2023年哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案.doc高等数学期末考试试题（4）

一、填空题：（本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上）

1、已知向量a、b满足0ab+=,2a=,2b=,则ab?=．

2、设ln()zxxy=,则32

z

xy?=??．

3、曲面2

2

9xyz++=在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()fx是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()fxx=,则()fx的傅里叶级数在3x=处收敛于,在xπ=处收敛于．5、设L为衔接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则

()L

xyds+=?

．

※以下各题在答题纸上作答,答题时必需写出具体的解答过程,并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题,每小题7分,满分35分）

1、求曲线222

222

239

3xyzzxy

?++=??=+??在点0M(1,1,2)-处的切线及法平面方程．

2、求由曲面2

2

22zxy=+及2

2

6zxy=--所围成的立体体积．

3、判定级数1

1

(1)ln

nnnn

∞

=+-∑是否收敛？假如是收敛的,是肯定收敛还是条件收敛？

4、设(,)sinxzfxyyy=+,其中f具有二阶延续偏导数,求2,

zz

xxy

?????．

5、计算曲面积分,dSz∑

??其中∑是球面2222

xyza++=被平面(0)zhha=．

五、（本题满分10分）

求幂级数13n

nnxn

∞

=?∑的收敛域及和函数．

六、（本题满分10分）

计算曲面积分332223(1)Ixdydzydzdxzdxdy∑

=

++-??,其中∑为曲面2

2

1(0)zxyz=--≥的上侧．

七、（本题满分6分）

设()fx为延续函数,(0)fa=,2

22()[()]tFtzfx

yzdvΩ=

+++???,其中tΩ

是由曲面z=

与z=,求3

()

limtFtt+

→．

2022高等数学期末考试试题【A卷】

参考解答与评分标准2022年6月

一、填空题【每小题4分,共20分】1、4-；2、21

y

-；3、2414xyz++=；4、3,0；5

二、试解下列各题【每小题7分,共35分】

1、解：方程两边对x求导,得323dy

dzyzxdxdxdydzyzx

dx

dx?+=-????-=-??,从而54dyxdxy=-

,74dzxdxz=…………..【4】该曲线在

()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488

T==…………..【5】故所求的切线方程为

1128107

xyz-+-==………………..【6】法平面方程为

()()()81101720xyz-+++-=即810712xyz++=(7)

２、解：22

22

226zxyzxy

?=+??=--?22

2xy+=,该立体Ω在xOy面上的投影区域为22:2xyDxy+≤．…..【2】故所求的体积为V

dvΩ

=

???22

2620

20

2(63)6dddzdπρρ

θρπρρπ-==-=??

(7)

３、解：由11limlimln(1)limln(1)10n

nnnnnunnn→∞→∞→∞=+=+=>,知级数1

nnu∞

=∑发散(3)

又111||ln(1)ln(1)||1n

nuunn+=+>+=+,1lim||limln(1)0nnnun

→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

４、解：

121211

()0zfyfyffxyy

?''''=?+?+=+?,…………………【3】2111122212222211[()][()]zxx

fyfxfffxfxyyyyy?''''''''''=+?+?--+?+?-??111222

231.xfxyfffyy

''''''=+--【7】５、解：∑

的方程为z=,∑在xOy面上的投影区域为2222{(,)|}xyDxyxyah=+≤-．

=,…..………【３】

故

22222200xyDdSadxdydadzaxyaπ

ρρθρ∑

==?????

220

12ln()2ln2a

aaah

πρπ?=--=????..【7】

三、【9分】解：设(,,)Mxyz为该椭圆上的任一点,则点M

到原点的距离为d=

【1】

令2

2

2

2

2

(,,)()(1)Lxyzxyzzxyxyzλμ=+++--+++-,

则由22

220

220221xyzLxxLyyLzzxyxyzλμλμλμ=-+=??=-+=??=++=??=+?

++=??

,

解得12xy-==

,23z=．于是得到两个可能极值点

12MM+…【7】又由题意知,距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分离在这两点处取得．

故max

2min1||||dOMdOM====(9)

四、【10分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D,则由格林公式,得

22(sin)(cos)8

xxD

LOA

Ieymdxeymxdymdmaπ

σ+=

-+-=-=-

???．(5)

而1

(sin)(cos)a

xx

OA

Ieymdxeymxdymdxma=-+-=-=-??(8)

∴221(sin)(cos).8

xxL

eymdxeymxdyIImamaπ

-+-=-=-

?(10)

五、【10分】解：()1131

lim

lim3133nnnnnnanRanρ++→∞→∞===?=+,收敛区间为(3,3)-…………【2】又当3x=时,级数成为1

1

nn∞

=∑,发散；当3x=-时,级数成为()11n

nn∞

=-∑,收敛．(4)

故该幂级数的收敛域为

[)3,3-(5)

令()13

n

nnxsxn∞

==∑（33x-≤<）,则

11111111

()()3

3331/33nnnnnxxsxxx-∞

∞-=='====

--∑∑,(||3x<)(8)

于是()()00

0()()ln3ln3ln33xx

xdx

sxsxdxxxx'=

==--=?

?

,（33x-≤<）(10)

六、【10分】解：取1∑为22

0(1)zxy=+≤的下侧,记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω,则由高斯公式,

有()()1

332222

22316Ixdydzydzdxzdxdyxyzdv∑+∑Ω

=

++-=++??

???(5)

()221

12

62ddzdzπρθρρ

ρπ-=+=???

(7)

而()()221

1

33221

1

2231313

3xyIxdydzydzdxzdxdyzdxdydxdyπ∑∑+≤=++-=-==??????

(9)

2123.IIIπππ∴=-=-=-(10)

七、【6分】解：()()22

24

0sincost

Ftddrfrrdrπ

πθ?????=+?

??

??….…【2】()32244

00002sincossinttdrdrdfrrdrππ

π???????=+????

????