矩阵的初等变换与线性方程组的求解

矩阵的初等变换与线性方程组的求解－－高斯消去法

在本部分，我们将对中学所接触过的消元法求解线性方程组的过程用矩阵的初等变换来表示，并且对方程组的解的情况给出相应的判断标准。1.线性方程组的矩阵形式表示引入如下三个矩阵

利用矩阵的乘法,线性方程组可以写成如下的矩阵形式：AX=b定义

解向量与解集合

方程组的一组解称为方程组的一个解向量，所有解向量的全体构成的集合称为方程组的解集合(解集)定义

方程组相容

方程组有解，我们称这个方程组是相容的，否则，称之为不相容的。定义

增广矩阵定义齐次方程组

AX=0;定义非齐次方程组

AX=b,b0(b中至少有一分量不为零)2消元法与矩阵的初等变换对于如上所示的最一般形式的线性方程组：在初等数学中，常常用消元法求解。消元法的基本思想是通过消元变形把已知方程组化成容易求解的同解方程组。在解未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。问题方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？

例1解线性方程组解第一步使第一个方程中的系数为1．与第四个方程的位置，交换第一个方程可得

第二步

把第一个方程以下的各方程中的消去．第二个方程减去第一个方程,第三个方程减去第一个方程

，第四个方程减去第二个方程的２倍，可得

第三步

使第二方程中的系数为1．第二个方程加上第三方程后再乘以（－1），可得

第四步

把第二个方程以下的方程中的都消去．第三个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程的3倍，可得

第五步

把第三个方程以下的方程中的消去．第四个方程加上第三个方程，可得

(2.4)

第六步

用“回代”方法求解．经第五步后得到的方程组(2.4)与原方程组等价．由方程组(2.4)的第三个方程得，代入第二个方程得；再把代入第一个方程可得．于是，方程组的解为

.类似上面形式的方程组称为阶梯形方程组．一般地，一个阶梯形线性方程组应该满足如下两个条件：

（1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零；

（2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为零，设第一个系数不为零的项是第项，那么此方程下方的所有方程（如果存在）的前项的系数全为零．例如线性方程组

与

上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了下列三种变换：（1）交换两个方程的位置；

（2）

以非零数k乘一个方程；（3）

把某一个方程的k倍加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．

任意线性方程组若干次初等变换阶梯方程组Gauss消元法：原方程组阶梯方程组回代得解

在例1的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未知量并未参与运算．因而对方程组施行的初等变换可以用相应的矩阵的变换来表示．

回顾前面的方程组

三、利用矩阵初等行变换解线性方程组原方程组增广矩阵使第一个方程中的系数为1．与第四个方程的位置交换第一个方程使第一行第一个元素为1，交换的第一行与第行的位置

第一步

把(1)以下的各方程中的消去．(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)

第二步在中，第二行减去第一行，第三行减去第一行，第四行减去第一行的2倍

使第二方程中的系数为1．第二个方程加上第三方程后再乘（－1）第三步在中，使第二行第一元素为1，第二行加上第三行后再乘以（）

把第二个方程以下的方程中的都消去．第三个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程的3倍

第四步在中，第三行加上第二行的4倍，第四行减去第二行的3倍

把第三个方程以下的方程中的消去．第四个方程加上第三个方程

在中，第四行加上第三行

第五步

第六步

用“回代”方法求解．阶梯形方程组行阶梯形矩阵（1）如果某一行元素全为零，那么它下方的所有行（如果存在)元素也全为零；（2）某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位于第列，那么它下方的所有行（如果存在）的前个元素全为零．行阶梯形矩阵一般地，一个行阶梯形矩阵应该满足以下两个条件：称为拳矩阵妥的初歌等行抚变换(1录)交换集两行搂的位或置(交换洒第两行,记作)(2健)以非你零数乘某藏一行翅（以乘第行,记作）;(3奋)把某命一行慌的倍加它到另净一行糟上（关把第行的倍加聚到第行上烧，记贵作）例如壤矩阵与都是仪行阶共梯形厌矩阵失．不是糖行阶转梯形析矩阵氏．总结酬上述雹的矩帜阵变丘换过肆程，吴有以副下三灿种变垫换：利用售矩阵侮的初料等行叮变换半解线倡性方幼程组馋的一特般方贝法．原方棕程组增广日矩阵对应投方程栋组行阶嘴梯矩吩阵回代忽求解任何烤线性着方程滔组都挖可通邮过方肾程初岂等变忙换化省为阶右梯方吹程组任何百矩阵防都可仔以通劲过矩酸阵初旧等变扯换化蹄为阶四梯形扯矩阵所以币：线性辜方程水组可存以通尚过其暂对应赛的增完广矩蠢阵来震解例2解线订性方剑程组．解对方军程组宋的增赵广矩膨阵纯依次队施行第下列群初等那行变轧换，作使它化为取行阶妥梯形比矩阵橡．．这个随矩阵史的最货后一涨行除交最后贯一个列元素仙不为府零外停其余笛元素都为稍零，丛它对霜应一叨个矛拜盾方急程原方怖程组脚无解例3解方宗程组解对方崭程组燃的增暮广矩大阵依次厉施行驾下列室初等稳行变颤换，盈使它化考为行卷阶梯估形矩蝇阵已是称行阶垦梯形慈矩阵从最富后一场个方蔬程可太得其中可取咳任意姑实数基．代入融第二开个方衬程，耀得到．再把代入群第一终个方温程，湖得到最后彩一个能矩阵它对喇应的采方程便组是把令，得近方程驳组的在解为方程带组有无穷貌多个耳解．例4解线沉性方夕程组．解对方亮程组星的增百广矩斧阵依次拆施行吴以下摸初等忆行变既换，歪使它化碌为行洪阶梯剩形矩妈阵．它对糊应的义方程睛组是,用回达代方警法得插原方警程组者的解．方程岔组有胞唯一沙解最后舌一个抖矩阵是行蛋阶梯鼻形矩订阵方程自组解援的三靠种情视况:无掉解无穷误多解唯一敞解出现了矛盾方程方程个数比未知数的个数少方程个数和未知数的个数一样多非零行个数比未知数个数少非零行个数和未知数个数一样多生活阿中应仙保持鹊一份边幽默傅感生活孤中应成保持脂一份绢幽默驱感生活促中应迫保持扮一份台幽默腊感一般眉线性肾方程许组的贸解也哈有：无解脾，无庸穷多戒解，开唯一赔解三种伤不同臂情况驱．．(2杏.5闹)对它婚的增蒙广矩雹阵施旋行若撕干次贺初等施行变吃换，影使它排化为母行阶拖梯形宪矩阵(2志.6往)设线威性方炸程组如何愁判断膝呢？其中根据罗方程梢求解饰的方描法可偷得情形1若可得缩慧到矛谷盾方肉程方程温无解方程挣有唯鄙一解若情形2非零行个数等于未知数个数且情形3若非零椒行个争数小石于未当知数某个数方程筹有无略穷解且无穷客解的它情形的，我凝们作骡一讨民论阶梯乓矩阵若且对应求的方躁程组行为未知量任取一组值，例如可得未知量确定的一组值于是为方谁程组依的一含个解庆．由未知量取值夺的任谣意性奴，线严性方苦程组未知量可以自由取值，所以退称为自由皱未知邮量的取食值．有无臂穷多牺个解兽．的值依赖于未知量自由器未知谣量的颂个数磨为未知量的个数非零行的个数总是罩它的技解（杠称为蜜方程膛组的零解）由于故齐霉次线仰性方惕程组嗓总是悟相容聋的根据优前面灯的讨矩论，扒对于壁齐次盖线性锹方程救组解待的情染况可袄得如饿下定调理对齐镇次方叶程组定理对齐览次线裕性方旬程组窄的系凯数矩忠阵施垄行有咱限次覆初等恼行变江换，耽使它秘化为栏行阶况梯形背矩阵系．那告么只有零解非零行的行数等于方程组未知量的个数；(2)

有非零解非零行的行数小于未知量的个数．从而划原方撑程与贫下列竹方程哄组同吃解为阶马梯形发矩阵解得方程司最后第求解盼回代而的过晶程可捕以通冬过如蜻下的排方法价来实如现：看前皇面的腥例题对最朱后的触行阶御梯矩恋阵继狐续进滋行矩摆阵的迈初等聪变换于是贵，由舌最后一个颂矩阵蜘直接写出铺原方毙程组的解．行最勤简矩央阵（1）非日零行个（元哲素不钳全为年零的贵行）斯的第绵一非抱零元廊素都傍是1；（2）非昼零行撇的第许一个享非零障元素峡所在材列的辜其余焰元素陶全为庄零．一般旷地，受一个行最屈简形谊矩阵是满阴足下驾列两帖个条托件的槽行阶哪梯形字矩阵踢：这个马方法宿称为轮线性秆方程咬组的钞高斯妥一若立当（Ga斜us摊s历--炊Jo绿rd哗an）消元叮法，它珠是一毯种改森进了错的高践斯消续元法．任意迁矩阵行阶野梯形逮矩阵从左洁至右些，从篮上至捕下从右抽至左在，从徐下至着上行最涝简形层矩阵解线降性方哥程组广的最南终一丹般步漫骤原方漏程组增广挨矩阵判断瞒解的庆情况行阶尽梯矩孝阵化最赢简形停止有解无解例5解线笋性方睛程组解享对增范广矩隐阵B施行满初等笛行变太换，赖使它肚化为做行阶痛梯形派矩阵易．最后纲一个亦矩阵骑为行阴最简惊形矩己阵，孤由此熔可以通直接盾写出劫原方程乏组的叠唯一虑的解

最后一个矩阵为行阶梯形矩阵，无矛盾方程，且非零行的个数和未知数的个数一样多，故原方程组有唯一的解．继续对施行下列初等行变换，使它化为行最简形矩阵．

．例7解齐占次线封性方衫程组解贺对响方程忧组的者系数胃矩阵或依杰次作夫下列减初等蹄行变秧换，讯使它化得为行窃最简墨形矩惠