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文档简介

§4函数的极值与最大(小)值二、最大值与最小值极大(小)值是局部的最大(小)值,它一、极值判别们将逐一研究函数的这些几何特征.有着很明显的几何特征.在本节中,我返回2一、函数的极值及其求法3定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.4说明：1.极值不一定存在；2.极值必在定义区间的内部取到；3.极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.x

yO无极值.设函数

f在点

x0的某邻域内有定义,且在点

x0可定理5.3(费马定理)导.如果

x0

是

f的极值点，则必有上述定理的几何意义：如果

f在极值

x=x0处可导，则该点处的切线平行于

x轴.一、极值判别费马定理的逆命题亦不真.例如6此外,不可导点也可能是极值点,

x

yO但函数的不可导点也不一定是极值点，

x

yO7

这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.

我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点.

下面给出三个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点.

定理6.10(极值的第一充分条件)设函数f(x)在例1解稳定点为

x=0，没有不可导点.为了更好地加以判别，我们列表如下：不存在即是极小值.不存在极小值

即-11-2-11(1)-1-11O1(2)定理6.11(极值的第二充分条件)设f(x)在点x0证同样我们仅证(i).因为所以由保号性，由极值判别的第一充分条件得知:x0是极小值点.解由定理6.11,

x=6是极小值点,f(6)=108是极小值.试问这里为什么不考虑不可导点x=0?例2.定理6.平12(极值员的第锤三充轧分条搬件)设f在点x0的某邻域内存在直到对于的情形,可借助于更高阶的视导数旺来判饶别.(ii)n为奇数时,

不是极值点.证由泰基勒公轿式,有其中它在某邻域内恒与同号.这就说明了

不是极值点.例3所以由第二判别法,解求得极小值为因此x=1不是共极值铲点(n=3是奇摧数).又因由于(n=

4是偶数).注第三顽充分咏条件臂并不遣是万赔能的.例如x=宜0是22极值躲是局练部性季的,饿而最木值是捷全局榴性的拣.二、震最大妨值与倦最小嘱值23具体改求法坐：例4在区间上的最大、最小值.解所以在x品=0连续脆，由导数捆极限沈定理推知故在x帐=0不可翅导.所以这样肝就得益到不值可导基点为0,稳定继点为1,卸2藏.又因27在许嘴多实沫际问部题中咏，往乎往用的到求材函数推最值韵的下修述方虽法：例5一艘厅轮船床在航范行中舞的燃草料费茧和它瞧的速拘度的夸立方错成正静比.已知茄当速质度为10泊(k诊m/仗h)，燃炒料费轻为每傲小时6元，来而其丽他与武速度远无关垂的费熄用为采每小保时96元.问轮惠船的展速度唇为多耐少时叼，每拐航行1k午m所消围耗的扮费用杂最小逗？例6如图借所示,剪去椒正方校形时,盒子找

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