2021年中考数学二轮专题复习讲义：第5讲-二次根式及其运算

第5讲二次根式及其运算1．二次根式的有关概念考试内容考试要求二次根式一般地，形如eq\r(a)()的式子叫做二次根式．a最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)．2.二次根式的性质考试内容考试要求两个重要的性质(eq\r(a))2＝a(a____________________)；eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a≥0），（a<0）.))a积的算术平方根eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．商的算术平方根eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)．3.二次根式的运算考试内容考试要求二次根式的加减先将各根式化为，然后合并被开方数的二次根式．b二次根式的乘法eq\r(a)·eq\r(b)＝(a≥0，b≥0)．二次根式的除法eq\f(\r(a),\r(b))＝(a≥0，b＞0)．二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)．考试内容考试要求基本方法1.整式运算法则也适用于二次根式的运算．c2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数，可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进一步估算即可．3.绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：eq\r(a)(a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．1．(2015·湖州)4的算术平方根是()A．±2B．2C．－2D.eq\r(2)2．(2017·宁波)要使二次根式eq\r(x－3)有意义，则x的取值范围是()A．x≠3B．x＞3C．x≤3D．x≥33．(2016·杭州)下列各式变形中，正确的是()A．x2·x3＝x6B.eq\r(x2)＝|x|C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))÷x＝x－1D．x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)4．(2017·宁波)实数－8的立方根是____________________．5．(2017·湖州)计算：2×(1－eq\r(2))＋eq\r(8).【问题】下列各式已给出计算结果：①eq\r(8)－eq\r(2)＝eq\r(6)；②eq\r(（－3）2)＝－3；③eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)；④eq\r(8)÷eq\r(2)＝4(1)其中正确的是____________；(2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．类型一平方根、算术平方根、立方根eq\a\vs4\al(例1)(1)(2015·黄冈)9的平方根是()A．±3B．±eq\f(1,3)C．3D．－3(2)(2017·黄冈)16的算术平方根是________．(3)(2016·宁波)实数－27的立方根是________．【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．1．(1)(2016·唐山模拟)下列式子中，计算正确的是()A．－eq\r(3.6)＝－0.6B.eq\r(（－13）2)＝－13C.eq\r(36)＝±6D．－eq\r(9)＝－3(2)如果一个正数的两个平方根为a＋1和2a－7，则这个数为____________________．类型二二次根式的有关概念与性质eq\a\vs4\al(例2)(1)式子eq\f(\r(2x＋1),x－1)有意义的x的取值范围是________；(2)(2017·邵阳模拟)将eq\r(45)化成最简二次根式是________．(3)计算：eq\r(（1－\r(2)）2)＝________.【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．2．(1)(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是()A.eq\r(\f(1,3))B.eq\r(0.3)C.eq\r(3)D.eq\r(20)(2)k、m、n为三个整数，若eq\r(135)＝keq\r(15)，eq\r(450)＝15eq\r(m)，eq\r(180)＝6eq\r(n)，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确()A．k＜m＝nB．m＝n＜kC．m＜n＜kD．m＜k＜n(3)(2016·金华)能够说明“eq\r(x2)＝x不成立”的x的值是____________________(写出一个即可)．(4)若实数a、b满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋2))＋eq\r(b－4)＝0，则eq\f(a2,b)＝____________________.(5)若整数x满足|x|≤3，则使eq\r(7－x)为整数的x的值是____________________(只需填一个)．类型三二次根式的运算与求值eq\a\vs4\al(例3)(1)(2017·滨州)下列计算：(1)(eq\r(2))2＝2，(2)eq\r(（－2）2)＝2，(3)(－2eq\r(3))2＝12，(4)(eq\r(2)＋eq\r(3))(eq\r(2)－eq\r(3))＝－1，其中结果正确的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)计算：eq\r(8)－3eq\r(\f(1,2))＋eq\r(2)＝______；(3)化简：eq\r(3)(eq\r(2)－eq\r(3))－eq\r(24)－|eq\r(6)－3|＝________.【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．3．(1)下列计算正确的是()A．4eq\r(3)－3eq\r(3)＝1B.eq\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)C．2eq\r(\f(1,2))＝eq\r(2)D．3＋2eq\r(2)＝5eq\r(2)(2)算式(eq\r(6)＋eq\r(10)×eq\r(15))×eq\r(3)之值为()A．2eq\r(42)B．12eq\r(5)C．12eq\r(13)D．18eq\r(2)4．(1)计算(eq\r(10)－3)2018·(eq\r(10)＋3)2017＝____________________；(2)(2016·聊城)计算：eq\r(27)·eq\r(\f(8,3))÷eq\r(\f(1,2))＝.类型四二次根式的大小比较eq\a\vs4\al(例4)已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋eq\r(15)，乙＝3＋eq\r(17)，丙＝1＋eq\r(19)，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确()A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．5．(1)(2015·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示eq\r(8)的点落在()A．段①B．段②C．段③D．段④(2)(2015·杭州)若k＜eq\r(90)＜k＋1(k是整数)，则k＝()A．6B．7C．8D．9(3)(2017·白银)估计eq\f(\r(5)－1,2)与0.5的大小关系是：eq\f(\r(5)－1,2)____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”)类型五二次根式的综合型问题eq\a\vs4\al(例5)(1)已知实数x，y满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－4))＋eq\r(y－8)＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．(2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式eq\r(121)，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式eq\r(0.81)，用上述方法产生的密码是________．【解后感悟】常见的非负数有三种形式：|a|，eq\r(a)，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．6．(1)矩形相邻两边长分别为eq\r(2)，eq\r(8)，则它的周长是____________________，面积是____________________．(2)观察分析下列数据，寻找规律：0，eq\r(3)，eq\r(6)，3，2eq\r(3)，…，那么第10个数据应是____________________．(3)若y＝eq\r(3x－6)＋eq\r(6－3x)＋x3，则10x＋2y的平方根为____________________．7．已知x＝eq\r(3)＋1，y＝eq\r(3)－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.【探索规律题】如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．【方法与对策】根据O(0，0)，A(2，0)为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点．【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是()A.eq\r(（－3）2)＝－3B．－eq\r(32)＝－3C.eq\r(（±3）2)＝±3D.eq\r(32)＝±3参考答案第5讲二次根式及其运算【考点概要】a≥0≥0a－a3.最简二次根式相同eq\r(ab)eq\r(\f(a,b))乘除【考题体验】BDB4.－25.原式＝2－2eq\r(2)＋2eq\r(2)＝2.【知识引擎】【解析】(1)③；(2)①eq\r(8)－eq\r(2)＝eq\r(2)，②eq\r(（－3）2)＝3，④eq\r(8)÷eq\r(2)＝2；(3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．【例题精析】例1(1)A；(2)4；(3)－3例2(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－eq\f(1,2)且x≠1.(2)3eq\r(5)；(3)eq\r(2)－1.例3(1)D；(2)原式＝2eq\r(2)－eq\f(3\r(2),2)＋eq\r(2)＝eq\f(3,2)eq\r(2)，故答案为：eq\f(3\r(2),2)；(3)eq\r(3)(eq\r(2)－eq\r(3))－eq\r(24)－|eq\r(6)－3|＝eq\r(6)－3－2eq\r(6)－(3－eq\r(6))＝－6.故答案为：－6.例4∵3＝eq\r(9)<eq\r(15)<eq\r(16)＝4，∴8＜5＋eq\r(15)＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝eq\r(16)＜eq\r(17)＜eq\r(25)＝5，∴7＜3＋eq\r(17)＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝eq\r(16)＜eq\r(19)＜eq\r(25)＝5，∴5＜1＋eq\r(19)＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故选A.例5(1)由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－4))＋eq\r(y－8)＝0得，x－4＝0，y－8＝0，即x＝4，y＝8.若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形．若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20；即等腰三角形的周长是20.(2)eq\r(0.81)＝0.9，所以得到一个六个数字的密码081009.【变式拓展】(1)D(2)92.(1)C(2)D(3)－1(4)1(5)－2(1)C(2)D4.(1)eq\r(10)－3(2)125．(1)C(2)D(3)＞6.(1)6eq\r(2)4(2)3eq\r(3)(3)±67.(1)因为x＝eq\r(3)＋1，y＝eq\r(3)－1，所以x＋y＝2eq\r(3)，x－y＝2.则(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2eq\r(3))2＝12.(2)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝4eq\r(3).【热点题型】【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的eq\f(1,2)，第六个正三角形的边长是eq\f(1,16)，故顶点P6的横坐标是eq\f(63,32)，P5纵坐标是eq\r(3)－eq\f(\r(3),4)－eq\f(\r(3),8)＝eq\f(5\r(3),8)，P6的纵坐标为eq\f(5\r(3),8)＋eq\f(\r(3),32)＝eq\f(21\r(3),32)，故答案为：(eq\f(63,32)，eq\f(21\r(3),32))．【错误警示】eq\r(（－3）2)＝eq\r(9)＝eq\r(32)＝3，选项A错误；eq\r(（±3）2)＝eq\r(9)＝eq\r(32)＝3，选项C错误；eq\r(32)＝3，选项D错误．故选B.赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼罗兰不要询问世界需要什么。问问什么事情可以使你活跃，然后付诸实践。因为世界需要活跃的人。----霍华德瑟曼大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。——李白不为外撼，不以物移，而后可以任天下之大事。吕坤《呻吟语应务》书，能保持我们的童心；书能保持我们的青春。严文井一个没有受到献身的热情所鼓舞的人，永远不会做出什么伟大的事情来。车尔尼雪夫斯基燕雀安知鸿鹄之志哉！——陈涉伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。——易卜生只有经过长时间完成其发展的艰苦工作，并长期埋头沉浸于其中的任务，方可望有所成就。——黑格尔坚强的信心，能使平凡的人做出惊人的事业。——马尔顿人们心神不宁是因为总是拿自己平淡不起眼的生活与别人光鲜亮丽的一面相比较。----史蒂文弗蒂克志当存高远。——诸葛亮老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。——曹操古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼燕雀戏藩柴，安识鸿鹄游。——曹植生当作人杰，死亦为鬼雄，至今思项羽，不肯过江东。——李清照穷且益坚，不坠青云之志。——王勃勿以恶小而为之，勿以善小而不为。惟贤惟德，能服于人。刘备大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。——李白古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼壮心未与年俱老，死去犹能作鬼雄。——陆游科学家的天职叫我们应当继续奋斗，彻底揭露自然界的奥秘，掌握这些奥秘便能在将来造福人类。约里奥.居里书是人类进步的阶梯，终生的伴侣，最诚挚的朋友。高尔基甘共苦书籍是全世界的营养品。莎士比亚人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小。车尔尼雪夫斯基志不强者智不达。——墨翟生当作人杰，死亦为鬼雄，至今思项羽，不肯过江东。——李清照燕雀安知鸿鹄之志哉！——陈涉未来是光明而美丽的，爱它吧，向它突进，为它工作，迎接它，尽可能地使它成为现实吧！车尔尼雪夫斯基志当存高远。——诸葛亮读书如饭，善吃饭者长精神，不善吃者生疾病。——章学诚人，只要有一种信念，有所追求，什么艰苦都能忍受，什么环境也都能适应。——丁玲壮心未与年俱老，死去犹能作鬼雄。——陆游一个没有受到献身的热情所鼓舞的人，永远不会做出什么伟大的事情来。——车尔尼雪夫斯基故立志者，为学之心也；为学者，立志之事也。——王阳明共同的事业，共同的斗争，可以使人们产生忍受一切的力量。——奥斯特洛夫斯基贫不足羞，可羞是贫而无志。——吕坤我们以人们的目的来判断人的活动。目的伟大，活动才可以说是伟大的。——契诃夫毫无理想而又优柔寡断是一种可悲的心理。——培根春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。——吴玉章生活的理想，就是为了理想的生活。——张闻天名言警句理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。——黑格尔一个能思想的人，才真是一个力量无边的人。——巴尔扎克我从来不把安逸和快乐看作是生活目的本身---这种伦理基础，我叫它猪栏的理想。——爱因斯坦人生应该如蜡烛一样，从顶燃到底，一直都是光明的。——萧楚女人生的价值，即以其人对于当代所做的工作为尺度。——徐玮路是脚踏出来的，历史是人写出来的。人的每一步行动都在书写自己的历史。——吉鸿昌但愿每次回忆，对生活都不感到负疚——郭小川人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！——奥斯特洛夫斯基你若要喜爱你自己的价值，你就得给世界创造价值。——歌德我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。鲁迅人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。——巴金傲不可长，欲不可纵，乐不可极，志不可满。——魏徵人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。席慕蓉我们是国家的主人，应该处处为国家着想。——雷锋不勤勉的人生便是罪过。无技艺的勤劳就是粗野。罗斯金金钱和时间是人生两种最沉重的负担，最不快乐的就是那些拥有这两种东西太多，我得不知怎样使用的人。约翰生不屈不挠的精神，是人生成功的法宝。获得幸福的惟一途径，就是忘掉目前的幸福，以除此之外的目的作为人生目标。米勒持续不断的劳动，是人生的铁律，也是艺术的铁律。巴尔扎克抽打自己的鞭子要掌握在自己的手里，在漫长的人生道路的每一步上，都要经常鞭策自警，万不可以为有过一两次抽打就可以沿途平安了。“自新应似长江水，日夜奔流无歇时。”魏书生处处热心的人生，是事事满意的人生。帕克尽管世界和人生是坏透了，其中却有一件东西永远是好，那便是青春。显克维奇奋斗就是生活，人生惟有前进。巴金你的态度跟这改变；态度改变，你的习惯跟着改变；习惯改变，你的性格跟着改变；性格，你的人生跟着改变。马斯洛人生，始终充满战斗激情。惠特曼既然人生，具有一切乐趣的全部人生，在我面前敞开来，又何必在这个狭窄的，闭塞的柜子里奋斗和劳作呢？列夫托尔斯泰人生，幸福不是目的，品德才是准绳。比彻人生，这是个庄得的字眼；人生，这两个字的内涵如大海浩瀚。它是权衡一个人身心价值的天平，是轻是重，是强是弱，在它面前，都免不了要受到公正的评判。佚名人生并非游戏，因此，我们并没有权利只凭自己的意愿放弃它。列夫.托尔斯泰人生包含着一天，一天象征着一生。佚名不能摆脱是人生的苦恼根源之一，恋爱尤其是如此。塞涅卡今日复今日，今日何其少！今日又不为，此事何时了？人生百年几今日，今日不为真可惜！若言姑待明朝至，明朝又有明朝事，为群聊赋《今日》诗，努力请从今日始！文嘉人生必有风险，所以引人入胜亦在于此。名人名言大全人生并不像火车要通过每个站似的经过每一个生活阶段。人生总是直向前行走，从不留下什么。刘易斯人生包括两部分：过去的是一个梦；未来的是一个希望。人生并非游戏，因此我们没有权利随意放弃它。列夫·托尔斯泰人生不得行胸怀，虽寿百年，犹为天也。何良俊人生百年，立于幼学。梁启超人生并非充满了玫瑰花，倒是有时路上的荆棘刺痛了你。巴尔扎克人生不得行胸怀，虽寿百岁犹为无也。南史人生不发行往返车票，一旦出发了就再也不会归来了。罗曼·罗兰人生不靠运气，而是看下棋的技术如何。佚名人生不可无梦，世界上做大事业的人，都是先由梦想来；无梦就无望，无望则无成，生活也就没兴趣。佚名人生不满百，常怀千岁忧。佚名不能“只为了爱——盲目的爱，——而将别的人生的要义全盘疏忽了”。鲁迅人生不是完全按照舞台上的原则来办事的。斯蒂文生人生不是一支短短的蜡烛，而是一支由我们暂时拿着的火炬，我们一定要把它燃得十分光明灿烂，然后交给下一代的人产。萧伯纳人生不是一种享乐，而是一桩十分沉重的工作。列夫·托尔斯泰人生当贵显，每谈布衣交。谁肯居台阁，犹能念草茅。陆次云人生不是自发的自我发展，而是一长串机缘。事件和决定，这些机缘、事件和决定在它们实现的当时是取决于我们的意志的。科恩励志名言人生不售来回票，一旦动身，绝不能复返。罗曼.罗兰对人生来说，健康并不是目的，但它是第一个条件。武者小路实笃人生大病，只是一“傲”字。王阳明人生的光荣，不在于永不言败，而在于能够屡扑屡起。拿破仑人生到世界上来，如果不能使别人过得好一些，反而使他们过得更坏的话，那就太糟糕了。艾略特人生得一知己足矣，斯世当以同怀视之。鲁迅人生的白纸全凭自己的笔去描绘。每个人都用自己的经历填写人生价值的档案。佚名人生的本质就在于运动，安谧宁静就是死亡。帕斯卡人生的长短不是以时间衡量的，而是以思想和行为去衡量。佚名人生的大骗子不是两个，而是三个：名、利、权。林语堂人生的道路和归宿，不是享乐也不是忧愁。努力啊，为了每一个明天，每个明天都比今天胜一筹。朗费罗人生的道路虽然漫长，但紧要处常常只有几步。佚名人生成功的秘诀是当好机会来临时，立刻抓住它。狄更斯不是境况造就人，而是人造就境况世上最重要的事，不在于我们在何处，而在于我们朝着什么方向走再冷的石头，坐上三年也会暖不要老叹息过去，它是不再回来的；要明智地改善现在。要以不忧不惧的坚决意志不要在失意者面前谈论你的得意——那样伤害你的人际关系。所谓天才，就是那些可以把一件事儿重复地做、不停地做，直到没有人比他更熟练为止的那些人……——俞敏洪即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步只要我们能善用时间,就永远不愁时间不够用。---德国诗人歌德成功决不喜欢会见懒汉，而是唤醒懒汉这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经别想一下造出大海，必须先由小河川开始今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。---裴斯泰洛不管一个人的力量大小,他要是跟大家合作,总比一个人单干能发挥更大的作用.——塞缪尔·巴特勒把活着的每一天看作生命的最后一天.－－海伦·凯勒不要不敢承认自己的错误。犯了错误并不是一种罪行，犯错不改才是罪过。只要路是对的，就不怕路远经营企业,是许多环节的共同运作,差一个念头,就决定整个成败.——松下幸之助一致是强有力的,而纷争易于被征服.——《伊索寓言》“世俗有时间是金钱”这句话，所以窃取他人时间的小偷，当然该加以处罚，即使是那些愉快的好人，还是该如忌讳疾病地躲避他们。---卡耐基没有失败只有暂时没有成功。不大可能的事也许今天实现，根本不可能的事也许明天会实现。先生不应该专教书，他的责任是教人做人;学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。---陶行知生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。马克思名人名言大全命运并不存在于一小时的决定中，而是建筑在长时间的努力、考验和默默无闻的工作基础上；这时的决定大致是可靠而坚实的，因为它立足于已经取得的成绩的基础之上，这些成绩不但是这个如何听