山东女子学院讲座

问题驱动的数学建模方法刘保东山东大学baodong@城市表层土壤重金属污染分析

2011CUMCM---A题【研究背景】城市发展,人口增加,环境恶化；【研究对象】城市土壤表层土,8种重金属元素；【研究目的】应用获得的海量数据资料,开展城市环境质量评价,研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式；【数据条件】

特定城市(青岛)的城区,

分为5个功能区：生活区(1类区)、工业区(2类区)、山区(3类区)、主干道路区(4类区)及公园绿地区(5类区)

项目：采样点的位置、海拔高度及其所属功能区,

每个样本所含的8种重金属元素的浓度,背景值采样方式：城区：划分为间距1公里左右的网格子区域,

按照每平方公里1个采样点,GPS定位；背景值：远离城区的自然区，2㎞间距取样

【建模要求】给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度.通过数据分析，说明重金属污染的主要原因分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型，确定污染源的位置分析你所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？问题分析-----问题一空间分布：即要回答平面上任一点(x,y)处，污染物浓度的估计值c(x,y),

已知条件是给定空间部分观测点(xi,yj)的观测值cij=c(xi,yj)

数据特点：空间散乱数据建模问题建模方法启示:

空间散乱数据的二维插值;

结果最佳表现形式:二维等值线分布图或三维曲面图.污染程度评价:

1数据特点：5个不同区域、8种元素、319个监测点------综合评价

2评价标准确定、评价方法

3污染程度等级划分,建模启示：综合评价问题.【污染原因】确定各功能区的主要污染是哪类污染造成的：生活、交通、工业,

污染方式是点源、面源、线源？【数据分析】：结合地形地貌、主要污染分布空间分布调查数据：各类污染源的主要特征污染物【建模方法】分区域对8类进行相关性分析或聚类分析,找出相关性强的污染物,结合污染源特征污染物判断是哪类污染,再结合地形地貌特征、功能区地理位置特征判断造成污染的途径,以及高浓度区域的源、汇特征.问题分析---问题二

问题分析---问题三【传播机理观察】

首先观察污染物空间分布图，并对照地形地貌图，结合污染物迁移转化基本机理，可以认为研究区的重金属传播符合对流—扩散特征，即由地形位势差引起的对流迁移和浓度梯度差引起的扩散迁移。【建模启示】

耦合插值方法，分别建立基于观测浓度和地形数据的插值曲面函数，找出传播的特征线，通过求导或局部加密计算，即可求出污染源所在点的坐标值及海拔高度。通过建立对流-弥撒模型，得到了对流为主的正态分布模型与扩散为主的均匀分布模型，利用插值数据对模型参数进行最小二乘拟合识别，最终得到污染源位置

问题分析----问题四本问题只给出一个时间点上的数据，信息量明显不足，需要补充更多的信息。重金属污染是长期沉积的结果，应根据局部对流扩散的机理，考虑长期数据观测，多年、多点的采样信息，从而修正模型参数，进而给出更精确的传播机理模型问题假设各个采样点属于单一功能区各区域土壤中重金属的背景值相同，不考虑区域功能差异和地形差异假设当浓度值大于背景值的上限时，即认为被污染重金属污染现状是长期累积形成的，非瞬时污染所致.污染源的位置位于浓度最高的点附近.模型建立----问题一空间分布：二维插值难点：散乱数据(网格不完善),需特别处理。可选方法：“反距离加权平均”方法，即所谓的“Shepard”插值方法；

Kriging方法；其他样条插值方法等要求：浓度等值线图应包含功能区和地形高度信息。PbAs【污染程度评价】-----分区域评价评价因子：8个重金属评价标准：土壤背景值(区间)，可用上限值作为阈值单因素评价方法：单因子指数法综合评价：每个点（多个因素）综合评价；区域所有点综合评价；评价方法：内梅罗指数，地质累计指数法(Muller),污染负荷指数法，模糊综合评价方法等污染程度评价：污染等级划分，评价，排序模型建立---问题二数据分析：分功能区对8种元素作多元相关分析，找出相关性强的因素组合调查各类污染源的特征污染物根据相关性判断污染是否来自同一源结合地形图，和各功能区主要超标位置确认污染源的性质，判断源、汇？模型建立---问题三【传播特征的确定】污染物扩散的基本特征是对流扩散首先确定各污染物高浓度大概位置(图形观察)

其次观察高浓度位置周围等值线分布特征以及地形地貌特征，判断流场(高度梯度场)

判断对流、对流扩散、扩散为主确定模型（对流扩散方程）模型求解：无法直接求解，可利用解析解形式，再利用插值数据拟合参数，最终确定源位置坐标；或者利用等高线分布，确定特征线，沿特征线反距离加权对流扩散模型把地形梯度作为流场

考虑瞬时单项流场的二维扩散问题模型问题分四(略)论文评阅倾中发部现的甲问题1问题挠理解典不透探彻，嗓背景去了解凝不够宵；2模型育化、懂定量职化不少够3传播另机理以没有炮理解4硬套MA水TL雕AB软件,不理岭解函国数的蛾适应准对象5论文写作艇混乱，逻听辑性校差6本题捕需要旧查阅话大量清文献扁资料街，文起献引窄用问角题突盯出.交巡也警服昆务平夜台的昨设置呀与调犁度20母11称CU下MC现M狗B题[研究钢背景]：“有困塑难找淋警察”，是苍家喻开户晓渐的一费句流忍行语碰。警能察肩驰负着刑事片执法郊、治混安管仓理、档交通季管理纪、服清务群拒众四大钻职能饶。为黄了更歪有效灭地贯匙彻实梅施这液些职很能，蹄需要爬在市汤区的徐一些霸交通俊要道衔和重侮要部盼位设置交巡湖警服务跨平台。每陕个交筝巡警赠服务补平台池的职能和警力员配备挥基本树相同。由少于警务隐资源牛是有基限的，如双何根饮据城读市的左实际败情况熄与需告求合狗理地设置时交巡风警服疲务平新台、猾分配樱各平遥台的取管辖叶范围话、调画度警中务资箱源是警饱务部卵门面约临的圾一个催实际称课题。【建模驶要求】试就过某市绞设置均交巡痰警服洁务平例台的泰相关衣情况茎，建哭立数印学模割型分陆析研嗓究下融面的暑问题庄：问蹄题一除：对附罩图1的中川心城姨区A的交辩通网彩络和炮现有女的20个交仁巡警备服务立平台飞的设凭置图浴，分配弯平台铸管辖渣范围，使酷出现贵突发烧事件于时，尽量校能在3分钟莲内有疲交巡扇警（警呢车的任时速打为60阀km纤/h）到绸达事职发地拥。对于柔重大贼突发普事件院，需亲要调度胜全区20个交走巡警鄙服务建平台住的警围力资田源，喉对进鼓出该卧区的13条交偶通要自道实腊现快速金全封猜锁。实朝际中一个必平台瓜的警兆力最草多封桐锁一呀个路独口，请法给出派该区翼交巡魔警服诱务平易台警防力合欣理的狠调度枯方案纱。根据币现有库交巡蹦警服标务平亚台的工作路量不禽均衡和有污些地摩方出警型时间坐过长的实苏际情滨况，含拟在坑该区简内再可增加2至5个平剂台，诵请确低定需盗要增康加平膝台的具体雄个数和位置流。问题叶二针对全市（主玻城六饶区A，B，C，D，E，F）的碗具体碰情况虑，按命照设薪置交逼巡警跃服务弓平台畅的原则和任务，分郊析研炕究该徒市现总有交识巡警肚服务环平台柜设置坚方案销（参蚁见附查件）化的合理废性。如牺果有刚明显不合漫理，请加给出解决娃方案。如果押该市地点P（第32个节爱点）盐处发亩生了就重大聋刑事号案件姻，在案发3分钟驳后接到航报警拴，犯扰罪嫌辨疑人煤已驾垒车逃皆跑。劣为了检快速淘搜捕豪嫌疑糊犯，映请给米出调度即全市交巡器警服驴务平遍台警驴力资锈源的最佳鼠围堵弱方案。已知求数据路口景节点矛坐标阵、所封属区与域、蒜发案菊次数道路愉网起签点、拜终点翻编号平台袋设置振编号疾，数细量出入明城区眉路口将编号各区糖域面络积、单人口炭数重大懒事件狠案发奶地P的路蒜口编评号问题买一建模仰目的双：目叶标--则-分配豪管辖如平台约束--储-尽量3分钟芒可达,就近捉原则本质烫：路仙口分旬配问彻题--射--父-0代-1规划目标童：最鸣长出晓警时绑间最皂小92个路灯口分宽配给20个平抱台约束携：每敏个路吼口只短分配雁给一燥个平踏台模型I数据荣前期浮处理路口冷节点以关联输矩阵相邻羡路口出的路蒙径长凶度平台垦节点楚与路盛口的随邻接迎矩阵任意奔节点挨到任践意平惧台的融最短沿路径塔及长迅度计算罢方法净：Di慨jk尚st情ra算法树搜幅索。以上颗过程雀全部幅要模征型化最大闹出警舞时间慢大于3分钟鸽的有6个路削口(2锡8、29、38、39、61、92)最长菠出警你时间疫约为5.妻7分钟模型野进一本步修压正考虑既分配童的合反理性北问题旨：挖工割作量块不均为衡问岗题出警暴时间侄过长掠问题模型特是否有可致改进之处怒？模型II进出致城区章要到扩路口伙快速谅全封枯锁问凝题:20个平头台，13个路饺口最优呼方案椅的最矛大封锁稻时间舱约为8分钟13个路挺口的闭快速村围堵联方案模型II嫁I平台努追加追问题些：应该胜在模祝型I的修他正模滴型基显础上铃，分连别考勺虑增构加2，3，4，5时的惠追加这平台糊位置燃，计统算追培加后板最长磁出警传时间言，平牺衡工井作量碰情况比较祥计算茅结果观，确务定最洽佳方防案.模型花略问题侮二按问宏题一穴的修叨正模疑型分刷配其极他5个区另域的妻管辖炮分配剩方案建立侨合理返性评网价指痰标：欢如最姻长出育警时农间、余工作蕉量、夕服务滩人口义密度胃等，链找出陶明显笑不合马理的着区域炊，考乘虑增巨加平凤台数块量和酷位置扁，以姓最终毁达到泽基本迫合理垮区友域封湖堵问滑题：成全局撞优化图中笑实线拾表示统市区墙道路黑；红劫色线朗表示值连接愧两个乏区之肆间的布道路丈；实词圆点贤“·”表示灿交叉润路口的节蝇点，件没有叉实圆设点的俯交叉毕线为霞道路上立体蝇相交煌；星桥号“熟*”器表示换出入绩城区汇的路必口节紧点；圆圈叮“○垫”表胞示现狗有交气巡警稳服务有平台枣的设的置点灿；圆准圈加树星号都“○繁*外”表茧示在拖出入箩城区抛的路口击处设婆置了茄交巡盒警服磨务平尘台；谦不同趁颜色丝式表示死不同叙的区思考该题冬目建记模思小想并寨不复娘杂，骆难度膊在于辟针对胃问题巷一的嫁分配动问题芳给出讯通用滨求解妇程序(关键)大部副分同把学模猪型形励成能溪力差吸，不犬能根立据需是要建巩立恰痰当的妖模型前期司数据遥处理浆是模轮型求忠解的荷基础短，大剑部分蚁同学型未给妖出数嘉学描活述，我数学民翻译荒能力舰欠缺求解正结果风要满种足实正际问歪题，吵全局准优化星不符恢合实品际结果爬表述玻混乱卸，反帐映了钓参赛压同学储的科道研素捉养不悉足顺利蠢编程厨求解骄是本遥题的先关键件，计爪算机融能力谈明显粉训练耗不足.二、燃数学泽建模侨与数梁学数学鸽不是扑无源思之水推，绝晌大部另分数奶学理兆论的粪诞生裂都是弯在具浑体的胞科学柿与工绒程实捡践中猫产生顺的。数学获建模求是数夜学学呢科诞胀生、浸发展浑的源洪泉典型麻事例挑：牛顿晴定律划：导饭数与肃微积仙分的曾发现支；七孔愉桥问恒题：羊图论斩；数学泻不是缓简单请的符毛号与幼数字冠游戏坟，任悉何数宪学理冒论都运有其速研究吩对象殊与研矛究目光的，舞本质奏上也锤是数辟学建罚模，稍数学舅建模烘是理侵解数眼学的签一扇圈窗口数学强建模深是数浇学与仅实际景问题竹解决惊的桥崇梁二、结数学制建模捕与数乎学正确粘理解芬数学欢建模所有弊数学汇模型斩都是节错的债，但繁绝大臂部分瓶是有世用的。数学定：描螺述对石象的味空间跃特性狡与数麻量特卖征数学偏建模从是功侦利性蚕的，先解决枯问题惰是其层唯一并的目扣的数学巨模型柿不是猪唯一像的正确荒理解娇数学数量嫁特征泥：确放定性男、不先确定宾性、杠模糊二、测数学植建模困与数顷学数学兴建模讨的地权位识文亡解字--洒--足--勉-文化冈素养算数--熔--笨--减--稠--陈--这-数学粪素养--糠--陈--晌--拌--默--挡--决-二者路构成大人类黎的基全本素苹养数学溪是所禁有科较学的冰基础敏与核跃心，裳数学交方法友与计成算机龟技术什的有辈效结讨合构禁成了贴现代犁数学蔽技术铜，数热学技欣术的喊成功镜运用席已成啦为几惜乎所矿有科芹学与推工程虑技术斥的关宇键技定术甚翁至为贯核心标技术陪。数诊学融钢入各爪学科书已成持为大奥势所凡趋数禽学实鸣验或金计算专机运苏用是猫利用婶数学葬建模连解决亚实际磁问题尊的助志推器弄。二、馋数学偿建模欢与数籍学为什枝么要民学习叉数学宫建模箩？有缠助于招理解休数学有归助于就推动裹创新奖型、漠交叉号型、斧研究苏应用移型人潜才的袍培养有鼓助于搂补充洽与完毫善现垮有大危学数教学教榨学体掩系有会助于米引导组数学休实验普能力亚与自屈主学稍习能醋力如何苦学习抹数学捏建模银：必焰要的坟培训老，自庭主研痒学、别训练“等奶芳吃的股孩子芽长不匙大，找奶娘吃的来孩子棉长得捐壮”三、碑竞赛断前期悉准备1、选天修或馒自学伍数学织建模斯课+暑期拨建模解培训2、熟潜练掌克握常补用数袍学软席件的克基本桥用法（Ma劳tl晒ab公,玻L栏in姥go暴,谁Sp阿ss宽/S体pl券us诵,E肝xc馆el）3、了拥解竞袜赛规彩则:竞赛他章程围，论催文写专作规冠范4、尽沿量多兴地模岁拟近益十年那数学真建模玻竞赛瞒题，吗以了葛解所葛涉及浸的建栗模方府法，辩竞赛筐技巧匆等5、即远要分兽工，屡又要店合作碑；赛轻前分骄头根刑据工妙作分框工各恐自准的备，循同时命又要偷让自底己在纳知识让、技进能方坐面尽葱可能徒全面四、芹竞赛丸期间株注意怀事项计算选机软杨件安改装、把网络叙调试间等应捉在竞预赛前准备占完毕;拿到秤题目谦后,应独伸立进泳行思屈考,然后虽三个迫队友交换妖意见,达成剥共识朝后确雷定参泰赛题金目.文献旬查阅妹要适扣度;竞赛鹿论文例应尽鱼早开盒始组爸织编依写,以免乒因时促间限制,造成鄙遗憾;所有四程序项、计勾算结种果、惯所编抵写的逗论文纠应注意随珍时做驶好备份,以免悟丢失;四、腰竞赛纺期间骗注意久事项题意税理解弊：细心--掀--瘦-注意附把握节关键男词，咳不放液过可饺能引叔导建模赤方向始与问工题目蓄的的姥一切确定证目标施要求--关--炕--往--细化芹与目仍标相填关的舍有关因素疏，建询立相翁关联胀系分清洲建模别的基课本要宴求、弯难点布或关佩键点难点蚂和关来键点参的解锤决--宿--怨--茎--创新院亮点四、栽竞赛摘期间偷注意辰事项建模躬方向顽把握怠：不断秤选择硬、辰不断翻论证狐、不惠断完牵善关键立点的顺逐步鼠清晰湿化现实图与理素想之助间的汁平衡械，简弹单与吩复杂抛之间亦的博败弈数学羽结构--悄--合-建模肢思路脸的顺添畅展弟开四、怠竞赛雹期间晒注意朝事项节奏君把握冒：注重嘴轻重芳缓急辣，分散清主朴次，渣逐次型进行先宏职观、搅再微土观：妈先主湿体，板后细徐节注重淘效率：确立忘分时吃段的绪进展筛目标占，合璃理分表工提倡冻讨论香，提阅高讨靠论的游有效仆率，避免返无意样义争疗论，详导致唱前功眯尽弃坟；四、痰竞赛夜期间译注意凡事项端正姜态度正停确对棋待，平和昨心态房诚，锻巧炼为泥主追求屑卓越,锲而继不舍冷静蔽思考盯，关饿注细粒节亮点篮与创们新点亮点掩可体芬现在稳建模抓各个纳环节败中好的id拳ea是产朝生亮羊点的资基础从实倡际出暴发是秃亮点垒的源餐泉五、CU轮MC否M论文饱评阅评阅雀标准蒸：假设叉的合技理性盗，建告模的旦创造却性，结果洗的正骨确性桐，表爹述的提清晰圈性合理壁性：关键唤假设--怨--馅-不欣缓赏罗串列大团量无著关紧塑要的端假设;要对徒假设柄的合券理性础进行艺解释绣或论龟证，恐假设尖是建被模的肆基础辣，正竟文中度要引圆用创造扒性：短特别赏欣赏好独树践一帜启、标钢新立波异，笛但要仰合理五、CU乎MC杯M论文抓评阅正确桌性：单不强榴调与“参考鹊答案”的一遵致性猫和结夺果的困精度劝；好方燃法的搬结果新一般瘦比较蚀好；群但不寨一定村是最素好的清晰喊性：做摘要拿应理弃解为莫详细录摘要教，提孤纲挈猾领表达谷严谨永、简限捷，互思路竞清新格式活符合勇规范台，严全禁暴裁露身职份五、睁竞赛默论文歼评阅评阅网方法谱：初评：随机戏、回面避、浆多人缸、打犁分、展差异据修正答辩：形式--悼--视频爱或面尽试专家覆组（2-忧3人）拴，同滤时打丙分目的叔：论坐文质猪量、集答辩掏水平抄、有愿无抄之袭或友指导炊教师朵参与挽的明狗显痕猪迹；最终签成绩币：初评锐成绩讯与答肾辩成轰绩加矿权求衫和获奖遇与答愈辩比疗例的园确定任：--伙--电--从论他文评读阅看亦学生藏参加贤竞赛阻中的语问题吃透重题意北方面游不足稿，没识有抓袄住和怖解决砌主要漏问题秩；就事短论事党，形捷成数湾学模仆型的掉意识缠和能将力欠矿缺；对所漆用方孕法一机知半叨解，侄不管畜具体锹条件压，套弓用现广成的返方法胀，导宰致错红误；对结伪果的铅分析唇不够币，怎昏样符冶合实麻际考置虑不蚂周；写作葬方面饰的问网题(摘要妄、简露明、割优缺遵点、未参考注文献);参考稍文献毒不全因，或腥引用恢他人廉结果饿不作盟交代;参考没文献押应在恼正文等中引巷用队员司之间缎合作样精神扑差，药孤军欺奋战论；依赖煮心理躲重，粗甚至冻违纪艺（指像导教座师、攀网爽络）五、C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