第二十一章原子的量子理论z

§16-6不确定关系§16-5实物粒子的波动性§16-4玻尔的氢原子理论§16-3原子模型原子光谱§16-8一维定态问题§16-7粒子的波函数薛定谔方程引言：经典物理中要将光看成是电磁波，而光与原子的相互作用中却要将光看成一颗颗微粒---这两种图象很难想像能将它们统一起来。但是量子力学却将它们统一了起来，并且大大地扩充了人们的眼界，量子力学的发展分为两个阶段。1、旧量子力学时代1913年物理学家玻尔（N·Bohr）根据卢瑟福（Rutherford）原子模型及氢原子光谱提出了氢原子理论，初步奠定了原子物理基础。2、新量子力学时代1924年德布罗意提出了波粒二象性，尔后由德国的薛定谔与海森伯等建立了量子力学。让我们顺着历史的车轮，来领略一下量子力学的风光，欣赏近代物理学上的另一朵鲜花吧！量子物理起源于对原子物理的研究，人们从原子光谱中获得原子内部信息。1927年，量子力学开始应用于固体物理，并导致了半导体、激光、超导研究的发展，此后由此又导致了半导体集成电路、电子、通信、电子计算机的发展，使人类进入信息时代…..。一.原子光谱的实验规律气体光谱实验发光装置几种气体的原子光谱氢氦钠蒸汽氖按照经典电磁理论，电子绕核加速运动过程中将发射频率连续变化的电磁波，应产生连续光谱，但实验所得原子光谱是线状光谱。§16-3原子模型原子光谱原子光谱的频率是分立的、不连续的，是线状分立谱。氢原子光谱的特征HHHH6562.3Å4861.3Å4340.5Å4101.7Å十九世纪后半叶，很多科学家都在寻找谱线的规律，1885年瑞士中学教师巴尔末发现了氢原子光谱在可见光部分的规律，即二.氢原子光谱的规律里德伯常量十九世纪后半叶,很多科学家都在寻找谱线的规律,1885年巴尔末(瑞士一中学教师)发现了氢原子光谱在可见光部分的规律,即HαHβHγHδ后来发现氢原子的所有光谱线的波长可表示为相同的谱线组成一谱线系正整数（氢原子光谱规律）里德伯公式1、赖曼系（紫外光部分）2、巴尔末系(可见光部分）氢原子的光谱系3、帕邢系（红外光部分）4、布喇开系（红外光部分）5、普丰德系（红外光部分）汤姆孙测定电子荷质比的阴极射线管三、原子模型1897年汤姆孙发现电子1903年，汤姆孙提出的原子模型电子均匀分布的带正电物质电子在球内作简谐振动α粒子实验存在大角散射汤姆孙的原子模型与α粒子散射实验相矛盾。1911年卢瑟福提出的原子的核模型电子原子核卢瑟福的α粒子散射实验不仅对原子物理的发展起了很大作用，而且这种研究方法对近代物理一直起着巨大影响，还为材料分析提供了一种手段。原子核模型与经典电磁理论有矛盾，如果原子核模型正确则经典电磁理论不能解释：（1）原子的不稳定性；（2）原子光谱的分离性。实验表明经典电磁理论已不适用于原子内部的运动，必须建立适用于原子内部微观过程的理论。1911年卢瑟福在散射实验的基础上提出了原子核模型，根据原子核模型，可以很好地解释大角散射。必须建立适用于原子内部微观过程的新理论！

1911年卢瑟福在散射实验的基础上提出了原子的有核模型(行星模型--电子绕原子核（10-12m）高速旋转)，根据他的原子核模型，可以很好地解释大角散射。四、经典理论的困难原子核模型与经典电磁理论有矛盾，如果原子的核模型正确，则经典电磁理论不能解释：（1）原子的稳定性（稳定与不稳定的矛盾）（2）原子光谱的分离性（连续与不连续的矛盾）由经稀典物吐理理脱论势咱必得危出如斯下结胖论：1）原子夫是”址短命闲“的电子资绕核塔运动宿是加挨速运茶动必奶向外催辐射言能量宏，电凝子轨道半解径越雹来越如小，帆直到啊掉到盼原子偷核与盾正电晒荷中节和，菜这个而过程熄时间<1恭0-1圣2秒，府因此删不可报能有俗稳定赵的原葡子存增在。+2）原孝子光该谱是束连续义光谱因电芹磁波泪频率r-3告/2，半径严的连使续变沫化，亚必导致产创生连胖续光看谱。实验耻表明液经典更电磁怎理论芽已不井适用粥于原吊子内怎部的港运动亮，必令须建泪立适桐用于炒原子给内部闲微观饮过程挥的理谊论。玻尔押从原叮子核敢模型锁和原艳子的逗稳定秤性出滑发，脊应用慎普朗堡克的浅量子碌概念鸡，提泉出了姜关于扯氢原企子内搂部运友动理伶论，长成功诸解释膜了氢纯原子斩光谱红的规颜律性猪。必须啊建立惠适用原于原融子内笼部微锁观过猜程的生新理震论！一.玻尔堆理论汗的基笛本假叹设1、玻做尔的容氢原左子理雁论是宿建立孟在以邮下三条历假设基础伍上：1)定态委假设:原子趟系统拳只能窜具有烛一系谁列不核连续坐的能产量状齿态在这燃些状央态中拴，电曲子绕获核作评加速鹿运动卸而不街辐射找能量钓，这果种状延态称经为原长子系阳统的辟稳定初状态妇（定搬态）2)角动量量子化假设——定态的条件电子对核的角动量只能取h/2的整数倍。量子化条件：§1怠6-晴4玻尔迁的氢剥原子冶理论E2E1E2E13)跃迁烘假设：当忆原子悠从一胆稳定却态跃陡迁到享另一兼稳定自态时麻，原真子同神时吸肌收或极发出蚁单色宿辐射沿，其纺频率渣有下装式决妥定。量子辩化条守件：认为:氢核辰质量疗无穷航大,近似棵静止(相对室电子)1.电子轨道冰半径破的量怜子化:库仑退力提倦供法涨向力+rnMmM>>m二.玻尔氢原子理论玻尔理论计算的氢原子稳定状态由牛顿第二定律得+rnMmM>>m结论参：电贫子轨派道是损量子乖化的薪。量子数为n的轨道半径注意销：n=秧1的轨猴道r1称为凉第一牺玻尔仰半径端。电子谣的轨像道半今径是镇量子限化的董，只逼能取富离散钉的不才连续蜡的值.正常热情况正下电攻子处尊于n=1的轨口道上蝇。2.电子在半径为

rn

的圆轨道上的速度3.定态丑能量石是量管子化迹的氢原辟子的涉能量至为电子京动能群为，势馋能n=准2、气3、漏4…结论售：能勇量是通量子已化的。注意侍：氢原芽子能巡寿量只寇能取楚离散揉的不梁连续副值，锈这些呜不连军续的聪能量宅称为能级。能级图基态激发态能级图基态激发态基态量子远数n=呈1的定即态激发尝态其余歉的定阴态称装为激护发态基态n=1国,激发字态n>铺1电离:电离能：原子抖的电著离能他就是辫从基隶态（n=0）以楼及从杨某激锋发态跃迁扇到n=状态根时所猾需能西量——由玻降尔理冷论得午出的炒谱线惊系与盈实验萄事实伍吻合根据挪玻尔厅的跃秒迁假友设：推导坛里德临伯公逼式计算阿值：实验泊值：玻尔肾的氢供原子跟理论络对氢糠原子拢光谱净的解煌释三.玻尔敲理论涉的发疲展及划其缺虏陷玻尔惕理论成功伸地说预明了再只有奏一个普电子清的氢犯原子茅或类讲氢原被子，祝但对于鼠多电船子原开子则常无能迅为力。索末斯菲发钩展了士玻尔虫理论，认兰为电滥子在惕核的示库仑恋力作徐用下秃可以驳绕核查作空廉间运挤动，殖有三骄个自祥由度海，有嫌三个保量子劲化条寺件和三个逐量子架数来确极定它印的稳隶定状据态，加上圣电子计自旋隶假设，可印以很好后地解池释只陵有一冬个价疲电子第的复引杂原给子的件光谱。玻尔腥理论还获化得夫兰嫂克-赫兹垃实验语（19孟14年）的证猜实。款该实饭验通与过对来原子之的可额控激蓄发到范高能咱态，菌证实鹊了原闹子体珍系量至子态近的存懂在。（1）不僻能解屿释多忠电子刺原子走光谱变、强自度、衬宽度渡和偏溪振性宫等；犁对于蜓塞曼价效应丢、精富细结岩构更骑是无晃能为柱力。（2）不盗能说狂明原眉子是唱如何陪结合妹成分斗子，圆构成蜻液体哑、固舱体的布。（3）逻丛辑上都有错杠误:以经否典理欠论为虽基础,又生超硬地绣加上薯与经扮典理盼论不盯相容躲的量在子化题假设,很不桨协调——半经件典半轮量子麦理论.玻尔筒氢原肠子理顺论的巴困难满意午解释召了H、类H原子箩线谱,得到准了饼且熄能级鲁概念贼也被蛙实验背证实,但仍英存在篮缺陷:玻尔扫原子接理论撤的意泻义在誓于：1)揭示桐了微轻观体剩系具异有量丑子化晕特征(规律),是原寻子物扣理发鲁展史按上一朽个重村要的括里程提碑,对量西子力算学的比建立爹起了舌巨大狂推进而作用忧。2)提出“定奖态”,“能级饱”的概烦念,“能级婶跃迁攀决定爱谱线绒频率财”的假奸设，已在量茧子力贴学中蓬仍很仿重要,具有螺极其盒深远常的影滤响。玻尔互模型蝴有着陪一系慈列难占以克诵服的闪困难督，正带是这掘些困容难，眼迎来伙了物吴理学暮更大垫的革贯命！例：仆氢原苹子中虫电子柄从n=筹2的状浅态电圆离所旦需要然的能应量3.坡4e伍v例：贪求氢箱光谱缝帕邢帮系中岗的最坦长波庄长和冻最短零波长我？例：奇对处掘于第偶一激衫发态盒的氢量原子潜，如冲果用桌可见渠光照房诚射，极能否浙使之查电离滨？不可交以引言:半经妖典半暮量子陶的玻扰尔理展论存妈在局勤限,看来响是建害立新禁理论载的候顾了,但新压理论惜的实引验基葵础是武什么特呢?19世纪凑后半哭期，叮电磁秀理论缴成功公地解部释了尘光的干租涉、封衍射揉、偏贯振等耽现象汇，建救立了种光的耻波动躁图象泻，但估到了日廿世旬纪初走，人砌们为亡解释炉热辐遥射、布光电壮效应呼、康雷普顿躲效应票，又访不得猛不将纱光当筑作微逃粒来扇处理牌。尤其租爱因同斯坦缩慧提出尿了光既子的依概念拿，建赌立了E=殿h的关嘱系后冶，更酬使人初认识醋到光乡丰是具狮有波永粒二真象性枪的东出西。德布摸罗意坛觉得锯自然斤界在站很多动方面妙是对舟称的开，但眨整个禁世纪以来良，人颠们对收光的估研究谋是否粉过多沃地注不意到延了它完们的将波动性；养而对骆实物定粒子赶（静婚止侦质量爷不为羡零的剩微观版粒子严及由侨它们组稠成的鞭实物糕）的欲研究滥，又煌是否绳把粒亡子的磨图象仍想得炮过多而忽绘咯了妥它们业的波降的图晚象呢杰！19凶22年他盐的这每种思赞想进杀一步升寄华，姥经再聪三思盘考，19矿24年，De前B姓ro办gl闭ie在他牧的博坐士论文“视量子甘论研镜究”萄中，师大胆瓶地提膏出了堤如下难假设骆：DeBroglie假设：不仅显辐射荒具有沫二象泽性，亏而且捡一切栏实物库粒子也具怎有二膜象性锯。注意本：这葱一假配设建芹立了捉对实包物粒随子的喷一种蚂新的库图象鸣，这仍种图局象既枝允许肃它表狸现微字粒性季，又论允许狡它表羞现出捡波动宰性。证这种归波称商为“箩物质油波”钢或“轿德布起罗意需波”侮。但什狠么是肌德布招罗意拥波呢患？一.德布设罗意趁波假医设—物质河波概盒念2、德布蔬罗意宇用历史纲的类非比手朽法，提出盾实物丝式粒子陷亦具乐有波汗粒二除象性件的假怠设：每网一个体运动刺的自转由粒宴子都惑有一准波与童之联肺系，醋如果炎粒子求的动迹量为p，这波脸的波佣长和健粒子畜的动酿量p之间日有一驾简单未关系融：1、光的炉波粒令二象米性:§1立6-聪5实物扁粒子胃的波献动性和的粒子,从波动性看来应具有、动量为说明能量为l.npE物质衡波:与实朱物粒杠子相顾联系体的波末。德布鸽罗意树关系翁式与自悲由粒控子相瞧联系弹的德狠布罗判意波爱是平倒面波自由昏粒子的频傅率和晴波长斜也都脏是常母量，萝即与自如由粒钞子相含联系驻的德佳布罗背意波巩是平新面波非相俭对论渣的自犬由粒认子动奋量其中客质量秤可认怖为是续静止裤质量娱，为兆常量由关赤系式自由喜粒子偿速度四恒定右，因关此动斧量和冰能量扇都是陕常量例一姥）一疑质量m0=0求.0副5K度g的子微弹，v=3移00们m/尤s，求其物费质波任的波纲长。解：BUK发射电子阴级加速电极em0例二）一原静止的电子被电场加速到速度v（vC），加速电压为U，则速度为v的电子的德布罗意波波长为多大？解：铁经过吐电压U加速怀后,电子籍的动兵能为:代入h、e、m0值：或Å当U比=1认00诉伏Å故德色布罗胀意波床长：19源23年Cl宜nt晶onDa誓vi违ss映on发表贿了慢底电子桂从铂庙片反革射的意角分债布实勾验情墙况，沸他发若现弹国性反乘射电贷子束母强度革在某榨些角却度出施现了厘极大兼值。偏玻恩役（Bo司rn）认为答是一提种干夕涉现较象，霞可能傻与德犯布罗意坏波有慰关，疗这引盘起了像戴维倾逊和习革末蛛（Le竿st搬erGe柏rm驻er）继笋续对叼慢电赵子在毕镍单别晶表狱面散卖射进池行研粪究。二.德布国罗意峰假设棚的实诞验证汁明1、戴炼维森—革末异实验(1鉴92名7年)电子胳束加茄速后斜投射干到单洁晶上涌。保出持掠芒入角圈不变竞，改驳变加竹速电极压，壁发现颗接收使到的猪电子慕（电比流）绕有一谅系列萍的极材大值娇。GUKMBI0510152025电流爷出现本了周犁期性大变化1、实验移目的测出泥按反普射定攻律而钳反射隆的电堡子流吗强度I和电嫂势差V之间呀的关但系。2、实验墨方法：保持不变，改变V，测出对应的I。3、实要验结晌果I05101520254、实炉验解养释：显然占将电霉子看屡成微俗粒无享法解丽释。假设集电子春有波划动性,电流窜出现层最大争值时颤应满绞足布艰喇格越公式皂：即加速彼电压U满足汉上式鼠时电浴流强谱度有滥最大涝值。夕由此首计算渐所得淘的U的各稳个量碗值和魂实验道结果脸相符易合。偶证实誉了德悟布罗返意假灵设的增正确说性。电子早经电小压U加速汗，德支布罗仰意波鸽长当v<婚<c时：相对侍论效肥应：例亏计算呼电子烈经过U1=兰10惹0V和U2=站10绳00满0V的电谜压加春速后送的得狠布罗态意波止长λ1和λ2分别幅是多默少？解：颂经把过电倒压U加速辫后，拦电子丽的动络能为弱：将已知布数据肠代入患计算渡可得摆：λ1=1怒.2忠25（埃）λ2=0柜.1尾22盏5（埃）2.汤姆交孙电子吨衍射实验（19龟27年）铝薄牵膜X-射线形衍射再图样铝薄销膜电教子衍射们图样金属箔电子束G.皮P.汤姆密孙（僵发现痰电子炮的J.忽J亦.汤姆膊孙之纱子）煌几乎惜同时观察炕到电畏子的笛德拜誉衍射号环。实验停得到扁电子止的衍样射图脏样类夏似于X射线麦，证插明电框子确透有波填动性却。后碌来又烟证明四其他培实物复粒子(原子群、中鉴子)亦有邀波动姑性。沫而且爷在数惊量上星证实绣了德铲布罗堡意公克式的晋正确峡性。电子衍射图X射线衍射图19唱37年戴耍维逊寻与GP汤姆蛙逊共次获当怒年诺识贝尔灿奖（G·驾P·图Th尝om垫so显n为电演子发育现人J·晶J·巴Th址ms陡on的儿荣子）尔后聋又发丢现了均质子颜、中骆子的蝇衍射具有贱一定猎速度撒和一隙定运僵动方亭向的恨微观鉴粒子宾束线外所产姨生的修衍射斜图样编和平磨面波浊所产箩生的清衍射狮图样蕉相似拼。一切蓬微观因粒子即都具屿有波鲜动性处。实验虫表明汁：粒子直的波持动性义已有液很多灶的重幸要应压用。管例如总，由答于低砌能电专子波斥穿透捡深度共较X光小再，所罪以低借能电泛子衍关射被睬广泛随地用挨于固核体表亿面性飞质的律研究骗。由斥于中划子易笋被氢京原子岩散射复，所红以中命子衍雪射就虹被用嚷来研倡究含倘氢的格晶体朵。电土子显顿微镜绕利用城了电觉子的蔽波动碑性。恳由于务电子弹的波临长可爬以很抵短，垂电子裤显微挺镜的贸分辨菜能力镰可以妻达到0.尺1n老m3、电戚子双领缝实捉验19好61年琼彼森（Cl熟au币sJö析ns圣so炊n）将一捐束电碑子加轮速到50红Ke工v，让其渗通过姓一缝鹊宽为a=饶0.涝51您0-6m，间隔为d=砌2.挺0私10-6m的双懂缝,当电祸子撞摇击荧介光屏由时,发现科了类种似于启双缝点衍射破的衍味射图饰样.大量溜电子具一次猫性鸽行为电子蔑双缝佣实验--一个谢电子昆多次散重复视性行抹为三.德布袄罗意用驻派波观母点说类明角围动量会量子饺化电子歼的德晌布罗桂意波灯长德布堡罗意据认为贸：要所使绕倾核运女动的出电子仆稳定研存在尼，电老子绕福核回配转一超周的态周长裁必须窄是德诉布罗哀意波嫩长的允整数糟倍，碌即与电贪子相驳应的吊波必须届是驻波，则得角动信量量漠子化钓条件因只欣有驻陪波是涨一稳娇定的贱振动袍状态什，不秃辐射递能量19浇26年玻墙恩提独出：绣物质规波是乒“漠概率威波阅”。SS1S2用光子概念解释双缝实验四.德布蜂罗意被波的锦统计失解释研：光具菌有波秤粒二梁象性1、光的双缝衍射:来到列空间缘瑞某处侮单位挂体积修的光街子数坚与该蜓处光副振动线的振菌幅的廊平方扭成正凤比。2、电盲子衍触射:电子耕分布桃稀疏哪与密受集说冬明电预子到持达各鞭处的羊数量驻不同索。统计所解释泰：在万某处蛙物质铃波的萝振幅A2，与粒锈子在侧该处戒附近哀出现味的概泛率P成正企比。一定频率的光的强度与该处的光子数成正比，而在某处的光子数与该处找到一个光子的几率成正比。所以在某处发现一个光子的几率与成正比。xZd不确涉定关溜系由于乡丰微观少粒子范具有爬波粒掠二象裤性，巡寿所以妹它具傲有和戴经典涂力学薪中质酬点不纱相同洒的性约质，按照傻经典熟物理，每萍一时脉刻质史点占泳有一朵定位嚼置并盛具有没一定伤动量壮；位邀置和色动量灾可以亦同时梯准确浙测量作。而微观受粒子甚的波吩动性枣对确代定粒痕子的饭坐标柴和动硬量带岩来了搞某种熄限制。§16负-6不确扒定关搬系电子妨具有狡波粒齐二象色性，丝式也可麻产生积类似薪波的择单缝衍劝射的险图样狠，若皇电子富波长赴为，菌则让搬电子毙进行单缝帐衍射蜻则应除满足询：从粒抛子流敲的单暑缝衍翁射看肠位置何、动畜量的疏不确映定关疫系明纹暗纹我们顽来研市究电挤子在鱼单缝啦隙位再置的品位置韵和动双量的澡不确读定程障度一维坐标叨和动匙量的提不确括定关庄系1)位置脖的不础确定晃程度用单上缝来宋确定女电子担在穿甜过单浴缝时奔的位堆置电子吸在单缝的瞒何处通过激是不确定做的!只知苗是在宽为a的的缝研中通过.结论:电子在单缝处的位置最大不确定量为U设一带平行立电子抗束垂宵直射彩在单河缝上您，如抄图，欧大多建数电缓子通已过狭趴缝后帮继续门沿原器方向喉运动测，但速有些卵电子馅改变激了方芒向，提即其究动量馋改变私了。2）单堤缝处拍电子培的动踪蝶量的缠不确责定程甜度xayUXY电子溉大部趴分都船到达地中央暮明纹拔处要估攀算单术缝处堪电子湿在X轴上匆的分途量的网不确冻定量糖，可先抓忧住到歇达中勤央明棍纹处监的电禽子在示单缝兽处的鸭不确除定量来研泽究。琴即正万负一旧级暗严纹间溪的电颗子来还研究富。这姨部分电子毙在单努缝处笔的动女量在X轴上吗的分桶量值px在下迟列范刊围内灶：IX由单赶缝暗母纹条博件：也就角是说幅到达敞正负栗一级兆暗纹偿间的茫电子势在单歉缝处的柴动量嫩在X轴上敞的分焰量的灵不确手定量宗为：为一级暗纹的衍射角故px的不确定量为：由德盯布罗携意关所系式昨：考虑寻到还悲存在踩1方向疯的电单子(次级)，这输些方子向电舍子的须动量绣不确男定量炭还要译大动量取位置蔑不确芒定关鹊系式当我们同时测量一个粒子的位置q和动量p时，位置q（广义坐标）和动量p的不确定量满足如下关系式：量子龟力学慎给出拾了更落准确观的表训达海森摧伯不胀确定汪关系袍式对三维直角坐标系有：{1、不确龙定并筹非由菊于实匙验技诱术、甜误差飘造成固，是迹波粒伐二象边性的发必然据结果轰。不确核定关己系的邻根源也是波闭粒二兰象性笋。不确桑定关草系是响微观不粒子仓波粒桂二象值性所傍决定家的，不确没定关燥系更朗确切符、更钢准确叉地反白映了础微观蚕粒子的来本质2、不鸟确定期关系绪意味纲着两余个互仇相制柳约、锦互成矛反比舍的共驱轭物睬理量洲的不电确定捷量不扁能同否时无泥限制肆地减模小。

表示减小，增加，即粒子的位置确定得愈准确，动量的不确定性就愈大，反之亦然。如：动量皱完全孙不确陵定粒子位置完全不确定，可在全空间出现。又以一个作匀速运动的一维粒子为例，它可在整个X轴上出现；为常数完指全确活定。即其观德布孤罗意猛波为捕单色去平面两波同理，对三维空间有对微观滋粒子俗，某煌方向贿上的馆坐标延和该舱方向闹上的芒动量科不可北能同时进行准确浪的测浮量。测程量粒桨子的抄位置累和动倍量时商，它巨们的似精度到存在步着一摊个终盗极的磨不可公逾越堪的限览制。3、和不可能同时进行准确的测量。5、不桑确定钻关系盾指出幼了使缠用经厅典物从理理逆论的面限度4、念在不与确定咽关系储中，紧普朗热克常以量h是一归个关痰键的世界损不能笋得到户直接夜的体袄现量，学它是觉一个剪极小匙的量正，因晨此，移不确传定关境系在躲宏观例1）一黄质量阔为0.呆4k延g的足膊球，炕以10没m/断s的速织度飞罪来，反如动辨量的粱不确渣定量蚕为10滤%，求其谎位置增的不蔬确定俘量。解：v%足球声运动足员完腐全不蓬必担心幸由于午有波会动性宝而一脚次踢空雕。注意：因为是估算，数量级差不多即可，故有用也是可以的。例2）H原子的线度的数量级为10-10m，H原中电子的速度为v=106m/s，求其速度的不确定量。+Mrnmv解：不确硬定量轿已达106m/港s数量奶级，寇已不拘能用穗经典物理屋中的嚷速度招来描影述。例3）电谊子射次线管势中的岸电子坝束中漫的电喇速度闲一般嘉为105m/骂s，设测浪得速善度的矛精度气为1/候10遇00店0，即V=导10鹊m/职s，求电宿子位袜置的系不确凯定量蹄。解：可以消用位梦置、嫩动量奴描述X结论霜：能木否用绒经典猎方法非来描伤述某司一问滩题，壮关键尚在于由差不确始定关榜系所锦加限跑制能汽否被闸忽略台。在普朗克恒量h不起显著作用的场合，即当h0时就可以看成宏观现象，并用经典物理来处理。量子珠力学卖中有役如下蛛一句春话：例题原子类中电俭子运日动速足度为106m/星s，原子花半径倚约为10-1班0m，电子莫位置葛的不社确定估量至乐少为10-1灭1m，即由不兵确定犁关系早可得结果叔表明誓，原传子中牛电子陶运动乱速度祝的不欲确定众量大凑于速毫度本腾身，战显然原子厉中电竿子的醉运动拦的研底究必讯须应驼用量努子力雷学理唯论。例题质量让为1塞g的物移体，低当测权量其抹重心厦位置璃时，蚁不确恐定量笋不超法过10-6m，即由不份确定译关系贱可得结果电表明芦，由锁宏观椒物体驼的波羡粒二坏象性谢引起醉的速赔度的痰不确为定量巡寿已远强小于排可能隶达到棋的测结量精谣度之盛外，档显然用经宴典力牌学方栏法处辩理宏怎观物因体的己运动朱问题时已经概足够坝准确宗了。一.自由毕粒子归的波倦函数设一遮自由蜓粒子展，不赤受外贝力作站用，劳则粒购子作粥匀速炼直线荡运动挡（设泼沿X轴）拍，其装动量盲、能皂量保碧持恒铲定。恒定耽！恒定确！从波森动观兄点看弦来：翻这种混波只切能是凤单色文平面嗓波X§排16纠-7粒子殊的波叙函数肆薛定泊谔方键程结论驰：自淋由粒么子的DeBr辟ög伴li算e波是扭单色贷平面诸波与具滨有恒缓定速餐度的毅粒子命（自稻由粒烟子）鼠相联尾系的流波是忙平面螺波，董波的谊传播婶方向同沿粒垮子的位运动确方向鸡。沿X方向传播的平面机械波波函数:

—a为平面波的振幅，为初相。可写和成复臂数形愉式，遇只取尸实数宇部分积：其中这是铁与能旬量为E、动量哄为P的自稳由粒声子相偷联系眠的平今面波毙，上愉式中冲的波粥长和银频率液（笛表示睛波动很的物草理量裂），可用参表示会粒子喘性的胖量E和P来表内示。由德嘱布罗埋意公池式：平面溜波方颈程可舒化为钢：——这是触与能待量E、动量P、沿X方向述运动展的自季由粒睁子相涨联系裳的波筋，称龙为自由匹粒子歼的德剑布罗自意波确，ψ为自扔由粒冷子的给波函锤数，A是波隆函数掌的振垄幅。在X轴上饶运动浇的自愤由粒生子的搭波函牙数可员写为筝：(x)是波深函数驻的一失部分歇，只洽与x有关蚀，与忆时间狠无关——振幅是函数。类似胳于驻董波的幸振幅菊。其中（分离变量）自由雾粒子的能涝量E、动量P—江—常数专，德秃布罗输意波巧是平培面波颂。非自幅由粒肿子的能冠量E、动量P—控—不是镇常数踪蝶，此显时德灾布罗验意波苍是否奸为平标面波芦，怎汪样确宵定非自垒由粒队子的德砍布罗虽意波涌？它邻服从冠怎样指的方执程呢自？上式唐为自府由粒乔子的进薛定汇谔振签幅方寒程二.自由门粒子滨的薛氏定谔颜方程（非相珠对论笋条件普下讨祖论）在有饲势力购场中碍运动户的粒虾子除馅有动幼能Ek外，还旬有势别能EP，令推广控到非舟自由闭粒子危情形，有三.势能牧为U的力蛋场中谢运动妙粒子趴的薛慢定谔嗓方程推广长到三嘴维空欲间：——势能炉为EP的力论场中胜运动薯粒子蜓的薛定长谔方植程。薛定巨谔方肝程是世量子民力学孕的基芹本方碗程，露不能锋推导推，只辉能验趣证。它的递正确新性在本于它化所给杆出的包结果企与实京验符限合定态意薛定春谔方闲程定态，势函数不显含时间，其几率分布也不随时间变化。若定淹态薛北定谔朴方程耽已解醒出为掏：则粒吐子的碰波函寇数：注意：1）定态波函数为一空间坐标函数

与一时间函数的乘积。2）对变于定蜡态，边除能厌量E有确备定值母外，下其几率分聚布也珠不随抗时间密变化倦。在空铅间某增处体具积元dV粒子臣出现金的几故率与东2dV成比导。即来到空间某处单位体积的粒子数与成正比，成正比。粒子在某处附近单位体积出现的几率与四.波函支数的雪物理席意义在空持间某基处体惊积元dV内，帽粒子甚出现昨的几爷率与峡2dV成比塞例，颜波函近数是撤几率线波。t时刻乏在空循间（x，y，z）处体是积元dV内找森到粒株子的腥几率鼠与2dV成比拜例。撤即大的地方微观粒子出现的机会多，小的地方粒子出现少；波函创数所宵代表泳的波运是几声率波槐。此式盼称为归一衡化条盼件。2、如性果满篇足归闹一化症条件票，表示厨在t时刻套在空群间(x哗,y政,z乱)处单论位体侨积内灶找到宾粒子带的几揪率，艳称为几率利密度。五、孝波函臭数的伯标准考化条丸件因为稠粒子下在全螺空间篮出现走是必粒然事总件,在整须个空佛间找绸到粒块子的凯几率蒜等于1，故乔得到扇：1、满确足归怪一化逃条件表示室在t时刻托在空各间(x柱,y定,z洞)处单少位体者积内鲜找到割粒子嗓的几增率，碧称为几率乒密度。所以遗，波助函数私还必施须满杆足以遍下条灶件：有限因性在空间是有限函数连续泽性在空岩间是非连续腿的波函末数是层单值厉的粒子吃在空俭间出箭现的准几率飘只可够能是签一个筑值波函醋数必炊须满扒足的灭条件咐：单值埋、连满续、鞠有限竿、和乞归一轧化条领件。将波函数崖乘上闲一个区常数糊后，嫌所描孔写的霸粒子逢的状领态并岩不改国变。表示在空间各处找到自由粒子的概率相同。对于自由粒子，波函数为则概率密度为常数1、金掩属中,自由邻电子苍受力置为0。势能EP为常甚数,可看脊作0。2、金姨属表吃面：EP突然位增大(x=趣0勤,a)为拐呆点一.势阱够模型§1伟6-论8一维捏定态琴问题a0金属表面EPx金属---------一维小无限宅深势朴阱3、一拼维无仙限深僻势阱0<x<ax≤0及x≥a0EP(x)=0axEP(x)=∞EP(x)=∞EP(x)=0若是慕经典谷粒子桶，粒戒子如判何运什动？理想模型粒子限制在一个具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受到强烈的反射，越出需无限大能量经典却观点富：能挂量连墨续(E可取资任意适值),且各平处出省现的几率翠相等,量子过力学秒的结玻果应钱该如询何?为简龙单计,设粒柏子在蹲场EP中沿x轴做铲一维宏运动新。二.粒子蚕的定继态薛寨定鄂枪方程粒子飞无法凉越过猾势阱朗故只凶须考甜虑0<雾x<谱a区间品的波悔函数帝：粒子雀满足拿一维啦定态果薛定值谔方漫程：三.薛定叔谔方雕程的言解——波函律数由归一化条件求：说明:1、粒单子的趁波函走数为蓄驻波荐形式券；

n=1，2，3，……3、粒子的的能量是量子化的,能量最小值不等于零：2、粒子在势阱中的概率密度：粒子在空间不同的地方出现的几率是不同的。E4E3E2E1xa0n=1n=2n=3n=4波函数曲线概率密度曲线粒子郊在势葱阱中袄不同朽地点之出现惹的几痕率不寒一样页，不主同于略经典俊物理惕学中新的等掠几率种分布典。表誉明:在势摆阱内箭坐标x处找弊到粒洽子的扛概率益为粒子殿的能琴级：粒子蚂的能厅量只鸭能取努分立践的不溉连续富的值即能肺量是闻量子你化的何，相池邻两币能级黄的间哀隔为在宽尾度为a=莫10-1章0m的势阱重中表明怠电子第能级木间隔绢已达牙到可绳测量态范围电子兰在宽型度为a=话1cm的势阱呈中，能级侍间隔荡为表明速电子能级穿间隔块充分亦小电子禁的能坊级间再隔为实际可上可将丸粒子挥的能明量视迟为连件续变贫化的薛定援谔方增程的日重要蹦意义:薛定训谔方模程是逆量子闸力学值描述塌微观垂粒子款运动连规律促的基势本方纯程,由它尽得出这的结澡果与隙实验普相符佣合。通过谁求解挤薛定份谔方欲程可食以得助出描等述粒坝子运抽动状应态的坚波函华数。在求调解过类程中湿，要惩考虑圾波函拦数必习须满跳足的钳条件涛：单塞值、慈连续鉴、有肌限和喝归一映化条恨件。扩不必段象经且典物舅理那农样，好人为优地提馒出量叨子化任条件拖，求眨解过录程中厚自然体得到片量子浑化条赚件，罗这是滚经典净物理堡所无欣法比惑拟的敢。薛定朝谔方扯程的付局限虏性：没有肿反映凳电子源的自沟旋；不满养足相谨对论买要求董，高庆速粒惯子的仆运动臣要用稠相方对论疯量子鸡力学订；没有俊考虑爹到粒蛮子的运产生讽和湮蓝灭问优题。四.粒子庙的分惩布情厚况处，粒子在势阱中出现的几率最大。在x=0，x=插a处，辰粒子懂在势寸阱中危出现肾的几捏率最蹲小。同理睡，可榨讨论n=采1,您n=驰2,等。E1E2E3E4a0Xa0XE1E2E3E4a0Xa0X注意扬：粒智子在拦势阱恼中不缺同地碎点出下现的够几率什不一样，具不同给于经降典物害理学鄙中的非等几肤率分罪布。以亏上分锤布可邻看作笨物质文波在屿势阱鼠中产容生驻邮波右行佩波左行扩波mE0aUXE1E2E3E4a0Xa0XmE0aXn

2当n时回到敲了经屯典情饱况。a剧能量可看成连续的E1E2E3E4a0Xa0Xn不能如为零仍，且碌要舍提弃负局值。不满闹足归比一化格条件届。n取负辅值，只筑改变千一个符傅号，疏而几丘率分投布不变必。故挤舍之旋。mE0aXn

2E1E2E3E4a0Xa0X例：闭在一辟维无梦限深填势阱碰中，虹当粒蚕子处观于啦时，龄求发睡现粒挖子出券现几丛率最王大的柜位置柄。例：秤求宽诉度a=威0.环02挖m的一尤维无渣限深沃势阱病中的萍电子芝，有n=拨3的能竿级跃低迁到n=铅1的能鼻级时韵所发颂出的浙光波筛波长学。2设粒示子沿x方向纸运动叮，波纯函数求：姻（1）归唐一化那常数A；（2）粒子巨的概洒率密撤度按干坐标颈的分组布；（3）在葵何处衬找到巴粒子虏的概绳率最川大？解：替（1）根篇据归破一化伍条件