2023学年完整公开课版组合

问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙

3情境创设从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,合成一组问题2从已知的3

个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

排列与组合的概念有什么共同点与不同点？

概念讲解组合定义:组合定义:

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)

个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从

n个不同元素中取出

m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解

构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题?

(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.

甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的双方；（2)列出所有冠亚军的可能情况.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：练习2练习3已知平面内A,B,C,D这四个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.解：1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc

2.已知4个元素a,b,c,d

,写出每次取出两个元素的所有组合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)概念理解

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解组合数:注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．

1.写出从a,b,c,d

四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了什么?前面已经提到，组合与排列有相互关系，我们能否利用这种关系，通过排列数来求组合数呢？探究如从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合数，如何通过排列数来计算呢？如何计算:组合数公式

排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据分步计数原理，得到：因此：

一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步：

第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数．

第2步，求每一个组合中个元素的全排列数．

这里，且，这个公式叫做组合数公式．

概念讲解组合数公式:

从n个不同元中取出m个元素的排列数概念讲解思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同？这一结果的组合的意义是什么？

从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素，就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的3个元素的组合是一一对应的.因此，从10个元素中取7个元素的组合，与从这10个元素中取出3个元素的组合是相等的.又如:在5个元素a、b、c、d、e中取3个元素的组合：取2个元素的组合：abcabeaceabdbcecdeadebcdbdeacddececdbebdaeadabacbc

从5个不同元素中每次取出3个元素的一个组合，总与剩下的二个元素的组合之间构成一一对应。因此从5个不同元素中每次取出3个元素的组合数，与从中取出剩余2个元素的组合数是相等的.练习3,4,5

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n

m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n

m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n

m个元素的组合数.即另一证明：根据组合数公式有(1)当m＞时,计算可改为计算注：(2)规定组合数性质一：快速反应:练习3.计算从(1)中可以发现一个结论：对上面的发现(等式)一般性结论应怎样？证明你的猜想?证明:从n+1个元素中取出m个元素的组合，可以看成从n+1个元素中分两类抽取，其中一类是含元素时抽取m-1个即，另一类是不含元素时抽取m个即，由分类计数原理有：.

注:1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．

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