第九章微分方程初步

微分方程初步第九章

微分方程是数学的重要分支之一。大致和微积分同时产生，并随实际需要而发展。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求方程的解.方程的解就是方程中所含未知数的值.但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

第一节微分方程的基本概念定义1含有未知函数的导数(或微分),同时也可能含有自变量与未知函数本身的方程,叫做微分方程.在微分方程中,如果未知函数是一元函数,则称为常微分方程；如果未知函数是多元函数,则称为偏微分方程．（1)——(4)称为常微分方程；(5)——(6)称为偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数,叫做微分方程的阶.本章只研究常微分方程.——二阶——一阶——二阶n阶微分方程的一般形式注意:如都是n阶微分方程.n阶线性微分方程的一般形式对于任意常数C1,C2,微分方程的解如果将某个已知函数代入微分方程中,能使该方程成为恒等式,则称此函数为方程的解．容易验证，对于任意常数C，函数y=Cx为一阶方程的解；n阶方程的通解含有n个独立的任意常数的解,称为n阶微分方程的通解.方程的特解通解中确定了任意常数的解,称为方程的特解.定解条件为了确定微分方程的某个特解,先要求出其通解，然后为了确定其中任意常数而给出的条件称为定解条件.解微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线(称为微分方程的积分曲线族).而微分方程的某个特解的图形是积分曲线族中满足给定的初值条件的某一条特定的积分曲线.解例所求特解为第二贿节悄一或阶微率分方退程及购其解防法一、话一阶拳可分要离变浊量的技方程形如y=f(x)g(y)或的一阶微分方程,称为可分离变量方程.其中f(x),g(y)及M1(x),M2(y),N1(x)及N2(y)均为已知连续函数.先将胖方程添分离攀变量撤得下面代介绍焰其求螺解方贪法:两端端分别桂积分得通眼解其中G(y)和F(x)分别是和f(x)的一个原函数,C为任意常数.若存爱在y0使g(挖y0)=0,则y=膏y0也是水方程夜的一悔个解.因此,方程努除了攀通解脑之外,还可朝能有凝一些欲常数纯解．求方程的所有解．此外,还有摩解y=室0.无论C取怎晶样的袄常数.解y=脏0均不锣能由摄通解蛮表达峡式y=好(x串+C刑)2得出,即直称线y=赖0(x轴)虽然秤是原衔方程如的一盏条积扮分曲颗线,但它降并不圆属于否这方些程的夸通解奸所确蒜定的漂积分获曲线橡族y=贼(x塞+C吼)2(抛物戴线)内,称这胸样的该解为方程槐的奇访解．两边块积分喷得分离结变量尽得通解欺为解例1分离篮变量两端蔽积分解得解例2解例3分离变量,得代入初始条件,得C=0,故所求特解为所以练习解例4已知余某商微品的坊需求浪量x对价鉴格P的弹斯性e=米-3贞P3，而缓市场免对该猜商品寺的最船大需伯求量仔为1（万足件）抖，求阅需求第函数中。例5根据侧经验令知道蓄，某岛产品输的净隐利润y与广巡寿告支留出x之间券有如枣下关猴系：其中师，k，N都是耐大于趁零的垒常数员，且因广告滔支出醉为零鄙时，抄净利板润为y0，0<货y0<N，求形净利拜润函匀数y=y(属x).二、叫一阶蚂齐我次微墓分方黄程1.齐次犬微分吩方程形如的一阶微分方程,称为齐次微分方程,简称齐次方程.令：(或y=xu),其中u是新的未知函数.对y=ux两端线关于x求导,得下面抽介绍壮求解上方法:分离苍变量接并积训分得得齐框次方呢程的另通解原方蹄程化恒为求解到方程两边积分并还原为变量x,y,可得原方程的通解为代入页原方烂程并盒分离归变量相得解原方统程可球化为例1解例2微分胖方程液的通耗解为两端升积分搬得微分搏方程叮的通澡解为解例3练习解方趴程例4我们撤知道馒生产恩某产纪品的芹可变芒成本y是产开量x的函熔数y=y(扇x),现已腐知且固菊定成俯本C0=1，又聪当x=鼠1时，y=武3，求赢总成嚷本函该数y(痒x)。以x=胀1,筐y=萌3代入树通解聚，得又固幕定成秒本C0=1三、蝇一贪阶线肌性微戒分方熔程形如y+P(x)y=Q(x)的方领程叫生做一阶券线性钱微分留方程.其中P(x),Q(x)为x的已迷知连烘续函望数,Q(x)称为煎自由慨项．1.求齐嚷次方扔程河的通库解显然y=0是毙它的歌一个倚解.当y0时,分离秘变量俗得积分躁得此式岩可写房诚成故方程的通解为设方毯程y+P(x)y=Q(x)的通肌解为代入捷方程y+P(x)y=Q(x),得化简后,得2.求非盐齐次躁方程悟的营通解.积分后得方程张的通凭解为对应齐次方程通解非齐次方程特解注分析胁的眉通解早为什灾么是的形已式.事实个上，腊由用常牛数变熄量法舱确定C（x）方程的通解为

将方额程化葱为解例1解例2代入贱所给花方程,得所求慰方程眯的通此解为解例3例4已知孩连续摄函数f(x)满足梨条件解因原股方程厅右端遥函数叶可导狠，所末以f(x)可导央．＝e3x(-2e-x+C)=－２e2x+Ce3x．f(x)＝，求f(x)．由一积阶线趣性方谦程的挑通解蠢公式贪，得同时闸求导搅，得对方迹程两捕端f(x)例5设y=f(x)是第脑一象舰限内却连接赵点A(0，1)，B(1，0)的一段碗连续普曲线饿，M(x,y)为该捕曲线铅上任拘意一临点，露点C为M在x轴上走的投卸影，O为坐都标原乞点．棚若梯首形OC宽MA的面按积＋，求f(x)的与曲动边三异角形CB誉M的面鸡积之杂和为表达汉式．解参看倘图，变由题塞设得求导贡，得将条葬件f(1败)=看0代入晌到通抽解中点，得C=-模2，于挪是有贝努庆里方兄程(略)第三稻节格高使阶微援分方羡程一、摇几狱类可邻降阶畏的高泡阶微苦分方鲜程二阶怨及二鞠阶以控上的坟微分钉方程多称为惑高阶壮微分勉方程.1.y(n)=f(x)型的饿微分瞎方程对方程y(n)=f(x)积分一次,得到一个n-1阶方程

再积分一次,得到一个n-2阶方程

依次积分n次,便可得到方程的通解.例1

求的通解.逐次积分得这就是所求的通解．解2.F(x,y,y)=炭0型的祝微分芝方程(略)则原方程可化为若上式可解,设通解为,则有积分便得原方程的通解若作变换令代入方程并分离变量得积分，得再积分,得所求特解为解例3.F(y,y,y)=栽0型的畅微分现方程(略)原方程化为如果此微分方程是可解的,设其通解为分离变量后再积分,便得方程的通解代入辟原方比程得前者对应解后者对应方程积分得即解例再分离变量后积分得因此原方程的解为则原方程可化为分离变量得积分得由此式易推出解例上两式相加得积分,得通解为

二、形如y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的方呼程,称为二阶凶线性风微分铺方程.方程胆右端f(x)称为揪自由郊项,P(x)与Q(x)称为闪方程套的系践数．当f(x)≡甲0时,方程皂变为y+P(x)y+Q(x)y=0称之皇为二阶仿齐次溉线性糟微分允方程。当f(x)≠早0时,称,为二阶抵非齐裤次线焦性微牢分方图程.二阶掌线性拼微分丘方程1.二阶差线性寇微分氧方程折解的虾性质碍与结举构定理1如果y1,y2是方程的两个解,则它们的线性组合也是方程的解,其中C1,C2是任意常数．定义1设是定义在区间I上的n个函数,如果存在n个不全为零的常数,使得对任意的x,等式恒成立,则说在区间I上它们是线性相关的,否则称它们是线性无关的（线性独立的）．定理2如果y1,y2是方程的两个线性无关的解（亦称基本解组），则为方程的通解，其中C1,C2是任意常数．解例1对y1与y2分别何求一欺阶导限数和棚二阶秃导数,并代导入方排程,能使根方程蛾成为纳恒等独式,故y1与y2都是闭方程金的解.方程宅的通紧解为y=C1e-x+C2e2x(C1，C2为任金意常危数)．定理3设y*是非齐次线性方程的任一特解,是方程所对应的齐次方程的通解,则是方程的通解．定理4若与分别是方程与的解,则是方程的特解．2、挥二阶柜常系端数线德性微摊分方帝程的盐解法.二阶颠线性夏微分沿方程茧中,当系姓数P(x),Q(x)分别顷为常黎数p,q时,则称墓方程y+py+qy=f(x)体(f(x)≠胆0)为二阶局常系怠数非扰齐次愉线性摆微分翠方程.若f(x)≡肠0,方程趴成为y+py+qy=0获,称为二阶坐常系免数齐障次线匠性微盼分方鸟程.设方程y+py+qy=0的解为y=erx,其中r为待定常数,将y=erx代入方程,得

y=erx为方昆程y+py+qy=0的解穷的充母分必危要条羡件是r为方堡程r2＋pr+q=0的根.称代忠数方亦程r2＋pr+q=0为微燃分方彼程y+py+qy=0的特征窃方程.特征相方程汉的根放称为特征篮根．先求铜齐次净方程芹的通豪解:分三海种情任形来归考虑:(1)如果特征方程有两个相异实根r1与r2,这时可得方程的两个线性无关的解方程的通解为(2)如果特征方程有重根，这时可得到方程的一个解，因此方程的通解为(3菠)如果裳特征如方程锄有共雪轭复聚根则可抵以验蜘证方者程有意两个欢线性悦无关遵的解于是方程的通解为例2试求惊方程久的跌通解.特征方程具有两个不同的实根因此,和构成原方程的基本解组.原方程的通解为解例3求微遥分方诸程勺的脑通解霉．它具有共轭复根特征方程为因此所求方程的通解为解例4求方奋程y″-烘10y′+布25y=0满足莫条件y|x=0拖=1且在x=0处取蛮到极薄值的陕解，吃并说进明解虚在x=0处取擦极大值还呢是取听值小着值．其根舌为,故方冤程的恢通解旋为解特征烂方程盐为由条锁件y|串=距1得C=1．又由王于所趣求解的在x=0处取走到极性值，分故y′|源=坡0x=0由此私有C+5C=0骗,故C=-渣5．从蓝而所糟求初真值问脊题的屿解为舱：212y=y(x)=溪(1播-5x)e5x1x=0因为识对于间此解榆有y″(未0)弊=1堵0y′(任0)灶-2侨5y(0耐)=愿-2踪蝶5＜0,y=y(x)=口(1晴-5x)e5x所以鼻，它巷在x=0处取该到极辛大值居．例5已知桨某二停阶常群系数学齐次章线性坟微分解方程盆的特征惨方程球有一恼个根r=1获+3鹅i，试观建立尿这个搬微分方程漠，并移求出这它的答通解夜．1解设所洲求的皂方程y″+ay′+by=0堡,它对唉应的宇特征袍方程失为由于鹿上面侨这个览方程变有一荒个根r＝1＋3i相,则另蛛一个框根为r=1骄-3票i．由塞韦达邀定理春可知12故特鹿征方婆程为所求贫微分爬方程液为y″-肢2y′+肌10y=0．y=e（Cco苏s3x+Csi崭n3x)通解谅为x12再求鞋非齐景次方苍程的着通解:二阶漠常系殖数非童齐次脾线性叶微分稠方程y+py+qy=f(x)的通井解归虽结为句求它括所对异应的蹄齐次策线性桐方程坏的通戏解和月它自桶身的淋一个浅特解.下面与考虑闹求特战解.类型1,其中Pm(x)是m次多项式.将y*代入方程,得设方程的特解为显然当q≠0时,Q(x)应为m次多法项式,故可针设y*=Qm(x)＝A0＋A1x＋…＋Amxm,其中A0,A1,…螺,Am是待岔定系旷数.当q=0且p≠0时,Q(x)应为m+1次多站项式,故可洁设y*=x·Qm(x)＝x(A0＋A1x+…＋Amxm),其中A0,A1,…兵,Am为待裙定系怨数.当p=q=0时,Q(x)应为m+2次多赤项式,故可楼设y*=x2Qm(x)＝x2(A0＋A1x+…＋Amxm),其中A0,A1,…悠,Am为待高定系效数.例1求方提程喜的一弟个特材解．由于潜右端f(x)=Pm(x)=x-2,q=3≠0,故可赏设特尖解为y*=A0+A1x,解代入定原方塌程得4A1+3(A0＋A1x)=x-2类型2,这里是常数,Pm(x)是m次多项式.显然侄，设歉方程往的特搭解为其中Q(x)是x的多数项式,将y*代入借方程衰并消崇去铸得(1)若不是的特征方程的根,那么与应同次,于是可令其中A0，A1，…，Am为待定系数’将Q(x)代入原方程,比较等式两端x的同次幂的系数确定m+1个待定系数,从而求得方程的一个特解

(2)若是特征方程的单根,那么,而.此时，应是m次多项式,再注意到此时，为常数)为的解,故可令从而求得方程的一个特解

(3)若是特征方程的重根,那么这时应是m次多项式，再注意到此时和为常数)均为的解.且故可设从而求得方程的一个特解

综上糟所述,有如服下结墨论：如果,则方程具有形如的特解，其中是与同次的特定多项式，而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次取0,1或2.(2并)求非灿齐次庸方程少的一父个特服解y*：因,故,而0不是特征方程的根,从而可设例2求微分方程的通解．有二重根故所求齐次方程通解为

(1)求微分方程的通解因为特征方程解(3)原方程的通解为从上列方程组解出故代入原方程并比较同次幂的系数可得类型3其中A1,A2为待定系数,且当±iw为特征方程的根时,取k=1;当±iw不是特征方程的根时,k=0．

类型4

其中a1,a2,a,w为实常数．

其中A1,A2为待定系数,且当a±iw为特征根时,取k=1;当a±iw不是特征根时,取k=0.

例3求方程的一个特解.的一个特解首先求方程因2i不是特征方程的根，所以可以设上列方程的特解为代入方程得从而故解即的实部即为原方程的一个特解,即为原方程的一个特解.是特征方程的根，代入原方程,比较两端同类项系数,得例4求方程的一个特解．解这个方程组得故求得一个特解y*为解第四州节卵微分修方程桑在经榴济学茫中的伏应用一、闷供拘需均附衡的验价格崖调整蜜模型某商拌品的程供给氧量S及需裁求量D与该宝商品广的价础格有忍关.假设询供给仇函数果与需缸求函律数分馒别为S=a1+b1P,D=a-bP,其中a1,b1,a,b均为司常数,且b1＞0,b＞0;P为实酿际价怎格.供需均衡的静态模型为静态模型的均衡价格为瓦尔拉（Ｗalras）假设：超额需求[D(P)-S(P)]为正时,未被满足的买方愿出高价,供不应求的卖方将提价,因而价格上涨;反之,价格下跌,因此,t时刻价格的变化率与超额需求D-S成正比,即

瓦尔拉假设下的动态模型为其中l=k(b+b1)＞0

方程砌的通预解为P(t)=Pe+Ce-lt假设址初始镰价格勤为P(0叨)=P0,代入氧上式链得,C=P0-Pe,于是受动态坝价格芒调整勉模型渴的解愧为P(t)=Pe+(P0-Pe)·e-lt，由于l＞0,故表明:随着愿时间瘦的不菠