“平面向量”教学思考-2019年精选文档

“平面向量”教学思考向量是高中数学新课程中的重要内容， 因此在教学中要注重加强数形结合的思想，利用向量思想来解决其他数学问题， 使数学知识增添新的活力.向量是集数、形于一身，是沟通代数、几何的桥梁 .一、挖掘课本内涵教材为了达到“少而精”的教学原则，其中的“省略语或词”的背后往往隐含着许多知识，挖掘其内涵，严密解释，有利于研究性学习.如a∥b（b≠0）当且仅当x1y2-x2y1=0.新教材的推导过程如下：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0.那么通过教材前面的知识可以知道，a∥b（b≠0）的充要条件是存在当且仅当存在实数，使a=b.这个结论如果用坐标表示，可写为（x1，y1）=λ（x2，y2），即x1=λx2，y1=λy2.消去λ后得x1y2-x2y1=0.这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b（b≠0）共线.针对上述：x1=λx2，y1=λy2，消去λ后得x1y2-x2y1=0的过程，学生基本上会用两种方法：1.（1）÷（2）式可得=，即x1y2-x2y1=0 ；2. 由（1）式得λ=，代入（2）式得y1=y2，即x1y2-x2y1=0.在讲授内容时，不要也像教材那样一笔带过，而要挖掘课本内涵，充分利用这种机会培养学生严密的逻辑思维， 应该在学生得出上述过程的基础上进行引导、启发 .这样效果会更好：因为b≠0，所以x2与y2中至少有一个不等于0，不妨设x2≠0，则由（1）式得λ=，代入（2）式得y1=y2，即x1y2-x2y1=0.又如教材上有这样一句话，“想一想：向量的数量积满足结合律吗？”我们知道，对于实数 a、b、c，有（ab）c=a（bc）但对于向量a、b、c可从两方面考虑.一方面，从数量积的角度考虑，（a?b）?c与a?（b?c）都没意义，当然更谈不上相等.事实上，a?b是一个实数，实数与向量不存在数量积.另一方面，从数量积与向量积的角度考虑，（a?b）?c≠a?（b?c），这是因为（a?b）?c表示一个与c共线的向量；而a?（b?c）表示一个与a共线的向量，a与c一般不共线.此外，还可以探索（a?b）?c=a?（b?c）成立的条件，以开拓思路.二、利用向量证明不等式利用向量数量积公式： p、q=|p|?|q| ，（为向量p、q的夹角），显然p、q=|p|?|q|cos ？夼≤|p|?|q| ，等号在：p，q共线且同向时成立.通过观察，对所给不等式的结构，设法构造出合理的向量，利用数量积可以巧妙地证明不等式 .用向量证明不等式是高中阶段的典型应用之一.例1：设a、b、c、d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.证明：方法一：（ad）2+（bc）2≥2（ad）?（bc），两边同时加上a2c2，b2d2有（a2c2）+（b2d2）+（ad）2+（bc）2≥2abcd+（a2c2）+b2d2，所以，a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥（ac+bd）2.即：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.得证.方法二：利用向量知识证明 .设p=（a，b），q=（c，d），p，q夹角为？夼，利用 p、q=|p|×|q|cos？夼≤|p|?|q| ，有（p、q）2=（|p|?|q|?cos ？夼）≤|p|2?|q|2 ，所以，（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.得证.方法一采取常规做法，运算复杂，特别是配凑不易掌握，而方法二中，只要合理地构造出 p、q，利用向量数量积，不等式便可水到渠成，巧妙证明.类似的，通过向量方法也可证明（a3+b3）2≤（a4+b4）a2+b2）.例2：已知x，y，z=1，求证：x2，y2，z2≥.证明：设p=（1，1，1），q=（x，y，z）.可得，p、q=x+y+z=1，|p|?|q|=? ，利用p、q≤|p|?|q| ，有3（x2+y2+z2）≥1.所以，x2+y2+z2≥.向量本来就是“形”与“数”的结合体，只要充分利用就会给解题带来新的增长点，从而提高学生的综合驾驭能力和新课标中倡导的辩证思维能力.三、利用向量解决函数问题函数问题一般都可以利用函数的知识来解决，在数学教学过程中，如果能用向量方法处理函数问题，那么相应问题的解法就会简化、漂亮、独特.最重要的是我们达到了一题多解的目的，而且反复应用能帮助学生深入理解向量概念， 熟悉掌握向量的运算，加强数学知识之间的联系，更能从中学到数形结合、转化变形等重要的数学思想 .例3：求函数y=- 的最大值.分析：先将上式化简， y=-=- ，此时，自然地想到构造两个向量，p=（x-2，4），q=（x+2，1），则y=|p|-|q|≤|p-q|=5，当且仅当p、q同向共线时，上式等号成立.x-2=4（x+2），解得x=-.所以，ymax=5，此时x=.例4：求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最值.分析：原函数可变成 y=2+sin2x+cos2x，所以只需求u=sin2x+cos2x

的最值即可

.常规方法是在等式右端提出 ，化成两角和的正弦或余弦，再利用三角函数的最值解决 .也可用向量方法：构造 p=（sin2x，cos2x），q=（1，1），则|sin2x+cos2x|=|pq| ≤|p|?|q|=. 所以，ymax=2+，ymax=2-.

由以上两题看到，采用向量计算不失为一种好方法，重点在于根据题意构造向量 .利用向量的数量积来解决新教材中增加的“简单的线性规划”问题，可使目标函数的几何意义更加直观、明确，形成了“看图说话 +简单计算”的模式，自然流畅，让人耳目一新.

形如的目标函数，可以把它看成平面内的向量

=（a，±b）与向量=（x，y）的数量积，即

Z==||||cos

∠MON因.为||

为定值，所以Z的最值主要是由||cos∠MON决定的，即 在|方向上的投影.向量知识为解决中学数学问题增加了新的方法， 利用平面向量解决问题关键是根据问题特点，巧妙构造向量，再用向量的有关知识，往往使问题化难为易，化繁为简.在教学中适当引入，就能更好地体现各知识的交汇，也能增强学生学习数学的兴趣.四、向量与动点轨迹向量的本质就是平面几何问题.向量作为一种有向线段本身就是直线上的一段，且向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示，因而使向量与解析几何保持着一种天然联系.在教学中利用向量思想方法来处理教材中的问题，不仅拓展了学生的思维，而且更能让学生体会到用向量解题的特点，产生更深层次的感悟和把握.还有许多解析几何的问题，只要适当的使用向量知识，往往起到事半功倍的效果 .例5：如图1-1，给出定点A（a，0）和（a>0）直线l：x=-1，是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程.分析：本题因为涉及到角平分线的知识，使得问题复杂化了 .审题后，往往不知从何下手.此时，若想到采用平面向量的运算和性质，便可迎刃而解.设B（-1，t），则=（-1-a，t），从而直线AB的方程为：=（1）.因为=（a，0），=（-1，t），则直线的方向向量为： =+=（1，0）+（，）=（，）.故直线的方程为：=（2）.化简（1）、（2）并消去t 得直线的方程：（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0，（0≤x此题采用向量解法新颖而不脱离基础，是意料之外，情理之中的创新思想，为题海战术所不能及，解答时无需高难度的技能技巧和复杂的计算.平面解析几何是在平面直角坐标系的框架下用代数的方法来研究图形的几何性质，素来有“方法易得，结果难求”的特质.平面解析几何和平面向量对学生知识贯通、能力融汇、思维形成有着一脉相承的作用.把向量方法的抽象性和概括性应用到几何问题的研究中，既能锻炼学生应用