华南农业大学数学建模复习ppt

数学建模成绩评定考试时间：5月25日（14周）星期五晚上7：30—9：30考试地点：4503考生需自备计算器（1）闭卷考试40%（2）个人小论文30%上交纸质版，截止时间18周末2012年6月22日。（3）实验报告+考勤30%数学建模课程设计（1学分实践课）成绩评定题目：分组，经过答辩的选题截止时间18周末2012年6月22日。上交纸质版，统一上交学委，或交到院楼7楼本人邮箱截止时间2012年6月22日。上交纸质版，第一章建立数学模型商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员.要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,…sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~过程的决策D~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,…sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律D={(u

,v)u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,,d11给出安全渡河方案d1d11允许状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律sk+1=sk+(-1)kdk

由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).模型构成第二章初等模型2.6交通流与道路通行能力现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象，在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长长的汽车队伍等待放行.背景和问题通过信号灯控制等管理手段提高道路通行能力，已经成为城市交通工程面临的重要课题之一.

介绍交通流的基本参数及它们之间的关系;

讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通行能力.

交通流的基本参数及其特性流量q~某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆/h)密度k~某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆/km)

速度v~某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h)

交通流~标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响.借用物理学概念,将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体,用流量、速度、密度3个参数描述其基本特性.3个参数之间的基本关系交通流的基本参数及其特性速度v与密度k的关系

线性模型vf~畅行车速(k=0时)kj~阻塞密度(v=0时)适合车流密度适中的情况对数模型车流密度较大时适用指数模型车流密度较小时适用v1~k=kj/e时的车速(理论上),由观测数据确定.

车流密度加大司机被迫减速交通流的基本参数及其特性速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度k流量qkm=kj/2~最大流量时的密度vm=vf/2~最大流量时的速度城市干道的通行能力道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数.交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，出现交通拥堵.饱和度~流量与通行能力的比值,表示道路的负荷程度.城市干道的通行能力~在理想的道路和交通条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数N(辆/h).城市干道的通行能力v~车速

(km/h)，d~最小车头间隔(m)

d主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关.d1~刹车时司机在反应时间t0

内汽车行驶的距离.

d2~刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离.c~与路面阻力、车重、湿度、坡度等有关的系数.d3~两车之间的安全距离，d4~车辆的标准长度.

单位时间内通过的最大车辆数N城市干道的通行能力v102030405060708090100N95812081233117310901006928858797742交通工程的专业教材:司机刹车的反应时间t0=1s，系数c=0.01,安全距离d3=2m，小型车辆的标准长度d4=5m.

当t0，c，d3，d4变大时最大通行能力Nm减小.

最大通行能力最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动.常数制动距离与车速的模型制动距离：制动器作用力、车重、车速、道路、气候…设计制动器的合理原则：刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比.Fd2=mv2/2F

m模型假设信号灯控制的十字路口的通行能力西东南北相位A相位B相位C相位D信号灯控制采用4相位方案典型的十字路口东西方向有3条车道：左转、直行、直右混行南北方向有2条车道：左转、直右混行某一相位下每小时通过停止线的最大车辆数(单行道)S(辆/h)信号灯控制的十字路口的通行能力假设红灯时车辆在停止线后排成一列等待，绿灯后第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时间间隔通过停止线.T(s)~信号灯周期，tg(s)~某相位的绿灯时间t0(s)~绿灯后第1辆车通过停止线的时间ts(s)~直行或右转车辆通过停止线的时间φ~反映车辆通过路口不均匀性的折减系数.信号灯控制的十字路口的通行能力t0=2.3s，ts=2.5s(小型车辆)~3.5s(大型车辆)，对直行或右转φ=0.9(左转更小)G=tg/T~绿灯时间与信号灯周期之比(绿信比)

Q=3600/ts~小时流量(按每ts(s)通过一辆车计算)每小时通过停止线的最大车辆数实地调查高峰时段4个相位通行的实际流量qA,qB,qC,qD

调整4个相位的绿信比,使GA:GB:GC:GDqA:qB:qC:qD

第三章简单的优化模型3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg.问题市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售?如果估计和预测有误差，对结果有何影响?分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元.建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1=pw-4t敏感性分析研究r,g微小变化时对模型结果的影响.估计r=2，g=0.1设g=0.1不变t对r的（相对）敏感度生猪每天增加的体重r变大1%，出售时间推迟3%.rt敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g微小变化时对模型结果的影响.设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格每天的降低g增加1%，出售时间提前3%.gt强健性分析保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售.由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算.研究r,g不是常数时对模型结果的影响.w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）每天收入的增值每天投入的资金利润第四章数学规划模型

分派问题4.4接力队选拔和选课策略若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同,完成每项任务取得的效益或需要的资源不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少?若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出抉择，使得收益最大或成本最小?讨论:丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成绩进步到57”5,组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成4100米混合泳接力队?例1混合泳接力队的选拔

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”45名候选人的百米成绩穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种.目标函数若选择队员i参加泳姿j的比赛，记xij=1,否则记xij=0

0-1规划模型

cij(秒)~队员i第j种泳姿的百米成绩约束条件每人最多入选泳姿之一

ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每种泳姿有且只有1人混合泳接力队的选拔指派(Assignment)问题：有若干项任务,

每项任务必有且只能有一人承担，每人只能承担一项，不同人员承担不同任务的效益(或成本)不同，怎样分派各项任务使总效益最大(或总成本最小)?人员数量与任务数量相等人员数量大于任务数量(本例)人员数量小于任务数量

?建立0-1规划模型是常用方法第五章微分方程模型背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长5.6人口预测和控制做出较准确的预报建立人口数学模型指数增长模型——马尔萨斯1798年提出常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长.与常用公式的一致rtextx0)(=?指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.

可用于短期人口增长预测.

不符合19世纪后多数地区人口增长规律.

不能预测较长期的人口增长过程.19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型——逻辑斯蒂(Logistic)模型人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx0xmxm/2tx0x增加先快后慢xmx0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)指数增长模型Logistic模型的应用经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量).种群数量模型(鱼塘中的鱼群,森林中的树木).S形曲线考虑年龄结构和生育模式的人口模型年龄分布对于人口预测的重要性.

只考虑自然出生与死亡，不计迁移.人口发展方程F(r,t)~人口分布函数(年龄<r的人口)p(r,t)~人口密度函数N(t)~人口总数rm()~最高年龄人口发展方程一阶偏微分方程人口发展方程0tr定解条件已知函数(人口调查)生育率(控制手段)生育率f(t)

的分解~总和生育率h~生育模式0人口控制系统~总和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反馈系统

滞后作用很大输入输入输出反馈人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制(t)不过高第六章代数方程与差分方程模型6.3原子弹爆炸的能量估计1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界!当时资料是保密的,无法准确估计爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带,利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2千吨.后来公布爆炸实际释放的能量21千吨t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：时刻t

所对应的“蘑菇云”的半径r原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远.冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来.泰勒用量纲分析方法建立数学模型,辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲

L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=LMT-2引力常数k的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)量纲齐次原则=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系.量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动lmgm求摆动周期t的表达式设物理量t,m,l,g之间有关系式1,2,3为待定系数，为无量纲量(1)的量纲表达式与对比对x,y,z的两组量测值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式?设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为量纲齐次原则单摆运动单摆运动中t,m,l,g的一般表达式y1~y4为待定常数,为无量纲量基本解设f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0与

f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定.Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn

是基本量纲,nm,q1,q2,qm

的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r个基本解，记作为m-r个相互独立的无量纲量,且则记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.时刻t球的半径为rt,E空气密度ρ,大气压强P基本量纲：L,M,T

原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模

r与哪些因素有关？

rt

E

ρ

P

LMT量纲矩阵

y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模

有2个基本解两个无量纲量原子弹爆炸能量估计的数值计算时间t非常短能量E非常大泰勒根据一些小型爆炸试验的数据建议用r,t

的实际数据做平均空气密度=1.25(kg/m3)1千吨(TNT能量)=4.184*1012焦尔

E=19.7957(千吨)E=8.2825×1013(焦耳)实际值21千吨泰勒的计算tr最小二乘法拟合r=atbE=8.0276×1013

(焦耳)即19.2千吨取y平均值得c=6.9038模型检验b=0.4058~2/5量纲分析法的评注

物理量的选取

基本量纲的选取

基本解的构造

结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数n;选哪些基本量纲.有目的地构造Ay=0的基本解.

方法的普适性函数F和无量纲量未定.不需要特定的专业知识.解：第七章稳定性模型一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点记系数矩阵特征方程特征根线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点P0(0,0)微分方程一般解形式平衡点P0(0,0)稳定平衡点P0(0,0)不稳定1,2为负数或有负实部p>0且q>0p<0或q<0(二阶)非线性(自治)方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点判断P0(x10,x20)稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程平衡点P0稳定(对2,1)p>0且q>0平衡点P0不稳定(对2,1)p<0或q<0一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性自治(右端不含t)方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点.不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程7.3种群的相互竞争

一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食.

当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量.

建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件.经过自然界的长期演变，今天看到的只是结局.模型假设

有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律;

两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用.对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍.对甲增长的阻滞作用，乙大于甲.乙的竞争力强模型模型分析(平衡点及其稳定性)二阶非线性自治方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程的根.若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点.模型判断P0(x10,x20)稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程平衡点P0稳定(对(2),(1))p>0且q>0平衡点P0不稳定(对(2),(1))p<0或q<0仅当1,2<1或1,2>1时，P3才有意义.模型平衡点稳定性分析平衡点Pi稳定条件：p>0且q>0种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平衡点2>1,1>1,P1,P2是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3是两种群共存的平衡点1<1,2<1P1稳定的条件1<1?1<12<1稳定条件S1S2S3平衡点稳定性的相轨线分析从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是稳定平衡点(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x20=0=0P1P2有相轨线趋向P1有相轨线趋向P2P1稳定的条件：直接法2>1P1局部稳定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上与(4)相区别的1<1

P2稳定

P3稳定P1全局稳定P2局部稳定结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍.对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱.

P1稳定的条件：1<1,2>12>1甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝

P2稳定的条件：1>1,2<1

P3稳定的条件：1<1,2<1通常11/2，P3稳定条件不满足.7.4种群的相互依存种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生.受粉的植物与授粉的昆虫.以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存，而昆虫的授粉又可以提高植物的增长率.人类与人工饲养的牲畜.模型假设甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;

甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长.乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律).模型乙为甲提供食物是甲消耗的1倍甲为乙提供食物是乙消耗的2倍种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点不稳定稳定条件平衡点平衡点P2稳定性的相轨线0

1<1,2>1,12<1

P2稳定12<1~2>1前提下P2存在的必要条件.结果解释2>1~甲必须为乙提供足够的食物.1<1~为在2>1条件下12<1成立,1必须足够小——限制乙向甲提供食物，防止甲过分增长.

P2稳定(甲乙相互依存)条件：甲可以独自生存乙不能独立生存乙为甲提供食物是甲消耗的1倍.甲为乙提供食物是乙消耗的2倍.1<1,2>1,12<1甲乙两种群的相互依存还有其它形式种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.种群的相互依存7.5食饵-捕食者模型(种群的弱肉强食)

种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫.

模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？食饵(甲)数量x(t),

捕食者(乙)数量y(t)甲独立生存的增长率r乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比乙独立生存的死亡率d甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食饵能力b~食饵供养捕食者能力Volterra模型的平衡点及其稳定性平衡点稳定性分析P点稳定性不能用近似线性方程分析p=0,q>0P:临界状态q<0P´不稳定计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t),y(t)的周期约为9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用数值积分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25,y(t)的平均值约为10.食饵-捕食者模型(Volterra)消去dt用相轨线分析点稳定性c由初始条件确定取指数x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析点稳定性相轨线时无相轨线以下设y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为P点

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线P~中心x是(x1,x2)内任意点相轨线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数(周期记T)求x(t),y(t)在一周期的平均值轨线中心用相轨线分析点稳定性•T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位”领先y(t)模型解释初值相轨线的方向模型解释r~食饵增长率d~捕食者死亡率b~食饵供养捕食者能力捕食者数量食饵数量Pr/ad/ba~捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比,与a成反比食饵数量与d成正比,与b成反比模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-e1,dd+e1捕捞战时捕捞rr-e2,dd+e2,e2<e1•••xy食饵(鱼)减少，捕食者(鲨鱼)增加自然环境还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少.食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volterra模型改写多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点.加Logistic项有稳定平衡点

相轨线是封闭曲线，结构不稳定——一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状.

自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状.食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18相轨线趋向极限环结构稳定两种群模型的几种形式相互竞争相互依存弱肉强食解解第八章离散模型离散模型离散模型：代数方程与差分方程（第6章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、…

应用较广,是分析社会经济系统的有力工具.

只用到代数、集合及(少许)图论的知识.8.1层次分析模型背景

日常工作、生活中的决策问题.

涉及经济、社会等方面的因素.

作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化.

Saaty于20世纪70年代提出层次分析法

AHP(AnalyticHierarchyProcess)

AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳

将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，

各层元素间的关系用相连的直线表示.

通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重.将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重.层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果.层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地成对比较的不一致情况一致比较允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量不一致成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

A的任一列向量是对应于n的特征向量

A的归一化特征向量可作为权向量一致阵性质成对比较阵和权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A,建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即wAwl=2468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…9及其互反数1,1/2,,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…,1/9的重要性与上面相反

心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个.用1~3,1~5,…,1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优.

便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI.定义一致性比率CR=CI/RI当CR<0.1时通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验!组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通过一致性检验w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T组合权向量第1层O第2层C1,…,Cn第3层P1,…,Pm第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立.2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵.3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量.4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算

精确计算复杂且不必要.

简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均.和法——取列向量的算术平均列向量归一化算术平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010第十一章博弈模型11.5效益的合理分配例甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元.又知每人单干获利1元.问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)……(1)

Shapley合作对策[I,v]~n人合作对策，v~特征函数~n人从v(I)得到的分配，满足v(s)~子集s的获利公理化方法s~子集s中的元素数目，Si~包含i的所有子集~由s决定的“贡献”的权重Shapley值~i对合作s的“贡献”Shapley合作对策三人(I={1,2,3})经商中甲的分配x1的计算1/31/61/61/311213I17511011416471/312/37/3x1=13/3类似可得x2=23/6,x3=17/61223合作对策的应用污水处理费用的合理分担20km38km河流三城镇地理位置示意图123污水处理，排入河流.三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水由上游城镇送往下游城镇).Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L污水处理的5种方案1）单独建厂总投资2）1,2合作3）2,3合作4）1,3合作总投资总投资合作不会实现5）三城合作总投资D5最小,应联合建厂建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道费：d2=0.6650.5120=3023管道费：d3=0.66(5+3)0.5138=73D5城3建议：d1按5:3:5分担,d2,d3由城1,2担负城2建议：d3由城1,2按5:3分担,d2由城1担负城1计算：城3分担d15/13=174<C(3),

城2分担d13/13+d33/8

=132<C(2),城1分担d15/13+d35/8+d2

=250>C(1)不同意!D5如何分担？特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资~三城从节约投资v(I)中得到的分配Shapley合作对策计算城1从节约投资中得到的分配x111213I0400640002504003912