离散数学第五章

2023/5/241

在了解了代数系统一般概念的基础上，着重介绍几种典型的代数系统：半群、独异点和群，格和布尔代数。讨论这些代数系统中的特殊元素以及这些代数系统具有的性质。主要内容如下：

5.1半群和独异点；

5.2群的定义；

5.3群的性质；

5.4子群及其判别；第五章群2023/5/2425.1半群和独异点一、半群

定义5-1

设S是一个非空集合，*是S上的一个二元运算，如果*是可结合的,则称代数系统<S;*>

是半群。

例1

代数系统<N；+>和<N；·>、<I；+>和<I；·>、

<R；+>和<R；·>都是半群，但<I;->和<R-{0};/>不是半群。例2

代数系统<2U；>和<2U；>都半群，

2023/5/243例3

设S={|是集合A上的关系}，对于关系的复合运算可构成代数系统<S;

>，<S;>是半群。

若F={f|f:AA}，则对于函数的复合运算，代数系统<F;>也是半群。对任意a∈S，定义a1=a

an+1=an*a(n=1,2,……)并且对于任意正整数m

和n

，有

dm*dn=dm+n(dm)n=dmn(*)2023/5/244

二、独异点定义5-2

若半群<S;*>中运算*有单位元，则称<S;*>

为独异点。例4

<N;·>;<Z;+>,<Z;·>;<I;+>和<I;·>;<R;+>

和<R;·>;<2U;>和<2U;>。例3中的<S;°>

和<F;°>

在独异点<S,>中，对任意aS,有a0=ean+1=an*a(n=1,2,……)(*)式中的两个等式在独异点中亦成立。2023/5/245定义5-3：如果独异点<S;*>中的运算*是可交换的，则称此独异点为可交换的独异点。定义5-4：在独异点<S;*>中，如果存在一个元素gS，使得每一个元素aS都能写成gi(iZ）的形式，则称独异点<S;*>为循环独异点，元素g称为该循环独异点的生成元。定理5-1：每一个循环独异点都是可交换的。证明：设是一具有生成元g的循环独异点，则对任意的a,bS,

存在i,j

Z，使a＝gi,b＝gj

因此a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a2023/5/246三、子半群和子独异点定义5-5

设<S;*>是一个半群，若<T;*>是<S;*>的子代数，则称<T;*>是<S;*>的子半群。例6

对于半群<N;+>，N的子集N2={2n|nN},N3={3n|nN},N4={4n|nN},…

都是<N;+>的子半群。

例7

对于半群<S;*>的任一元素aS,令集合

T={a,a2,a3,…}<T;*>是<S;*>的子半群。2023/5/247

定义5-6设<S;*>是一独异点，若<T;*

>是<S;*>的子代数，且单位元eT，则称<T;*>是<S;*>的子独异点。

例8

对于独异点<Z;+>,子集N2,N3,N4,…,它们均不能构成<Z;+>的子独异点，

令Z2={2n|nZ},Z3={3n|nZ},Z4={4n|nZ}则<Z2;+>,<Z3;+>,<Z4;+>都是<Z;+>的子独异点。2023/5/248定理5-2：设h是从代数系统V1＝<S;*>到V2＝<S;>的满同态，其中运算*和都是二元运算，则（1）若V1是半群，则V2也是半群；（2）若V1是独异点，则V2也是独异点。2023/5/249四、有限独异点的幂等元设<S;*>是生成元为g的有限循环独异点，考虑无限序列：

e，g，g2，g3，....，gn-1，gn，gn+1，......(1)序列中的每一项都是S的元素（因为gS是生成元）(2)S中的每一个元素都在序列中(3)由于S有限，因此，该序列中只有有限个元素是不同的，而其他无穷个元素是相同的。设n是一个使gn＝gm（m<n）的最小正整数。令l=n-m，对任意的i>m，有gi=gi+hl（hZ）2023/5/2410定理5-2：设<S;*>是一个有限独异点，则对每一个

aS，存在一个整数j≥1，使得aj是幂等元。证明：对任意的a∈S，令Sa＝{a0,a1,a2,...,an,...}因为S有限，而SaS，所以Sa也有限。可以验证<S;*>是一具有生成元a的有限循环独异点。因此，至少有一幂等元akl，这里的k和l如前定义。记j＝kl，即aj是幂等元。注：这里j≥1，有可能aj=e2023/5/2411练习1．判断下述论断正确与否，在相应的括号中键入“Y”或“N”，

(1)在实数集R上定义二元运算*为：对于任意的a,bRa*b=a+b+ab(a)<R;*>是一个代数系统；（）

(b)<R;*>是一个半群；（）（c）<R;*>是一个独异点。（）(2)在实数集R上定义二元运算为，对任意a,bR,ab=|a|·b(其中·表示通常数的乘法运算)(a)<R;>是一个代数系统；（）

(b)<R;>是一个半群；（）

(c)<R;>是一个独异点。（）YYYYYN2023/5/24125.2群的定义一、群的定义定义5-7

设<G;*>是一个代数系统，如果运算*是可结合的,存在单位元e,且G中任何元素a都有逆元a-1,

则称<G;*>是一个群。(1)对于任意的a,b,cG，有a*(b*c)=(a*b)*c；(2)存在一元素eG,使得对于任意的aG,有e*a=a*e=a；(3)对任意aG,相应存在一元素a-1G,使得a-1*a=a*a-1=e例1<N;+><Z;+><I;·>和<R;·>

<I;+>、<R;+>和<R-{0};·>2023/5/2413

例2设有Z4={0,1,2,3},模4的加法运算定义为

a4b=res4(a+b)为。构成代数系统<Z4;4>。40123001231123022301330122023/5/2414对于任意的a,b,c∈N4，令a+b=4m1+res4(a+b),b+c=4m2+res4(b+c)a4(b4c)=a4res4(b+c)

=res4(a+res4(b+c))

=res4((4m1+res4(a+b))+c)=res4((a+b)+c)于是(a4b)4c=res4(a+b)4c=res4(res4(a+b)+c)=res4(a+(4m2+res4(b+c)))=res4(a+(b+c))=res4((a+b)+c)

因此(a4b)4c=a4(b4c)，即4满足结合律。0是单位元，0的逆元是0，1和3互为逆元，2的逆元是2。<Z4;4>是一个群。2023/5/2415定义5-8如果群<G;*>的运算*是可交换的，则称该群为交换群或阿贝尔群。20尝23柱/5赚/1严816二、蚀循环绪群1．群赌中元捉素的番幂对于粮任意aG,骑a0=e葬,圾an+1=an*a寇(塞n亮=鬼0,序1,闪2,遗…炎)(a-1)0=e泼,驶(a-1)n+1=(谅a-1)n*a-1(腹n止=船0,占1,集2,霸…皆)（*）引进碰记号a-n=(脖a-1)n=a-1*a-1*…*a-1(普n个a-1)因此(*)式可表示为(a-1)0=e,a-n-1=a-n*a-1(n=0,1,2…)对于任意整数m和n，下面二式仍然成立。20爽23吉/5到/1博817例如因为20建23皆/5芹/1税818又例饮如因为20吉23侄/5艰/1津8192．循助环群定义5-健9在群<G纱;*>中,如果狗存在雀一元较素gG,使得崇每一元素aG都能办表示况成gi(暑iI)的形产式,则称描群<G驾;*>为循环尤群，称g为该薯循环锄群的生成罪元,并称群<G担;*>由g生成陶。例3群<I拦;+孔>是循幕环群草，1是生漠成元纲，10=0，对计任意东正整罪数n，n=1思+1恼+…止+1，按婆照群络中元笛素的刑幂的稀表示岩方法n=1n.对任意负整数,按照群中逆元的表示方法20订23些/5请/1债820例4例2中的尘群<Z4;4>是循宴环群抱，因为10=0，11=1，12=141=充re疑s4(2吓)=括2,13=1241=驼241=颜re再s4(3务)=尸3所以1是其孝生成挤元。又30=0，31=3，32=343=弯re晶s4(6束)=父2,33=3243=国243=此re泛s4(5租)=须1所以3也是身其生握成元吉。20学23吃/5梢/1撒821例5设G=坏{巴a,眼b,辽c,野e}司,*是G上的仪二元繁运算旱，*eabceabcaecbbceacbaeeabca*a=驳b*b=轨c*c=抓e*e=有e,a*b=寺b*a=局c,b*c=宁c*b=利a，a*c=阵c*a=猾b<G胜;*>是一牺阿贝睬尔群惠，但炭它不藏是循基环群栏，一拉般称秤这个顿群为Kl血ei煌n四元使群。20网23究/5神/1姐822三、俱群的约阶和童元素葵的周咸期定义5-较10设<G血;*>是一勒个群,如果G是有院限集,则称<G赠;*>是有月限群,G中元尾素的慰个数素称为览群<G键;*>的阶;若G是无办限集,则称<G添;*>是无毅限群党。定义5-铺11设<G谅;*>是一温个群悲，aG，若宾存在正整耐数r,使得ar=e，则箭称元锻素a具有马有限解周期费。使ar=e成立疫的最惧小的理正整嫩数r称为a的周期。如拌果对于任惕何正乱整数r，均桐有ar≠e，则阅称a的周哨期为无限席。注意:阶数月大于1的群何一定脖没有咱零元.葛(?碍)20举23兔/5柳/1饰823例6在群<R嚷-{姑0}贯;·>中，范单位售元1的周哈期为1。（-1）2=（-1）4=（-1）6=…=1，例7在例2所给细出的绸群<Z4;4>中，岸（参顺见例4）14=纤1341=焰341防=问re臣s4(4腾)=跳0柄,21=情2，22=242顽=点re裹s4(4养)=斧0如,34=魔3343碧=庸143虏=蓄re能s4(4阵)惜=团0违,20扁23同/5授/1志824定理5-摩5设<G爬;*>是一暗由元屋素g生成白的循侧环群烧，则（1）若g的周寺期为n,则<G险;*>是一凭个阶汉为n的有限雷循环想群；（2）若g的周词期为泪无限装，则<G吹;*>是一解个无限落阶的宿循环剂群。例如难循差环群<I剖;+俩>的生砖成元1和–1，其盏周期咳均为块无限渴，群<I厚;+恨>是一个严无限血阶的房诚循环累群。循环矮群<Z4;4>的生弦成元晚是1和3。14=1341=难341=漫re梨s4(4稳)=箱034=3343=霜143=杰re税s4(4身)=狭01和3的周啊期均婆为4，循挽环群<Z4;4>的阶造也为4。20膜23爪/5蜜/1惠825练习1．设悲有集险合A=址{a休,b盈,c竹,d硬},是函听数的劫复合沈运算魄，判件断下积述各论断窑是否独正确旺，在流相应妥的括鸦号中假键入碧“Y”或“N”（1）令FA={f|f:AA},则<FA;>是一泳个群坐。(鼠)（2）令EA=银{f|f:AA是双怀射},则<EA;>是一畏个群畜。(由)（3）EA定义惭同上均，<EA;>是一虎个交油换群刘。(鞋)（4）EA定义早同上产，<EA;>是一贵个循畅环群赏。(嗽)NYNN20罚23邪/5存/1抢8265.鉴3群的萌性质一、深关于壮相约驳性定理5-恋6设<G参;*>是一置个群约，则旁对任肺意的a,押bG，（1）存德在唯垄一的框元素xG，使a*x=百b；（2）存反在唯顿一的惯元素yG，使y*a=蜓b。证明（1）因界为a,橡b谷∈亲G提,所以a-1*bG。令x=温a-1*b

则，因此,a-1*b是方程a*x=b的解假设x'G也使爆得a*x'贸=b成立姑，则x'=e*x'=a-1*a*x'=a-1*(a*x')=园a-1*b因此x=迫a-1*b是满案足a*x=房诚b的唯蕉一的没元素卷。20哭23惕/5晋/1姨827定理5-鸟7设<G掘;*>是一风个群年，则絮对任员意的a,锣b,窗cG（1）若a*b=誓a*c,则b=此c；（2）若b*a=晃c*a,则b=益c。证挣明长（1）令a*b=尺a*c=押d，根碗据定役理5-宾2，方该程a*x膀=波d在G中只抬有唯垫一的交解，拣故得b=城c。20呢23膛/5简/1硬828二、递元素北运算拔后求毒逆元蜡等于土元素攻分别稿求逆采元后棕颠倒跑次序摔相运应算证明因为(a*b)*(a*b)-1=e根据定理5-7，有对任意有定理5-迹8设<G兴;*>是一掘个群桨，则惭对任伯意a,bG，有20怠23预/5材/1雀829三、兄关于疗元素鼻的周腾期定理5-酿9若群<宗G;*>的元艇素a具有馋有限下周期r，则李当且粘仅当k是r的倍舒数时耗，ak=e证明：（1）设k=盆mr亭(mI)也(要证ak=e）则ak=amr=（ar）m=em=e请(因为r是a的周游期)（2）假寒定ak=e庆(要证r乞|记k)令k=极mr貌+i卧(园0≤i＜r)则e=迟ak=amr絮+i=(胸ar)m*ai=ai若i≠0则i<绵r，与r是a的周瘦期矛缝盾。20颗23侵/5削/1柏830定理5-织10群中为任一剪元素袄与它犬的逆讲元具荒有相拖同的夺周期督。定理5-亩11在有沾限群<G锣;*>中，管每个母元素虏均具继有有拍限周期，建且周杏期不挎超过冤群<G险;*>的阶肢。证明设<G历;*>是有椒限群就，#G听=n，对哭任意aG，构大造序列a,竿a2,茧a3…,础an,哈an+1,

因为#G=n，所以序列中必存在ai=aj于是因此a的周期至多为,而。20诊23随/5颤/1崖831定理5-哀11的结抬论对狐于无鬼限群弓不成泽立。例如胜群<I；+稼>.例1对于5.水2节例2中的左群<Z4;4>,单位仅元0的周辆期是1；1和3的周较期均乡丰为4；2的周剥期为2，群<Z4;4>的阶4.例2设<G枣;*>是一办个群厅，且码对于弃任意版的a,比bG，有(a*b)2=a2*b2,则<G窜;*>是阿阳贝尔迹群，由已乌知（a*b)²=a2*b2(a*b)*(a*b)傻=(痛a*a)*(b*b)a*(b*a)*b丈=胆a*(a*b)*b利用匠定理5-俩7的相请约性封得b*a治=松a*b20烫23访/5蠢/1宇832练习1．填腥空设Z6={愚0,锐1,焦2,郑3,厅4,封5}灰,6是模6的加腾法，对定义仪为：a6b较=r伙es6(a森+b消)，<Z6;6>是一蔽个群俊。（1）群<Z6;6>的单德位元坚是。（2）1的逆晶元是；2的逆诵元是；3的逆纤元是。（3）1的周询期是，1与的周绕期相维同。（4）2的周疲期是，2与的周鞭期相锻同。054365342.判断躲下述古论断由正确求与否哑，在倾相应榨的括毛号中盟键入孕“Y”或“N”设<G义;*>是群吸，a,任bG普,遗a的周昨期为5,晌b的周过期为3。则（1）a3=e搞,衬a5=e侵,访a8=e击,岔a10=e喷,钳a14=e(春)惧(甜)梨(誉)纠(喷)炭(勾)（2）b2=e扔,欣b3=e贴,视b5=e知,用b6=e植,授b9=e勾,服b15=e(饥)田(拐)草(脏)铺(唇)昆(武)律(魔)YNNYNN鸽Y志N时Y私YY20旷23股/5蓄/1括8335．4子群鸣及其惹陪集一、吵子群鼠的定狐义定义5-相12设<G踏;*>是一诵个群弃，若<H志;*>是<G苗;*>的子代数须，单葛位元eH，且笨对于饱任意把的aH，有a-1H，则忌称<H拍;*>是<G刚;*>的子妖群。

ea

GH若<H如;*>是<G冠;*>的子惨群，梢则<H很;*>也是钉群.半群肺，独慌异点复和群依这三符个概幻玉念之肾间的筝区别甲：半榴群<N挪;+柄>，独炸异点<Z壮;+消>，群<I蓝;+德>。20蛾23恶/5客/1悼834<I；+>既是衡半群蓝、独胳异点海，也摆是一熄个群披，对化于I的三捷个子贩集：<E1；+>只能理看作秀是<I；+>的子乱半群注，<E2；+>只能套看作针是<I；+>的子马独异艰点，只有<扇E3；+>才是<I；+>的子泰群。对于记任意匆的整边数m，若苍令Im={mi|iI}。则<Im;+些>可构禽成<I；+>的子桂群。20爪23员/5膛/1蔬835例1Kl间ei耍n的四览元群<{端a,答b,枪c,掠e}辉;>有如红下子减群：子集{e,或a,贩b}不能拥构成<G率;>的子王群，子集{a}或{a,b,c}也不窝能构舞成<G悔;>的子画群eeabcaaecbbbceaccbaeeabc<{e};>,

<{e,a};>,<{e,b};>,<{e,c};>和<G;>20论23射/5槽/1售836二、虏子群钞的判各别要判吐断H对于感运算自能否宜构成<G浆;*>的子件群，块需要辆弄清咐以下缩慧三个饮问题呈。1封闭轮性：花对于勺任意a,盖bH，是手否有a*bH；2单位印元：戴是否六有eH；3可逆烈性；顷对于管任意aH，是辱否有a-1H；定理5-颂12设<G宿;*>是群,酒H是G的非美空子饰集,则<H框;*>是<G移;*>的子消群。20例23竹/5努/1藏837if娘f（Ⅰ）镜（1）对粒任意卷的a,泥bH，有a*bH;（2）对类任意谅的aH，有a-1H。if稠f（Ⅱ）（3）对权任意闻的a,葬bH，可铁得a*b-1H。if每f（Ⅲ）（4）<佩H;*>是群符。证明产：（Ⅰ）设<蛇H;*>是<G摔;*>的子坑群，弯由子废群的馒定义5-颂12知（Ⅰ）中洗的(1耐)和(2见)成立云。（1）成长立，主保证<怪H;*>是子树代数俊。（2）成肤立，梦保证担可逆巷性，舞且e=柿a*a-1H。20闻23级/5幸/1旱838证明：（Ⅱ）设<啄H峰;*>是<G；*>的子胃群，痰则由眠定义5-她12知对俩任意a，bH，存灾在b-1H，因轻此a*b-1H若对含任意庆的a，bH，有a*b-1H因H非空孕，故叛存在辣一个aH，由领条件租知a*a-1=eH对任花意的aH胖,因为eH，所富以e*a-1=a-1H又设a，bH，由仙上证扑得b-1H，且a*(困b-1)-1H即a*bH，于荷是由薯定义5-酸12知<友H椒;*>是<G；*>的子逃群。20思23亭/5名/1岛839证明梳（Ⅲ）设<H罢;*>是<G籍;*>的子畅群,由定列义5-匠12知<H爽;*>群。设<H助;*>是群,其单础位元这为e丧'H,则e'*e染'启=e劈燕'令G的单胳位元领为e，则e'=e*e'=(e尼'-1*e'盘)*e'欠=e'-1*(e拌'*e'舌)=e普'-1*e'愧=e即eH，又反若aH，a对群观的逆尽元为a-1则a1'*a=从e'馆=e，另均一方呀面aHG，a-1*a普=船e所以a1'*a=烧a-1*a，由赖消去睁律得a-1=a1'H所以<H过;*>是<G陆;*>的子牧群.20喉23座/5售/1仅840定理5-慕12设<G笼;*>是群肤，H是G的非买空子展集，涛若(1括)对于筋任意观的a,bH，有a*b∈H；(2冤)对任农意的aH，有a-1∈H，则<H据;*>是<G旨;*>的子抢群。20捉23禁/5挂/1宪841定理5-泥13设<G址;*>是一你个群奏，H是G的一护个非捎空子窗集，任若对于渠任意a,芦bH，有a*b-1H，则<H谷;*>是<G腹;*>的子响群。

证明

设aH，则由定理5-12的条件由e,aH,则

又设a,bH，由上证得b-1H，因此

,即a*bH,于是根据定理5-12，

<H；*>是<G；*>的子群。20蚕23啊/5向/1给842解显然H是G的非郑空子善集。例2设<G笛;*>是一礼个群扮，a是G中任剖一元酱素，被令即H是a的所歉有整茧数次驴幂的背集合甩，问H对于晴运算丝式能否构成<G泥;*>的子傍群？（1）对女任意ai,ajH，有ai*aj=ai+盟j因为i+贷jI，所课以ai+表jH；

又由H的定义a-iH

于是根据定理5-12，<H;*>是<G;*>的子群。显然<H;*>是由元素a生成的一个循环群.（2）对任意aiH,有a-i*ai=ai*a-i=a0=e,即a-i是ai

的逆元，20欣23评/5拢/1灿843例3设<G劝;*>是一亡个群性，定忽义G的子榨集H为试问H对于姑运算敬能否春构成<G树;*图>的子炉群。解：对任叛意xG，有x*e撕=驱e*x枣=蹄x没,所以eH，故H是G的非避空子疲集。任取a伶,壁bH,则对稍任意xG必有a*x务=腰x*a,b*x糕=壁x*b，于有是根片据群霉的性忆质因此a*b-1H，根巩据定墨理5-穿13海,鸡<H候;*>是<G芝;*>的子递群。20滴23孕/5谨/1称844定理5-所14的证俩明：个设aH，由坛定理5-糖11，a具有访有限周期卷，设廉为r，定理5-带14设<G蜡;*>是一层有限泊群，协若<H兵;*>是<G娘;*>的子代草数，逗则<H垮;*>是<G乎;*>的子少群。定理5-昆15设<G巩;*>是一尊个群故，若<H蒙;*>是<G胞;*>的有鹿限子代配数，独则<H问;*>是<G孙;*>的子娇群。其中ar己–1=ar*a–1=e*a–1=a，因工此a–1∈H，故<H馅;*>是<G赤;*>的子绞群。又因劳为运帅算*在H上封愤闭，桥所以殖元素a,办a2,a3,…录,ar恐-1,ar(=友e)均在H中,20另23炉/5裹/1毙845例4对于钥群<Z6;6>，找逢出它文的所多有子立群。单位敬元e=暮0，1和5互为居逆元患，2和4互为赏逆元鞭，3以3自身烘为逆痕元。<Z6;6>有如窑下子预群：解按照定运算6的定骆义，a6b=禁re旨s6(a柳+b递),作出零群<Z6;6>的运算室表如啊下：5

5012340

0123451

1234502

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45012301234520数23原/5卷/1诊846三、顿子群摊的等软价定哀义如前敢所述贷，若<H闭;*>是群<G背;*>的子纹群，肉则<H膜;*>自身杏也必先是群衡。反之握，设<G叉;*>是一灰个群膝，H是G的非沙空子浓集，将若<H询;*>也是短群，或则<H松;*>必是<G洪;*>的子锻群。证明嘴：*在H上是备封闭舱的，猫所以<H总;*>是<G派;*>的子剖代数脊。又设e'是群<H央;*>的单陪位元僻，e为群<G榴;*>的单蝴位元鼻。则有e'*e'=渗e',敲e*e'=搅e'，于偶是e'*e'=闻e*e',由群吹的相掘约性峰，得e殿=e'，因击此eH。又对名任–a∈H，a'表示a在<H券;*>中的抚逆元泡，a-1表示a在<G区;*>中的数逆元斗，根据泥定义5-啄12，<H托;*>是群<G芳;*>的子染群。于是绑有a*a'=欲e鸟=a*a-1.由相胞约性冲，得a'=a-1，因间此a-1H。20难23症/5房诚/1由847定义5-奇12设<G偷;*窃>是一搞个群淡，H是G的非歉空子斯集，罪若<H各;*班>也是擦群，炎则称<H惨;*应>是<G套;*茎>的子浸群。练艳习1．判雷断下虑述论蹄断正侨确与协否，椒在相辈应的棒括号蕉中键蠢入“Y”或“N”。对于诱群<Z4;4>有如披下子棚群。YNYNNY20躺23菠/5剥/1绳848定义5-鞋13设<H税;*>是群<G睛;*>的子嗓群，a是G的任扯意一相个元素，六称集厉合H*a={说h*a|hH}为子央群<H穗;*>在群<G损;*>中的纠一个右陪泊集。集五合a*H=硬{a*h|石hH}为子莲群<H旅;*>在群<G贤;*>中的扶一个左陪制集。若aG，有H*a=a*H，则箩称子顿群<H阻;*>是群<G网;*>的正规内子群，此冈时左(右)陪集胜简称漆为陪集。例5令H=缠{k甚m|见kI},则<H奇;+认>是<I来;+静>的子篮群。偶又<I虚;+愉>是Ab蕉el群，岛故其冬左右参陪集兔相等护。问题薯：如弟何判懂断一记个子滤群是先否是近正规淘子群像？20怕23壁/5尚/1轻849问题1.对于与给定螺的群G和子踪蝶群H,陪集凳与陪这集之让间有睁何关络系?2.左右析陪集望之间修有何肿关系?3.对于序给定缎的群G和子巧群H,有多聪少个演不同森的陪劳集?如何肉求得?20柄23澡/5员/1忘850定理5-但16设<H输;*>是群<G吵;*>的一划个子坏群，吊当且滑仅当aG偿,妙h季H,都有a*h*a-1H时,<H央;*>是群<G震;*>的正调规子场群。例6设G是全长体nn可逆祝实数欲矩阵希，则<G酱;•>构成幸群。H是G中全体姜行列膨式为1的矩址阵集广合，检则<H显;•>是G的子嘉群，悟并且是正邻规子蹲群。定理5-兽17设<H绞;*>是群<G糟;*>的一省个子