高中数学1-1学案：第二章 §2.5 圆锥曲线的共同性质 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精[学习目标］1。了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。知识点一圆锥曲线的统一方程在平面直角坐标系中，有定点F（c，0）,定直线l：x＝eq\f（a2,c)(a>0，c〉0），圆锥曲线上任意一点P(x，y），定义点P到点F的距离为PF，点P到直线l的距离为d，则称eq\f（PF,d）＝e(e为离心率，且e＝eq\f(c，a)）为圆锥曲线的统一方程.0〈e〈1时，它表示椭圆；e〉1时，它表示双曲线；e＝1时，它表示抛物线.知识点二圆锥曲线的共同性质对于椭圆eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a〉b〉0）和双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a>0，b>0)中，与F（c,0）对应的准线方程是l:x＝eq\f（a2,c），与F′(－c，0)对应的准线方程是l′:x＝－eq\f(a2,c)；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为y＝±eq\f(a2，c)。题型一统一定义的简单应用例1椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f（y2，9）＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距离为________.答案8解析如图所示,PF1＋PF2＝2a＝10，e＝eq\f（c,a）＝eq\f(4,5)，而eq\f(PF1,2。5)＝e＝eq\f(4，5），∴PF1＝2,∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.反思与感悟椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用.一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题,应自然联想到椭圆的第一定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题,应自然联想到椭圆的第二定义;若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行.跟踪训练1若双曲线eq\f(y2,64)－eq\f(x2，36)＝1上一点P到双曲线上焦点的距离是8,那么点P到上准线的距离是________.答案eq\f（32，5）解析由eq\f(8,d）＝eq\f（10，8)，得d＝eq\f(32,5）.题型二应用统一定义转化求最值例2已知椭圆eq\f（x2,8)＋eq\f（y2，6)＝1内有一点P（1,－1），F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MP＋2MF之值为最小.解设d为M到右准线的距离。∵e＝eq\f(c,a）＝eq\f（1，2），eq\f(MF,d)＝eq\f(1,2)，∴eq\f（MF,\f（1,2)）＝d，即d＝2MF（如图)，故MP＋2MF＝MP＋d≥PM′.显然，当P、M、M′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为（eq\f(2，3)eq\r(15)，－1)。反思与感悟本例中，利用椭圆的第二定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决.一般地，像本例这样的问题，若“MF”含有系数，则应考虑用第二定义求解;若不含有系数，则应考虑用第一定义求解。跟踪训练2已知点A（3,2）,F(2，0），在双曲线x2－eq\f（y2,3)＝1上是否存在一点P，使PA＋eq\f(1,2)PF的值最小？解∵a＝1，b＝eq\r（3）,∴c＝2，e＝2.∴F即为焦点。设点P到与焦点F(2，0）相应的准线的距离为d，则eq\f(PF,d)＝2，∴eq\f（1,2）PF＝d,∴PA＋eq\f(1,2）PF＝PA＋d，此时问题就转化为在双曲线上求点P,使点P到定点A的距离与到准线的距离的和最小,即直线PA垂直于准线时符合题意,∴点P的坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r（21），3）,2)）.题型三圆锥曲线统一定义的综合应用例3已知A、B是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，\f(9，25）a2）＝1上的点，F2是右焦点，且AF2＋BF2＝eq\f(8，5）a，AB的中点N到左准线的距离等于eq\f（3,2)，求此椭圆方程.解设F1为左焦点，连结AF1，BF1，则根据椭圆定义有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－（AF2＋BF2）＝4a－eq\f（8，5）a＝eq\f(12,5)a.再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理有d1＋d2＝2d3＝3，而已知b2＝eq\f（9，25)a2，∴c2＝eq\f(16，25)a2,∴离心率e＝eq\f(4，5），由第二定义AF1＝ed1,BF1＝ed2,∴AF1＋BF1＝eq\f（12，5）a＝e（d1＋d2)＝eq\f(12，5），∴a＝1，∴椭圆方程为x2＋eq\f(y2，\f（9，25))＝1。反思与感悟问题涉及曲线上的点到焦点的距离时,应考虑用曲线的第一定义.若问题涉及曲线上的点到焦点和对应准线的距离时，应考虑第二定义。本例综合运用了第一定义和第二定义，充分体现了定义在解题时的作用。跟踪训练3设P（x0，y0)是椭圆eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a>b〉0）上任意一点，F1为其左焦点。（1）求PF1的最小值和最大值;(2)在椭圆eq\f(x2,25）＋eq\f(y2，5）＝1上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直.解(1）对应于F1的准线方程为x＝－eq\f(a2，c),根据椭圆的第二定义：eq\f（PF1，x0＋\f（a2,c）)＝e,∴PF1＝a＋ex0。又－a≤x0≤a，∴当x0＝－a时,（PF1）min＝a＋eq\f(c，a)×（－a)＝a－c；当x0＝a时,（PF1)max＝a＋eq\f（c,a）·a＝a＋c。（2）∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20,e2＝eq\f（4，5)。∵PFeq\o\al（2,1)＋PFeq\o\al(2，2)＝F1Feq\o\al（2，2)，∴（a＋ex0)2＋（a－ex0）2＝4c2.将数据代入得25＋eq\f(4,5)xeq\o\al（2,0)＝40.∴x0＝±eq\f（5\r（3），2）.代入椭圆方程得P点的坐标为(eq\f(5\r(3),2),eq\f(\r（5）,2）)，(eq\f(5\r(3）,2），－eq\f(\r（5)，2)）,（－eq\f(5\r(3）,2），eq\f（\r(5)，2））,(－eq\f(5\r(3),2）,－eq\f（\r（5）,2））。1.若双曲线eq\f(x2，13)－eq\f（y2,12)＝1上一点P到右焦点的距离等于eq\r（13）,则点P到右准线的距离为________。答案eq\f（13，5）解析a＝eq\r（13），b＝2eq\r（3)，c2＝25，c＝5。∴e＝eq\f(5,\r（13))，P到右焦点的距离为eq\r(13），则它到右准线的距离d＝eq\f（\r(13），5)×eq\r（13）＝eq\f（13，5）.2.已知椭圆方程为eq\f(x2，16)＋eq\f（y2,12)＝1，右焦点为F，A(2，1)为其内部一点,P为椭圆上一动点，使PA＋2PF最小，则P点坐标为__________.答案eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2\r（33），3),1））解析由题意得a＝4,b＝2eq\r(3)，∴c＝2，e＝eq\f（c,a)＝eq\f（1，2），由统一定义知2PF即为P到右准线的距离,因此，要使PA＋2PF最小，P点除了应在y轴的右侧外,还要使AP垂直于准线，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝1，,\f（x2,16)＋\f(y2，12)＝1）)解得P点坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2\r（33)，3),1)).3。已知F1、F2是椭圆的两个焦点.满足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→）)＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.答案（0,eq\f（\r(2），2）)解析∵eq\o（MF1，\s\up6(→））·eq\o(MF2，\s\up6(→））＝0，∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，设点P为椭圆上任意一点，则OP>c恒成立,由椭圆性质知OP≥b，其中b为椭圆短半轴长，∴b>c,∴c2〈b2＝a2－c2,∴a2>2c2，∴（eq\f(c，a)）2<eq\f（1，2),∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r（2），2）.又∵0<e<1，∴0<e<eq\f（\r（2),2）。1。当题目中出现圆锥曲线上的点与焦点的距离即焦半径,焦点弦长有关问题时，常利用圆锥曲线的统一定义（即第二定义)，转化为点到准线的距离来研究。2.一