高中数学2-⒊学案：第二章 概率 2．5.2　离散型随机变量的方差与标准差 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。5.2离散型随机变量的方差与标准差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法,会利用公式求它们的方差．知识点一方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为X和Y，X和Y的概率分布如下：X012Peq\f（6，10)eq\f（1，10）eq\f（3，10）Y012Peq\f(5，10）eq\f(3,10)eq\f（2，10)思考1试求E(X），E（Y）．思考2能否由E(X)与E（Y）的值比较两名工人技术水平的高低?思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差和标准差设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布表如下:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①方差：V(X）＝σ2＝____________________________________________，其中，pi≥0，i＝1,2，…,n，p1＋p2＋…＋pn＝1。变形公式：V（X)＝eq\i\su（i＝1，n，x）eq\o\al(2，i)pi－μ2。②标准差：σ＝________.③意义:方差刻画了随机变量X与其均值μ的________程度．（2）方差的性质：V（aX＋b)＝________.知识点二两点分布、超几何分布与二项分布的方差1．两点分布:若X~0－1分布，则V（X）＝________________________________________________________________________.2．超几何分布：若X～H（n，M，N)，则V（X)＝eq\f（nMN－MN－n,N2N－1).3．二项分布：若X～B（n，p)，则V(X)＝__________.类型一求随机变量的方差例1在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止,求摸球次数X的均值和方差．反思与感悟求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤(1）理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值的概率．(3）写出X的概率分布．(4)由均值的定义求E（X）．（5)由方差的定义求V（X)．跟踪训练1甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0。6,被甲或乙解出的概率为0。92，（1）求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差．类型二两点分布与二项分布的方差例2某厂一批产品的合格率是98%。（1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；（2)从中有放回地随机抽取10件产品,计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．反思与感悟解此类问题,首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布,则其方差为p(1－p）；若其服从二项分布，则其方差为np（1－p）(其中p为成功概率）．跟踪训练2(1)已知随机变量X服从二项分布B(n，p），若E(X)＝30,V（X）＝20，则p＝________。(2）设ξ的分布列为P(ξ＝k）＝Ceq\o\al（k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3）））keq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，3)））5－k（k＝0，1，2，3，4,5)，则V(3ξ）＝________.1．已知随机变量X的概率分布为X－101Peq\f（1，2)eq\f(1,3）eq\f（1,6）则下列式子：①E（X)＝－eq\f(1，3)；②V（X）＝eq\f(23,27）；③P(X＝0）＝eq\f（1，3）。其中正确式子的序号为________．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则V(ξ）＝________。3．已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示,若E（X）＝0，V（X)＝1，则a＝________,b＝________。X－1012Pabceq\f（1，12)4。已知随机变量X～B(100，0.2)，那么V（4X＋3）的值为________．5．编号为1，2,3的三位学生随意入座编号为1，2,3的三个座位,每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ）和V（ξ）．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差V(X）或标准差eq\r(VX)越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小;方差V（X)或标准差eq\r（VX）越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤（1）理解X的意义，写出X的所有可能的取值；（2）求X取每一个值的概率；（3)写出随机变量X的概率分布；（4）由均值、方差的定义求E(X)，V（X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布,可根据公式直接计算E(X)和V（X)．

答案精析问题导学知识点一思考1E（X）＝0×eq\f(6，10)＋1×eq\f(1，10)＋2×eq\f(3，10）＝eq\f(7,10），E(Y）＝0×eq\f（5,10）＋1×eq\f(3,10）＋2×eq\f（2，10）＝eq\f（7，10).思考2不能，因为E（X)＝E（Y）．思考3方差．梳理(1）①(x1－μ)2p1＋（x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn②eq\r(VX）③平均偏离(2)a2V（X)知识点二1．p(1－p）3.np(1－p)题型探究例1解X的可能取值为1,2，3,4,5。P(X＝1）＝eq\f(1，5),P(X＝2）＝eq\f（4，5）×eq\f(1,4）＝eq\f（1,5)，P(X＝3)＝eq\f(4,5）×eq\f(3,4)×eq\f（1，3）＝eq\f(1，5),P(X＝4)＝eq\f(4,5）×eq\f（3，4）×eq\f（2,3）×eq\f(1,2)＝eq\f(1，5)，P(X＝5）＝eq\f（4,5）×eq\f（3，4）×eq\f（2，3）×eq\f（1,2）×1＝eq\f(1，5)。∴X的概率分布为X12345Peq\f（1，5)eq\f（1，5)eq\f（1，5)eq\f（1，5）eq\f（1,5)由定义知，E（X）＝eq\f(1，5)×(1＋2＋3＋4＋5）＝3，V（X)＝eq\f(1，5）×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.跟踪训练1解（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B。设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，则P（A)＝P1＝0.6，P（B）＝P2，∴P(A＋B）＝1－P(eq\x\to(A）eq\x\to(B))＝1－（1－P1)·（1－P2)＝P1＋P2－P1P2＝0。92，∴0。6＋P2－0。6P2＝0.92，则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8。(2）P(X＝0)＝P（eq\x\to（A)）·P(eq\x\to（B))＝0。4×0.2＝0.08，P（X＝1）＝P（A)P(eq\x\to(B）)＋P（eq\x\to(A))P（B)＝0.6×0。2＋0。4×0。8＝0。44.∴X的概率分布为X012P0.080.440。48E(X）＝0×0.08＋1×0.44＋2×0。48＝0。44＋0。96＝1.4，V（X）＝（0－1.4)2·0。08＋（1－1.4）2·0.44＋（2－1.4）2·0.48＝0。1568＋0.0704＋0。1728＝0.4。例2解(1)用ξ表示抽得的正品数,则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0。02，P（ξ＝1）＝0。98,所以V(ξ）＝p（1－p）＝0.98×(1－0。98）＝0.0196.(2）用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98），所以V(X）＝10×0。98×0.02＝0.196,标准差为eq\r（VX）≈0。44.跟踪训练2（1）eq\f(1,3）(2）10解析（1)由题意知，eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝30,，np1－p＝20，))解得p＝eq\f（1，3）。(2）由题意知，ξ～Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(5，\f（1，3））)，则V(ξ)＝5×eq\f(1，3）×eq\f(2,3)＝eq\f(10，9），所以V（3ξ)＝9V（ξ）＝9×eq\f（10，9）＝10。当堂训练1．①③2.eq\f(15，8)3。eq\f(5，12)eq\f（1，4)4。2565．解ξ的所有可能取值为0，1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3，1或3,1，2的学生，则P（ξ＝0)＝eq\f（2,A\o\al(3，3））＝eq\f（1，3)；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P（ξ＝1)＝eq\f(C\o\al（1,3），A\o\al(3,3)）＝eq\f（1，2）；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P（ξ＝3）＝eq\f(1,A\o\al（3,3)）＝eq\f(1，6）。所以ξ的概率分布为ξ013Peq\f（1,3)e