2023学年完整公开课版最小覆盖圆

最小覆盖圆张家口市第十九中学郑银岚②若点M也在⊙O上，且与点C位于弦AB的同侧，当∠AMB=∠C，则点M在⊙O_________;当∠AMB＜∠C，则点M在⊙O_________;当∠AMB＞∠C，则点M在⊙O_________;OBACPQED∠P＜∠C＜∠Q上外内引例:如图,在⊙O中,A、B、C是上的三点，点Q在⊙O内，点P在⊙O外，则：①∠C，∠P，∠Q的大小关系为

_________________________小结:在同一条弦的同侧,圆外角小于圆周角,圆内角大于圆周角,反之亦然.定义:我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．一起探究：做出下面图形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,保留痕迹)BAO80°６０°OBACOBACO１BACO２110°通过以上探究,三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）结论:若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．继续探究：做出下列图形的最小覆盖圆．正方形矩形菱形平行四边形解决问题:某地有四个村庄（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．GFEH47°44°53°49°36°47°50°34°GFEH47°44°53°49°36°47°50°34°解：理由如下：(1)∵∠GHE=∠GHF+∠FHE=34°+50°=84°

，∠HGE=49°,∠HEG=47°∴

△EGH是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为△EGH的外接圆。∵∠HFG＜∠HEG∴点F在该圆外.(2)∵∠HGF=∠HGE+∠EGF=49°+53°=102

°∴△HGF是钝角三角形，所以其最小覆盖圆是以线段HF为直径的圆，∵∠HEF=47°+36°=83°＜90°

，所以点E在该圆外。(3)∵∠GFE=∠GFH+∠HFE=44°+47°=91°，∠EGF=53°，∠GEF=36°∴△EGF是钝角三角形，所以其最小覆盖圆是以线段EG为直径的圆。∵∠GHE=84°＜90°

，∴点H在该圆外.GFEH47°44°53°49°36°47°50°34°（4）∵∠HEF=∠HEG+∠GEF=47°+36°=83°

，∠EHF=50°,∠EFH=47°△EFH是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆。∵∠EGF＞∠EHF∴点G在⊙O内，所以⊙O也是四边形的最小覆盖圆．所以中转站建在的△EFH外接圆圆心处，能够符合题中要求．应用提升：一种电讯信号转发装置的发射直径为31Km，现要求在一边长为30Km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市，问：①能否找到这样的4个安装点，使得这个点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？说明理由。ABCDEFGHABCD√2151515O方法一ABCDEFGHABCD30303030方法二ABCDEFGHABCD方法三307.530.9ABCDEFGH解法1：如图，将正方形ABCD分割成3个矩形，使AF=31，G是EF的中点,H是CD的中点，则

AE=DE=EH=所以,将转发装置安装在这三个矩形的对角线交点处，能达到要求。√312-302=√6130-√61≈22.19√22.192+152≈26.8＜313031√6122.191526.826.8②至少需要几个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？说明理由。ABCDEFGH解法2：如图，将正方形ABCD分割成3个矩形，使AF=EH=31，则AE=，DE=，则DH=∴CH=30-21.6=8.4则CG=所以,将转发装置安装在这三个矩形的对角线交点处，能达到要求。√61√8.42+22.192≈23.7＜3130-√61≈22.19√312-22.192≈21.63022.19313121.68.423.7√61小结：本节课运用