山东临清三中数学选修课件：二项式定理第二课时新人教A选修

1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式 系数的性质

问题提出1.二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？

共有n＋1项；字母a的最高次数为n且按降幂排列；字母b的最高次数为n且按升幂排列；各项中a与b的指数幂之和都是n；各项的二项式系数依次为 且与a，b无关.2.二项展开式的通项是什么？3.组合数有哪两个基本性质？4.二项式系数是二项展开式中的基本数据，它有许多变化规律，探究、了解二项式系数的基本性质，对提升思维素养，进一步理解二项式定理和运用二项式定理解决某些实际问题，都有重要的作用.杨辉三角与二项式系数的性质探究（一）：杨辉三角

问题1：(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5，(a＋b)6的展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表：654321二项式系数n11111111111123346451010561515206问题2：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？654321二项式系数n11111111111123346451010561515206具有对称性问题3：将上表写成如下形式，你又能发现这些数据有什么新的规律吗？(a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…

1615201561（1）每行两端的数都是1；（2）与两端等距离的项的系数相等；（3）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，等等.问题4：上述数表是我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中最先提出的，是我国古代数学的一个重要成果，比欧洲早五百年左右，我们把这个数表称为杨辉三角，杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？(a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…

1615201561问题5：利用杨辉三角，(a＋b)7的展开式中各项的二项式系数分别是什么？(a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…

1615201561135352121771探究（二）：二项式系数的性质

问题1：对给定的正整数n，设函数 ，r∈{0，1，2，…，n}，当n＝6时，函数f(r)的图象是什么？rf(r)O1234565101520问题2：一般地，函数，r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？它具有怎样的对称性？n＋1个孤立的点，关于直线对称问题3：在二项式系数中，哪些二项式系数是相等的？与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.问题4：相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论上如何确定与的大小？问题5：通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值.问题6：当n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？当n为偶数时，第项的二项式系数 为最大；当n为奇数时，第的二项式系数和第项的二项式系数相等，且同时为最大.问题7：在二项式定理中，a，b可以任意取值，特别地，当a＝b＝1时，可得什么结论？当a＝1，b＝－1时，又可得什么结论？问题8：上述闸结果仆表明泉，所踢有二喘项式催系数烛之和程等于2n，所其有奇拌数项彻的二冠项式义系数响之和挪与所寺有偶恐数项剧的二赶项式散系数门之和轰相等政，且端都等钥于2n－1.那么陵，如木何求(3＋2x赞)n的展刘开式扬中各烛项的财系数渠之和弯？令x＝1，得淡各项洒的系妈数之沿和为5n.例1填空恭：（1）(x－y)11的展峡开式侵中系扩数最若大的览项第项，乞系数并最小纳的项肆第项；（2），经典非范例5610旷2351宜2例2已知(1＋2x突)n的展贱开式叛中第6项与妈第7项的宜系数挺相等诉，求马展开涨式中泪二项当式系步数最蹲大的古项.例3求集天合A＝{a1，a2，…，an}共有名多少杰个子边集？课堂战小结1.杨辉枪三角与反映较了二蝇项式骂系数家的变况化规榜律，抗其理毕论依恐据是叫组合惊数的供两个铅性质.杨辉盒三角灾中还赛有许棒多有捕趣性拌质，耍可作枪为一泡个研炉究性芽课题货进行占探究.2.二项吐式系辣数的凡性质肃实质摘是组木合数宪的一勤些性粮质，院常作择为解椅决组旗合数仰问题寸的理寇论依兼据，丢但这校些性废质不作能类湿推到体二项葛展开厅式的先系数.3.令x＝1，可茂求得(a＋bx)n