实际问题与一元二次方程的实际运用

教学目标：1、会列一元二次方程解应用题;2、进一步掌握解应用题的步骤和关键;3、通过一题多解使学生体会列方程的实质，培养灵活处理问题的能力.重点：列方程解应用题.难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中 间量（简称关系式）；会根据所设的不 同意义的未知数，列出相应的方程。一、复习列方程解应用题的一般步骤？第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+a(1+10%)X10%=a（1+10%）2a（1+10%）例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x)2增长21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a分析：a(1+x)2=1.21a(1+x)2=1.211+x=1.1x=0.1解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x)2=a+21%a答:平均每年增长的百分率为10%．练习1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得

解这个方程，得

答：每次降价的百分率为29.3%.练习2:某药品两次升价，零售价升为原来的1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解，设原价为元，每次升价的百分率为，根据题意，得

解这个方程，得

由于升价的百分率不可能是负数，所以不合题意，舍去答：每次升价的百分率为9.5%.

练习4.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.一元二次方程及应用题1、直角三角形问题：（勾股定理）2、体积不变性问题：3、数字问题：4、互赠礼物问题：5、增长率问题：典型练习题1、一个两位数个位数字比十位数字大1，个位数字与十位数字对调后所得的两位数比原数大9，求：这个两位数2、一件商品原价200元经过两次降价后162元，求：平均降价的百分比3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人数4、某校进行乒乓球单循环比赛，共比赛55场，问：共有多少名同学参加5、一名同学进行登山训练，上山速度为2千米/小时，下山速度为6千米/小时，求：往返一次的平均速度实际问题与一元二次方程（二）面积问题有关面积问题：常见的图形有下列几种：例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.整理后，得x2-11x+30=0解这个方程，得x1=5,x2=6(与题设不符，舍去)答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。由x1=5得由x2=6，得解：设这个矩形的长为xcm，则宽为（cm）.根据题意，得例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？32m20m则横向的路面面积为

，32m20mx米分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、如图，设道路的宽为x米，32x米2纵向的路面面积为

。20x米2注意：这两个面积的重叠部分是x2米2所列的方程是不是？图中的道路面积不是米2，而是从其中减去重叠部分，即应是米2所以正确的方程是：化简得，其中氏的x=槐50超出督了原干矩形魔的长锯和宽裙，应寸舍去.取x=魔2时，该道路膨总面于积为变：=100(米2)耕地面积==540（米2）答：派所求倡道路院的宽兄为2米。解法曲二：我们胖利用“图而形经壤过移倒动，然它的浸面积律大小病不会拘改变磁”的道导理，寄把纵更、横档两条米路移果动一例下，齿使列属方程录容易瞧些（赤目的丈是求难出路坦面的舌宽，搁至于据实际佳施工闷，仍渗可按造原图纽奉的位怜置修裤路）横向核路面落为，32m20mxmxm如图异，设朽路宽沾为x米，32词x米2纵向图路面走面积痒为。20豆x米2耕地闹矩形益的长稀（横愁向）誓为，耕地割矩形摘的宽贤（纵挨向）禾为。相等马关系档是：纸耕地问长×耕地库宽=5哄40米2(2每0-津x)米（32者-x辆)米即化简得：再往掘下的匆计算今、格睛式书伐写与泰解法1相同沫。练习1：用窗一根先长22厘米垃的铁腐丝，培能否祖折成筹一个鸽面积烦是30厘米碗的矩盘形？茅能否站折成澡一个缴面积复为32厘米速的矩袜形？歇说明俭理由骨。2：在餐一块蒸长80米，川宽60米的肃运动懒场外保围修跃筑了钟一条鸡宽度夫相等弊的跑送道，徐这条练跑道乌的面归积是15岁00平方桂米，液求这补条跑汤道的竖宽度贫。3.如图豆，在肝长为40米，击宽为22米的府矩形涨地面撞上，学修筑纲两条辱同样伙宽的食互相逗垂直匀的道塞路，瞎余下吼的铺楼上草卵坪，鸦要使唉草坪品的面抗积为76之0平方辞米，海道路鼓的宽腔应为秩多少亦？40米22米4、如圈图，仁在宽蜡为20闹m，长为32树m的矩御形耕垒地上剑，修都筑同寇样宽再的三追条道迫路，将（两凭条纵拦向，余一条戏横向偶，横被向与齿纵向涛相互毙垂直竟），败把耕巾地分镇成大年小相垂等的拌六块留试验剃地，巧要使宏试验践地面煌积为57滩0m²，问道蠢路的毯宽为咽多少缩慧？例3、求涝截去童的正律方形谋的边势长用一春块长28饭cm、宽20和cm的长抢方形驶纸片弱，要糕在它草的四妨角截触去四叔个相妹等的歌小正奥方形舒，折衰成一寇个无着盖的躲长方拍体盒腐子，差使它垮的底桶面积呜为18劣0c视m２，为够了有追效地困利用粥材料辞，求遵截去速的小沈正方纠形的哭边长探是多促少cm？求截殊去的仓正方令形的贯边长分析设截写去的款正方盛形的膨边长腐为xc贝m之后或，关端键在坚于列参出底唉面（与图中宿阴影拉部分飘）长厅和宽环的代屿数式爬．结锤合图湖示和员原有敞长方爪形的邀长和盼宽，流不难倘得出负这一悔代数帝式．20-2x28-2x２８cm20cm求截焰去的凳正方时形边华长解：辜设截叠去的占正方什形的哪边长丢为xc系m，根田据题签意，茧得(2鉴8-辰2x削)(煤20情-2甘x)尚=1勒80x2-2裁4x乘+9螺5=辆0解这惯个方源程，讲得：x1=5发,x2=1桑9经检而验：x2＝19不合捞题意叔，舍絮去．所以伸截去牙的正栗方形宴边长垫为５cm兔.例4:建造锯一个吼池底处为正驳方形,深度迎为2.矛5m的长对方体批无盖逃蓄水豪池,建造守池壁焦的单劣价是12付0元/m2,建造距池底券的单预价是24题0元/m2,总造炉价是86遇40元,求池讯底的雕边长.分析:池底舞的造价+池壁残的造价=总造箱价解:设池底毙的边封长是xm.根据村题意勇得:解方程全得:∵池歉底的妹边长堂不能或为负奇数,∴取x=线4答:池底聋的边精长是4m歌.练习蜓、建造已成一桂个长链方体廉形的淹水池拉，原陆计划猜水池带深3米，涛水池壮周围恰为14量00米，弄经过胀研讨踩，修恶改原蹦方案狐，要伪把长遭与宽狡两边佩都增夜加原博方案宁中的盯宽的2倍，羊于是屿新方裳案的篮水池阳容积销为27帝0万米3，求他原来牛方案侍的水仔池的钩长与威宽各刊是多使少米猾？700--xx3700-x+2xx+2xx原方案新方案课堂乒练习:列方粱程解屈下列橡应用按题1、学犯生会仿准备清举办飘一次述摄影涛展览已，在陡每张粪长和简宽分削别为18厘米伐和12厘米剪的长捕方形签相片亲周围熄镶嵌宏上一尸圈等书宽的饱彩纸播。经省试验枯，彩寺纸面妄积为洞相片匹面积话的2/恼3时较剥美观阀，求屈镶上依彩纸讲条的摆宽。轧（精揪确到0.纲1厘米巾）2、在饱宽20米，华长32米的毕矩形拒地面贝上修刻筑同录样宽篮的四携条互纵相垂芹直的羞“井沉”字槐形道核路（记如图页），宗余下缝的部布分做声绿地接，要掀使绿虚地面母积为44羡8平方美米之，路阅宽为虾多少？

32203、小激明把段一张窜边长章为10厘米砖的正牲方形晃硬纸砍板的稀四周绳各剪克去一输个同科样大宜小的姨正方逃形，参再折蒜合成策一个握无盖登的长稻方体捆盒子位。如椅果要姥求长蛙方体绢的底娘面面省积为81平方谋厘米恐，那英么剪平去的粮正方哨形边盛长为李多少?4、学校隆课外弦生物锦（小廉组的唤试验浇园地今是一即块长35米、隙宽20米的瓶矩形鸣，为事便于终管理窗，现钩要在叉中间寸开辟庆一横历两纵折三条钓等宽竞的小昆路（厨如图协），粱要使艇种植脚面积骗为60湿0平方性米，歼求小腊道的娱宽。难（精按确到0.销1米）5、在长固方形唱钢片演上冲旋去一廉个长育方形崇，制伤成一等个四钩周宽世相等被的长卫方形掉框。裹已知王长方胞形钢催片的腐长为30黑cm，宽为20阻cm厉,要使涨制成偶的长偶方形猾框的竟面积慨为40逐0c能m2，求这柔个长货方形脑框的饱框边底宽。XX30cm20cm解:设长判方形然框的叛边宽雨为xc该m,依题驻意,得30×20婆–(辣30芒–2需x)付(2愚0–植2x船)=驼40执0整理驱得x2–25沙+1乓00氧=0得x1=2阻0,燃x2=5当=2拢0时,2挖0-暑2x奖=复-2箭0(舍去);当x=慕5时,2漫0-顶2x货=1茫0答:这个绪长方永形框吵的框蚀边宽留为5c坏m列一窗元二讽次方奴程解时应题6、放铅醒笔的V形槽肠如图汉，每面往上绢一层位可以瞒多放一骨支铅雁笔．翼现有19梯0支铅宾笔，谣则要往放几栗层?解:要放x层,则每闭一层心放(1焰+x腔)支铅笔.得x毙(1毫+x附)迁=1膀90尼×2X＋X－380＝0解得X1＝19，X2＝－20(不合题意)答:要放19层.2列一墙元二纤次方桥程解在应题补充练习秋：（98年北搁京市借崇文江区中巷考题里）如球图，肿有一芳面积是15最0平方羽米的鹊长方慢形鸡额场，鞠鸡场颠的一荣边靠江墙（墙吵长18米）纽奉，墙鹿对面任有一厚个2米宽依的门灿，另骡三边（门集除外绒）用单竹篱咱笆围歼成，捧篱笆肾总长33米．业求鸡场的硬长和古宽各柴多少帆米？通过松这节挤课的冒学习:我学乱会了……使我俭感触便最深障的是……我发疾现生哀活中……我还地感到挤疑惑约的是……实际窃问题服与一氏元二明次方栋程（稠三）质点墨运动膨问题有关扣“动点”的运爹动问慢题”1)关键——以静新代动把动棕的点族进行垮转换,变为袭线段糖的长楼度,2)方法——时间族变路农程求“动点拴的运赛动时之间”可以阁转化歉为求“动点筹的运走动路启程”，也乌是求逮线段及的长矩度;由此,学会醉把动放点的缺问题拒转化肯为静途点的肺问题,是解栽这类梦问题穴的关汁键.3）常找狸的数量据关系——面积氧，勾廊股定形理等想；例1在矩隶形AB腰CD中,A例B=糖6c河m,主BC巡寿=1料2c翅m,点P从点A开始弓以1c赢m/映s的速叉度沿AB边向紧点B移动,点Q从点B开始配以2c摇m/某s的速声度沿BC边向片点C移动,如果P、Q分别游从A、B同时撇出发桌，几存秒后⊿PB遣Q的面灭积等劣于8c猾m2？解：设x秒后⊿PBQ的面积等于8cm2根据题意，得整理，得解这个方程，得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面积等于8cm2例2：等银腰直奶角⊿AB东C中,A拾B=绿BC吵=8吼cm秆,动点P从A点出泥发,沿AB向B移动,通过吹点P引平念行于BC痛,A长C的直品线与AC案,B泥C分别辜交于R、Q.当AP等于叠多少倾厘米亭时,平行装四边写形PQ穿CR的面尘积等到于16趋cm2?例3：⊿AB协C中,A称B=耕3,贝∠勾B醉AC展=4驰5°热,C晃D⊥拘A连B,垂足蚊为D,沫CD肿=2浸,P是AB上的恶一动蛇点(不与A,喜B重合),且AP而=x旺,过点P作直崭线l与AB垂直.i)设⊿AB翼C位于工直线l左侧罪部分临的面忌积为S,写出S与x之间基的函买数关杀系式;ii孕)当x为何井值时,直线l平分⊿AB显C的面射积?例4：客软轮沿耕折线A-息B-反C从A出发两经B再到C匀速把航行,货轮闻从AC的中狭点D出发换沿某庙一方伙向匀恼速直给线航王