第章几何变换

《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军1

对已生成的图形改变大小、方向及形状，使简单图形组合成复杂图形、静态图形转成动态显示，等，这需要通过几何变换实现。第3章几何变换《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军23.12维基本几何变3.23维基本几何变换3.3参数图形的几何变换3.4模型变换和坐标系变换3.5OpenGL几何变换《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军33.12维基本几何变换

主要有平移、旋转、比例，以及对称、错切等。2维图形是由点组成的，对2维图形实施的几何变换最终可归结为对点的变换。一个点坐标(x,y)可用矩阵行向量或列向量

表示。

用P=［xy］表示变换前的原始点P(x,y)，表示变换后的新点P′(x′,y′)。《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军43.1.12维几何变换的一般表示

1.平移变换txtyOXY《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军53.1.12维几何变换的一般表示

1.平移变换从原始位置P(x,y)平移到新位置P′(x′,y′),有

x′=x+tx,y′=y+ty用矩阵形式表示为［x′y′］=［xy］+［txty］即P′=P+Tt(3-1)其中，Tt=［txty］为平移变换矩阵。《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军62.旋转变换点P(x,y)绕原点逆时针旋转θ角得到新点P′(x′,y′),得(x,y)(x’,y’)rrPP’OXY《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军72.旋转变换矩阵形式表示:即

P′=P·Tr(3-2)其中为旋转矩阵。

《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军8sx=2sy=1sx=1sy=2sx=sy=23.比例变换《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军93.比例变换点P(x,y)到新点P′(x′,y′):

x′=x·sx,y′=y·sy矩阵形式

即P′=P·Ts(3-3)其中，

为比例矩阵。

《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军10sx=sy=1恒等变换，图形大小、位置不变；sx=sy＞1图形放大，形状相似，远离原点；sx=sy＜1图形缩小，形状相似，靠近原点；sx≠sy，sx＞1，sy=1图形的形状/大小/位置均改变。《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军11反射变换或镜像变换，是指一个图形绕某一轴翻转180°，生成新图形过程。矩阵形式为

P′=P·Tm(3-4)其中,Tm为相应的变换矩阵。如表4-2。4.对称变换关于x轴对称：x′=x，y′=-y；y轴对称：x′=-x，y′=y；原点对称：x′=-x，y′=-y；

y=+x对称：x′=y，y′=x；y=-x对称:x′=-y，y′=-x。《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军125.错切变换剪切变换或错移变换。使图形单独沿x或y轴方向相对错位滑动而改变形状，形成新的图形；同时使图形沿x和y方向错移形成复合错切。《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军13沿x方向错切:

x′=x+cy,y′=y矩阵形式:

即P′=P·Tshx(3-5)其中,

为沿x方向关于y的错切矩阵.

c＞0，图形沿+x方向错切；c＜0，沿-x方向错切。《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军14沿y方向错切:

x′=x,y′=y+bx矩阵形式:即P′=P·Tshy(3-6)其中,

为沿y方向关于x的错切矩阵.b＞0,图形沿+y方向错切；b＜0,沿-y方向错切。《交互式计算机图形学》南京航空航天大学伍铁军15为沿x、y方向

关于y、x的复合错切矩阵.《交员互式偶计算狭机图弟形学偶》食南京箩航空逐航天肯大学允伍铁外军163.饲1.茂2齐次盯坐标盆表示1.为什遭么要壤引入景齐次挤坐标吃？P′粮=P嘉+Ｔt棍(平移西变换个)P′彻=P洋·Ｔr绩(旋转球变换刚)P′忆=P挑·Ｔs施(比例敲变换宁)P′脾=P畜·Ｔm垮(对称先变换基)P′泪=P棉·Ｔsh秆(错切陈变换龙)1）犁为了姥变换栏矩阵茄形式蔽的统佛一表戚示：P′泊=P·Ｔ揭(3-拉7)2）钟齐次翅坐标茎还可待方便咽地表疑示无典穷远钱点。《交北互式闹计算醒机图揭形学深》杀南京固航空坐航天电大学绿伍铁食军17将一政个n维空脉间的狼几何软问题困转换袋到n+络1维空沙间中玩解决花。即，著用n+辫1维向才量表轰示一内个n维向镰量的脊方法址。如P(双p1,p2，…担，pn)炉(h顿p1,h购p2，…揉，h贵pn,h瓦)一个软2维将点(x,师y)的齐汤次坐拒标表扬示为找(hx言,h平y,绢h)扩，其中h是任要一不普为0裳的比障例系出数(脑哑坐免标)饿。齐次取坐标令的表唐示是剂不唯蒜一的：如添齐次雄坐标鸦(h1x,摊h1y,液h1)、昼(h2x,体h2y,趣h2)、…、(同hmx,夏hmy,竭hm)均表例示2迈维空太间中半的同倡一点哀(x,面y)猎。2.枝齐背次坐秀标定若义《交际互式匙计算极机图铁形学适》予南京庸航空巷航天窜大学她伍铁罚军18通常姿取(x,鉴y,器1)表示侍2维杆平面州中一妈个未这变换鞭点的枯齐次沃坐标访；当h=饿1时，侄称之姿为规布范化钉齐次鼻坐标以。引入宝齐次特坐标勇后,骂基丽本几蜂何变眉换矩肆阵为侍３×扭３阶宗矩阵静形式:(3尖-8墨)变换它后的吗新点第用三骂个分规量的乒齐次蔑坐标榜(X,辫Y,煮H)表示［X岁Y令H咏］=停［x估y揭1眯］T《交氏互式刺计算史机图闻形学隙》妥南京弯航空麻航天桐大学零伍铁嚷军19变换蓄后新虽点的铃2维品坐标茶为x′恳=X瞧/齿H承,塑y戴′=Ｙ/奶Ｈ表示2维点援在3宗维空泻间中钥变换欠后,全回熟到2据维平着面中刷观察病变换匠结果魂。霉齐次湿坐标或表示便无穷他远点辅：只要众令H=杯0。例如完，2炮维齐翠次坐童标［xiyi0］茫(i税=1滥,2唯,…n)表示拐平面xy上处塑于无邀穷远弄的一特系列减点构鲜成的绑一个丝式无限世区域弄。《交若互式症计算北机图密形学吗》希南京逝航空脱航天稻大学摘伍铁壮军202维基本驳变换俗矩阵简如表众4-班3平移获变换袄矩阵TT旋转变换负矩阵3.衔2载维基培本几萄何变傲换的望齐次门坐标御表示《交考互式现计算伞机图驴形学慨》丈南京照航空右航天碍大学区伍铁攀军21比例盖变换僵矩阵对称垂变换泥矩阵错切邀变换滑矩阵《交侦互式娃计算临机图由形学桑》酸南京凯航空喇航天合大学好伍铁虫军22四个姻子矩旷阵的告作用爆:T＝ab

pcd

qlms旋转径、比配例、壶对称乔、错组切投影册变换平移整体样比例这些卷子变泰换均蠢是相卷对坐扰标原铅点的大几何检变换毛。《交电互式贺计算春机图述形学馅》仇南京滥航空负航天远大学禁伍铁嘴军234.视组合删变换变换分解变换合成是指天若干尾个基许本几隐何变墨换的逢级联渴。过也程实铃质：T=垦TT(-恭xr，-舒yr)•TR(θ)算•脸TT(xr，yr)例1丛：关于挺任意染参照鼻点的闯旋转粥变换《交芹互式商计算医机图猴形学刊》渗南京墙航空肠航天慰大学宣伍铁霜军24例2竭：关于吓任意咽参照饮点的寸缩放疗变换T=泛TT(-租xr，-标yr)•TS(sx，sy)娇•TT(xr，yr)《交抹互式霜计算纹机图让形学比》乱南京烧航空恢航天蕉大学暗伍铁悲军25例2崭：关于四任意同轴的逗对称症变换《交辜互式怖计算炸机图胜形学乓》心南京木航空衰航天叶大学证伍铁少军26变换耕顺序才不能独互换待（矩捏阵乘剖法不垫可交丹换）TR(4驾5)蹲;TT(1首,0碌);TT(1物,0这);TR(4断5)触;结果街不同《交兴互式辞计算清机图俩形学驾》旁南京谷航空雅航天舒大学培伍铁岸军273.帮2挑3维基方本几杨何变摩换abcpdefqghirlmnsT＝(3-学1)将2稍维基誓本几轮何变夹换齐行次坐寄标表绳示拓德广到宾3维肢空间历中，贱描述优3维娘空间鼻对象老基本修几何植变换谈的变倚换矩上阵用氏4×涝４方豪阵形梯式表闪示：《交烂互式光计算快机图受形学晴》妨南京宫航空莲航天纹大学平伍铁碎军28四个扯子矩喂阵：含旋笛转、隐比例触、对惹称、现错切熔等变扒换功沈能；实现挑平移宵变换狸；蛛产生盲投影帖变换碍；整琴体比阁例变芳换。这四独个子真矩阵祸的几宪何变最换均督是相况对坐春标原钢点的巾。(5胀-2闷)(1窗)蛛平移剧变换《交纱互式亲计算逮机图冷形学捕》字南京立航空盘航天谁大学帮伍铁腊军29由P′娇＝P·T得新言空间妹点P′的三搜个坐赠标x′很＝x垄＋t似x，喂y′恐＝y首＋t霞y，粒z′循＝z迟＋t岸z比例抚变换成矩阵搅为(5额-9)参数sx、sy、sz是以李原点变为中翻心时行分别为沿x、舟y、压z轴方内向的找缩放会比例稳系数底。当sx＝sy＝sz＝s时，(2壶)比例篇变换《交榆互式栋计算侦机图根形学丘》用南京牙航空述航天亦大学医伍铁熔军30表示山对象善相对猛于原欺点，木沿x、贺y、回z轴方送向作结等比拾例均饰匀放拾大或帆缩小拐，物然体形洽状保诊持不议变。幼例6凶-1别写残出相投对于短原点淘外一布点(x0,y0,z0)的比狗例变割换矩驰阵。变换云分三既步:从给着定点赴到原聚点的弦平移滋变换TT1(-贸x0,-桑y0,-如z0);相对父于原推点的气比例过变换TS(s幕x,仔sy上,s画z)酿;给定艘点返吉回原灯始位富置的椒平移羞变换TT2(x0,y0,z0)。整个后变换为矩阵卫为:T＝暖TT1·TS·TT2《交沫互式筹计算券机图导形学伙》登南京凯航空伸航天歪大学散伍铁虫军313维醒旋转附变换轻时,珍须明窃确对岭象绕粗什么射轴、维按什沾么方摘向旋浆转。苦约定因：对稀象绕后逆时轧针旋弹转时庙,旋兵转角粪度为衔正值融;反验之为坟负值桃。1)像绕x轴逆廉时针敞旋转α角空间菊点绕x轴逆坦时针牙旋转李相当叼于YO像Z平面灾上的葱点作种2维涛逆时杀针旋拿转。变换地矩阵孔为(3-鱼10种)(3窄)旋转邀变换《交架互式怀计算壳机图兆形学秩》枣南京捡航空跃航天稀大学需伍铁奸军322)殊绕y轴逆袖时针背旋转β角相当幅于ZO封X平面蛾上的脸点作匹2维斩逆时泼针旋没转。擦变换玩矩阵牺为(3-下11妇)《交扒互式鱼计算棉机图洁形学扭》定南京宰航空敢航天私大学否伍铁弓军333)绕z轴逆虾时针母旋转γ角相当讽于XO颜Y平面扩上的懂点作菠2维靠逆时共针旋互转。泉变换皇矩阵桑为(3-价12签)《交魂互式多计算刻机图组形学厦》盯南京绩航空纯航天炊大学色伍铁但军34表3-1旋转角正负的确定类型右手坐标系左手坐标系对象逆时针正负顺时针负正坐标系逆时针负正顺时针正负《交葵互式关计算随机图崭形学雅》虫南京粥航空佛航天弯大学出伍铁喂军35例3-稳2设空懒间线似段AB与z轴成β角，礼其水促平投招影与x轴成α角,落求空锄间点P绕AB旋转θ角的贺变换仇矩阵TAB。αββABPXYZOABB《交液互式净计算逝机图韵形学这》欠南京吧航空弱航天笑大学滋伍铁举军36整个鹿变换佛过程悦为；1)叶将AB和P点平检移，泛使A点与向坐标英原点型重合茅；2)籍将AB和P点绕z轴顺卷时针将旋转α角，卵与ZO蜻X平面率重合格；3)锈将AB和P点绕y轴顺锋时针拾旋转β角，垮与z轴重票合；4)P点绕AB萍(绕z轴)胳转θ角；5)踩作3艰)～腰1)悠的逆摄变换丛，将AB返回饼原来敌位置农。《交让互式蝇计算穴机图练形学厚》栏南京津航空种航天组大学乞伍铁拜军371)篮相对扛于XO皮Y平面亏的对诵称变援换点P(款x,工y,狭z)的x、棵y坐标津不变里,z坐标角取反赢。变引换矩卖阵为(4体)对储称变浇换(3-穷13)《交送互式施计算兵机图蠢形学旁》闲南京把航空墨航天耽大学融伍铁株军382)有相对阀于YO夏Z平面唉的对迟称变森换点P(魄x,层y,臭z)的y、施z坐标渗不变弦,x坐标绢取反萌。变永换矩庸阵为(3务-1点4)《交冠互式仰计算给机图浙形学裙》诸南京捎航空妥航天嫂大学赛伍铁督军39(3-宪15班)3)闸相对根于ZO筒X平面楼的对棕称变零换点P(杨x,目y,园z)的z、怒x坐标休不变作,y坐标垄取反晒。变省换矩抬阵为《交匀互式讨计算垃机图医形学竖》荐南京占航空蓬航天顿大学抚伍铁训军404)师相对先于原乳点的新对称滨变换点P(臣x,任y,汽z)坐标杯都取丧反。情变换帆矩阵挨为(3-速16惜)思考幻玉：若最空间延点相乐对于懒任一泄平面刻作对奋称变鼠换？《交尸互式价计算狠机图方形学怨》在南京评航空淘航天代大学源伍铁痰军41错切聚变换拾的变因换矩印阵为(5逗-1应3)(5垃)错汉切变祖换《交樱互式朝计算较机图址形学灵》躲南京逼航空女航天遣大学委伍铁溉军42点P(但x,幕y,突z)错切四变换絮后的P′坐标饭为x′威＝x零＋d目y＋籍gzy′芬＝y堆＋b题x＋鞠hzz′粉＝z钻＋c喷x＋艺fy式中密，b、赴c是关滤于x的错猾切系祝数；d、万f是关努于y的错嫂切系懂数；g、塑h是关胞于z的错视切系飘数。当d、恨g中至偷少有忧一个姥不为粪零时适，沿x方向热有错哪切；当b、封h中至每少有盘一个妨不为辱零时另，沿y方向馒有错闭切；当c、旨f中至岭少有券一个聋不为询零时万，沿z方向谨有错酸切。《交婶互式攻计算绝机图言形学贪》辞南京生航空预航天声大学炕伍铁损军433.普3参数财图形品的几已何变久换圆锥注曲线检的几居何变聋换参数躲曲线趣、曲渗面的岛几何惯变换《交运互式歉计算妇机图厚形学姜》坡南京惑航空瘦航天蠢大学休伍铁喇军44模型坐标庄系(Mo占de茫li赚ng组C耽oo希rd临in缸at阿e)物体痕的局页部坐壮标系特（自傅身坐毙标系家）对于切定义舅的每槽个形芳体或至体素昂都有绪各自军的坐诊标原炕点和浸长度浙单位触，可竞以方姐便形颤体和夜体素骗的描归述。在模士型坐荐标系出中物弃体的乖表示垄简单咳。3.日4模型垒变换慰和坐编标系帖变换1.闯模烫型变旋换《交锻互式球计算齐机图县形学仿》都南京运航空恶航天反大学容伍铁勤军45xyzoonvu《交醒互式占计算械机图章形学沈》调南京逗航空核航天购大学关伍铁雅军46模型嗓变换右：定义歼在自军身坐令标系瘦(局界部坐说标系缎)中示的体白素（刃或构首件）帆，经柔过旋耗转、标平移练等变及换操薪作被迎统一窝定位菠到世咬界坐立标系竞中，蚕组成筑复杂裤的几单何模爱型。将物狂体从敬本身廊的模揭型坐似标系滩变换挣到上更一层练物体妇的模票型坐凶标系崖（或秒世界板坐标达系）屑的几拔何变湿换。模型变换1《交杂互式乖计算纽奉机图绵形学集》腿南京轧航空萝航天冈大学惕伍铁穴军47XZOxyzoonvuXZ《交涌互式刃计算很机图物形学兽》败南京猎航空婶航天跃大学冻伍铁蹄军48要得盾到同躁一对毕象在硬不同味坐标杂系中畜的表风示，晒需要副建立骆坐标槐系之榜间的惑变换屡（将细图形咽从一葵个坐亚标系服中变晶换到努另一协个坐洁标系泼中）慕。xyuvnoxyozuvnz2.澡坐够标系敬变换《交骂互式阶计算聚机图沸形学握》演南京食航空夜航天盛大学场伍铁邮军49《交畏互式枝计算叶机图位形学势》邪南京密航空柱航天框大学楼伍铁呼军50

100001000010-XR-YR-ZR1uxvxnx0uyvyny0uzvznz00001TWt忧oV=TT.TR（态X，梢Y，气Z）=《交促互式些计算率机图座形学布》右南京载航空虏航天登大学程伍铁烦军513.布5留Op高en逮GL几何曾变换《交客互式浩计算秒机图苏形学侮》除南京殿航空熟航天返大学塘伍铁勾军52vo朝id雕g枣lL历oa也dM娱at掘ri钻x{参fd捷}(同co耀ns并t死TY泽PE杰*浙m)设置妥当前变矩阵椒中的现元素稠值。混函数抓参数类*m是一代个指福向1金6个骆元素捉(m0缩慧,沫m1押,帖..默.,酱m觉15集)的指曲针，付这1灶6个过元素咐就是侄当前婶矩阵M中的冤元素禁，其冷排列司方式璃如下顺：vo教id撒g悟lM忙ul必tM块at贩ri翁x{重fd树}(俩co丛ns涛t盐TY扎PE骨*埋m)用当拐前矩玻阵去探乘*m所指送定的慢矩阵遮，并劲将结枕果存哄放于窄*m中。荡当前唐矩阵擦可以益是用gl醋Lo音ad强Ma搂tr慈ix平()指定押的矩殿阵，累也可苗以是塌其它救矩阵钥变换弓函数叨的综脑合结辰果。《交栏互式喇计算亲机图痛形学辉》漠南京左航空鸟航天释大学呼伍铁隐军53Co预ns伶id交er午t善he鬼f半ol信lo腥wi伤ng朱c雁od到e咱se毒qu碍en忙ce瓦,腊wh织ic熔h祥dr抵aw氧s玻a毯si挤ng趁le省p讽oi壁nt板u嗽si寇ng绕t伶hr怕ee损t悄ra盾ns作fo砖rm贸at笑io双ns页:gl大Ma躺tr书ix柳Mo仅de炸(G缓L_听MO屋DE搏LV材IE开W)君;gl致Lo战ad闪Id秋en眉ti武ty告()庆;gl掌Mu赞lt土Ma叙tr狡ix篇f(第N)位;晕/*满a松pp季ly剥t神ra丧ns出fo萄rm通at续io棉n僻N滩*/gl示Mu封lt愈Ma忆tr跨ix隶f(答M)午;巾/*臣a炮pp新ly业t母ra莫ns硬fo士rm蓝at井io牲n皱M理*/gl降Mu等lt贪Ma毁tr折ix州f(浑L)魄;处/*塞a费pp厦ly煌t锄ra近ns算fo舞rm裳at袋io罚n博L老*/gl挪Be酒gi附n(条GL喘_P倍OI吴NT盼S)塞;gl负Ve凯rt忙ex省3f絮(v仁);谅/黎*盈dr典aw欲t大ra曲ns泡fo途rm敲ed泳v科er河te欢x纠v出*/gl阔En消d(幻玉);Wi珠th朗t送hi副s赞co衬de疼,纲th诉e聪mo遭de生lv向ie务w额ma漏tr防ix口s撤uc累ce净ss狗iv将el磁y何co朝nt矮ai凑ns锯I售,差N,胃N俭M,丙a雄nd灿f附in瞒al叨ly剪N季ML廊,吴wh状er滋e平I宅re赌pr滋es良en句ts茅t载he剑i起de名nt岁it罢y挠ma孙tr洞ix群.陕Th逝e妹tr括an速sf令or纯me掠d席ve呆rt磁ex麦i卧s宰NM回Lv来.只Th州us原,申th廉e础ve般rt军ex群t翻ra信ns值fo夺rm聋at饼io微n抚is砌N驳(M袍(L缓v)夜)贴-印th贷at肉i浸s,魂v怖i岭s舟mu障lt艺ip碧li帝ed秀f唤ir荡st丸b渣y增L,丽t浑he轿r殊es黄ul陡ti旗ng象L屯v躁is跨m旺ul咬ti服pl掘ie戚d修by桐M添,腐an裁d惹th窃e装re套su逐lt却in齐g伸ML沃v屠is荒m趴ul第ti透pl蒜ie腰d泉by铺N晃.《交敌互式执计算应机图海形学秩》午南京领航空该航天称大学种伍铁叙军54平移毫变换功函数衣如下厦：vo飞id躬g矮lT钟ra焰ns颂la印te暑{f促d}爸(T盾YP政E数x,党TY陪PE部y样,T担YP医E笋z)三个轮函数漂参数袋就是自目标炭分别执沿三就个轴忌向平然移的草偏移喂量。颜这个松函数离表示扭用这酷三个怪偏移描量生衡成的矩矩阵膜乘以粪当前虎矩阵紧。当需参数抽是(腰0.宪0,双0.退0,唐0.辩0)劈燕时，龄表示侮对函恳数gl每Tr育an灰sl英at湾e*繁()的操企作是联单位牙矩阵很，也弟就是迫对物雁体没阁有影誓响。《交烛互式脆计算语机图薪形学专》垄南京锅航空嗽航天霜大学虽伍铁至军55旋转不变换是函数驴如下瞒：vo暴id准g朵lR止ot届at吃e{渔fd联}(舰TY创PE茧a批ng巾le柳,T斯YP傻E莲x,配TY变PE茧y河,T罢YP阿E会z)函数树中第欠一个虎参数茅是表大示目备标沿穿从点剥(x,俭y隶,红z)到原月点的俭方向数逆时翁针旋轰转的即角度熊，后中三个墨参数宪是旋始转的绞方向悔点坐否标。杠这个签函数辟表示压用这列四个贪参数捕生成劈燕的矩尘阵乘稻以当颂前矩吗阵。直当角副度参秋数是煌0.生0时桂，表忽示对档物体已没有在影响嘱。《交咱互式仿计算留机图联形学清》覆南京熔航空搂航天专大学爽伍铁折军56缩放判和反拦射变慎换函胜数如信下：vo郊id留g意lS位ca咬le缎{f常d}酷(T赞YP点E健x,品TY朽PE疫y创,T呢YP休E体z)三个泄函数管参数长值就跟是目裹标分狭别沿虏三个峰轴向墨缩放胆的比腔例因惊子。款这个瓣函数抓表示造用这悦三个件比例鹊因子莲生成呆的矩肤阵乘顾以当拖前矩自阵。写这个则函数搞能完塞成沿贯相应齿的轴纺对目刚标进球行拉足伸、财压缩壁和反固射三肌项功发能。酷当参鼓数是捡(1盟.0抱,啦1.铁0,燃1拼.0涂)时谷，表料示对失函数gl秘Sc衔al体e*抬()操作今是单贩位矩烫阵，羞也就糟是对两物体杨没有隐影响