★★☆练1：已知是椭圆的两焦点，以线段为边作正若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．★★☆练2：设是椭圆的左、右焦点，P为直线上一点，ΔF2PF1是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A.B.C. D.★★☆练3：过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，其中一点为为右焦点，若，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【题型知识点总结】1.椭圆的性质中，经常考察的是离心率的求法，要注意数形结合，将图画出，再去通过条件找到各个量之间的关系。2.离心率有2种计算方式，可以找的关系，也可以找的关系，如果题目中都出现了，就通过三者的关系替换其中一个即可四、椭圆中基本结论及应用1.通径：过焦点垂直于长轴的弦长为通径2.焦点三角形：周长为；过焦点的弦与另一个焦点所组成的三角形周长：面积为（θ=∠F1MF2)=(为点p的纵坐标)=(为焦点三角形的内切圆半径)3.相同离心率的椭圆系方程：焦点在轴：；焦点在：4.焦半径公式,(,,)5.椭圆上任一点到焦点的最大距离：，最小值：6.点差法（中点弦）AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，为AB的中点，则；【例题讲解】★☆☆例1：已知过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______★☆☆练1：已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若则______★★☆练2：已知是椭圆的两个焦点,过且垂直于轴的直线交于两点,且,则的方程为()A.B.C.D.★★☆例2：已知椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_______，的大小为_______．的面积为_______★☆☆练1：已知是椭圆a>b>0的两个焦点．P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则b=______★★☆练2：是椭圆上的点，是椭圆的焦点，若，求的面积★★☆例3：已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点.求的最大值.★★☆例4：设为椭圆:的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.★★☆练1：已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点．若，，则的方程为A． B． C． D．★★☆练2：点P为椭圆在第一象限内的一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，则点P★★☆练3：已知椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形★★☆例5：已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为()A．5B．7C．13 D．15★★☆例6：点，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，求的最小值.★★☆练1：已知椭圆内有一点，为椭圆的左焦点，是椭圆上动点，则的最大值与最小值分别为、★★☆例7：在椭圆上，求点的坐标，使它到定点的距离最大★★☆练1：若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A．2B．3C．6D．8★★☆例8：椭圆中，过点的弦恰被点平分，求弦所在的直线方程★★☆练1：在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在直线方程的斜率（）A.B.C.D.★★☆例9：已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于两点，若的内切圆半径为，则椭圆的离心率=（）A. B.或 C. D.【题型知识点总结】1.焦点三角形是椭圆中较为经常考察的考点，经常与面积和周长建立关系，需要再去对本部分的结论进行总结和理解2.焦点三角形中的最值问题，本质还是用椭圆中的距离定值问题，再联合三角形的三边关系进行处理【课后练习】【巩固练习】★☆☆1：已知椭圆的长轴和短轴都在坐标轴上，且经过定点，长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的方程为___________.★☆☆2：已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程_______★☆☆3：椭圆和一定具有（）A．相同的离心率 B．相同的焦点C．相同的顶点 D．相同的长轴长★★☆4：设椭圆的右焦点为F1，直线，若过点且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，且，则_____★★☆5：为椭圆的两个焦点，以为圆心作圆，已知圆经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点，若直线恰与圆相切，则该椭圆的离心率＝__________．★★☆6：在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为_____.★★☆7：设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（）A.B.C.D.★★☆8：设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为，已知,求椭圆的离心率.★★☆9：已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为()A． B． C． D．★★☆10：已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上.若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（）A.B.C.D.或拔高练习（30Mins）★★☆1：设M是直线上的点，F1与F2是椭圆的焦点．过点M以为焦点作椭圆C．问M在何处时，所作椭圆C长轴最短，并求椭圆C的方程．★★☆2：已知点，又是曲线上的点，则（）A． B．C． D．★★☆3：如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则________.★★☆4：若顶点的坐标分别为，边上的中线长之和为30，则的重心的轨迹方程为______________．★★☆5：已知椭圆,分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点使得,则椭圆的离心率的取值范围为________．★★☆6：如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是________．.★★☆7：焦点在轴上，长轴长为20，短轴长为16的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为________．★★★8：设是椭圆