初等数论一组题

1、a=169,b=121,求a、b的最大公因数。2、证明两整数a,b互质的充分与必要条件是:存在两个整数s,t满足条件,3、求证3198041981能被5整除.4、求不定方程的整数解。5、设，计算某星期一后的第天是星期几？6、数100！的十进位制表示中，未尾连续地有多少位全是零？7、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

8、有一年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？9、解同余方程。10、证明不定方程无解。1、a=169,b=121,求a、b的最大公因数。解：所以（此题考查学生辗转相除发的运用）2、证明两整数a,b互质的充分与必要条件是:存在两个整数s,t满足条件,证明：1)充分性：因为,设,则c|a,c|b,所以c整除,即c整除1,所以c=1,即a和b互质2)必要性：因为a和b互质，所以。考虑非空集合,不妨设是A中最小正整数且,y是A中任意一个元素，由带余除法,,则，若,则r是A中比更小之正整数，矛盾。所以,从而|y,特别地有|a,|b,所以|(a,b)=1,因此=1,所以存在整数和使得证毕。（此题考查学生对互质数的理解和掌握）3、求证3198041981能被5整除.证明,,,,4、求不定方程的整数解。解：先求的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：，，将上述过程回填，得：由此可知，,是方程的一组特解，于是，是方程的一组特解。因此原方程的一切整数解为：。5、设，计算某星期一后的第天是星期几？解:星期几的问题是被7除求余数的问题.由于，于是，，因而.为了把指数的指数写成的形式，还需取6为模来计算.为此我们有，进而有，，依次类推，有所以从而，这样，星期一后的第天将是星期五.6、数100！的十进位制表示中，未尾连续地有多少位全是零？解：命题等价于100！最多可以被10的多少次方整除。因为,因而100！中2的指数大于5的指数，所以100！中5的指数就是所需求出的零的位数。由,即可知100！的未尾连续地有24位全是数码零。7、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

解：题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1＋45×2＋36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。8、有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？解：题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。9、解同余方程。解∵=1，∴有二个解因为p=137，故0<y≤34取q=3，则2为3一平方非剩余。解同余方程得，从不大于34的正整数中淘汰形如y=23t的数，即有下面1，3，4，6，7，9，10，12，13，15，16，18，19，21，22，24，25，27，28，30，31，33，34。再取q=5，2，3为g的平方非剩余的同余方程，解为,，再从前面的数中淘汰形如y=25t和y=5t，有下面1，3，4，6，9，13，16，18，19，21，24，28，31，33，34。又取q=7，3，5，6为g的三个平方非剩余的同余方程的淘汰y=47t,7t,6