高考数学二轮复习数学思想领航三分类与整合思想专题突破讲义文

高考数学二轮复习数学思想领航三分类与整合思想专题打破讲义文高考数学二轮复习数学思想领航三分类与整合思想专题打破讲义文高考数学二轮复习数学思想领航三分类与整合思想专题打破讲义文三、分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或切割)成若干个基础性问题，经过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对谈论结果进行整合.方法一公式、定理分类整合法模型解法公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，尔后分别对每类问题进行解决的方法．此方法多适用于公式、定理自己需要分类谈论的状况．破解此类题的要点点：①分类转变，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准．②依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解．③汇总结论，汇总分类结果，得结论．典例1设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，)，则q的取值范围是________．剖析由{an}是等比数列，Sn>0，可得a＝S>0，≠0，当q＝1时，S＝na>0.11n1a11－qn当q≠1时，Sn＝1－q>0，n1－q即1－q>0(n＝1,2,3，)，则有1－q>0，①n1－q>0，1－q<0，或1－qn<0.②由①得－1<q<1，由②得q>1.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案(－1,0)∪(0，＋∞)思想升华公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法经常是由于有的数学定理、公式是分类给出的，在不同样的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．追踪演练1Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比为()11A.2B．2C．－2D．－2答案D剖析设{a}的公比为q(q≠0)，由等比数列{a}的前n项和为S，且S，S，S成等差数列，nnn435得2S3＝S4＋S5.当q＝1时，S4＝4a1，S3＝3a1，S5＝5a1，此时2S3≠S4＋S5，不满足题意；1311－q415，当q≠1时，有2a1－q＝a＋a1－q1－q1－q1－q即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或＝1(舍去)．q方法二地址关系的分类整合法模型解法对于几何中地址关系的分类谈论问题常采用分类整合法，这种方法适用于剖析几何中直线与圆锥曲线的地址关系，以及几何图形中点、线、面的地址关系的研究．破解此类题的要点点：①确立特色，一般在确立初步特色时将能确立的所有地址先确立．②分类，依照初步特色对可能出现的地址关系进行分类．③得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总办理．x≥0，典例2y≥0，下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围在拘束条件y＋x≤s，y＋2≤4x是()A．[6,15]B．[7,15]C．[6,8]D．[7,8]x＋＝，x＝4－，剖析由可得y＋2x＝4，y＝2s－4，由图，可得A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)

．①当

3≤s<4时，不等式组所表示的可行域是四边形

OABC及其内部，此时，

z＝3x＋2y在点

B处获取最大值，且

zmax＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4，由

3≤s<4，得

7≤zmax<8.②当

4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△

OAC′及其内部，此时

z＝3x＋2y

在点

C′处获取最大值，且

zmax＝8.综上可知，

z＝3x＋2y的最大值的变化范围是

[7,8]

，应选

D.答案

D思想升华(1)在剖析几何地址关系的研究中，不能够不过关注直线与圆锥曲线的地址关系中的订交、相离和相切三种状况，还要注意焦点在不同样地址时的关系的研究．在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系“一网打尽”．如本题随着s取值的变化，目标函数值是会随着变化的，若是考虑不全，就会得出错误结论．追踪演练2抛物线y2＝4(p>0)的焦点为，为其上的一点，为坐标原点，若△为等pxFPOOPF腰三角形，则这样的点P的个数为________．答案4剖析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的地址有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的地址也有两个；对|FO|＝|FP|的状况，点P不存在．事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则||＝，||＝x－p2＋2，FOpFPy若x－p2＋y2＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾．∴吻合要求的点P有4个．方法三含参问题的分类整合法模型解法含参问题的分类整合法是分类谈论问题中最重要、最常有也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般依照参数的取值范围进行分类．此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同样会以致所得的结果不同样，或对于不同样的参数值要运用不同样的方法进行求解或证明，因此要分类谈论．破解此类题的要点点：①确立范围，确立需要分类问题中参数的取值范围．②确立分类标准，这些分类标准都是在解题过程中依照解决问题的需要确立的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．③分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解．④得出结论，将所获取的结论进行汇总，得出正确结论．典例3函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]B．[－1，＋∞)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)剖析方法一当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0,2]上为单调递加函数，最大值为f(2)，满足题意．22242当a≠0时，函数f(x)＝ax＋4x－3＝ax＋a－3－a，其对称轴为x＝－a.当a>0时，f(x)＝ax2＋4－3在[0,2]上为单调递加函数，最大值为f(2)，满足题意．x当a<0时，只有当－2≥2，即－1≤a<0时，(x)＝ax2＋4－3在[0,2]上为单调递加函数，最afx大值为f(2)，满足题意．综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．应选B.方法二由f(x)＝ax2＋4x－3，得f′(x)＝2ax＋4，要使函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，需使f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为单调递加函数，则f′(x)＝2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立，2当x＝0时成立，当x≠0时，由x∈(0,2]，得a≥－x，2上的最大值为－1，因此a≥－1.由于－在(0,2]x综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．应选B.答案B思想升华对于含参问题的分类谈论主要有以下三各种类：(1)看法型，即问题所涉及的数学看法是分类进行定义的，如|a|的定义分a>0，a＝0，a<0三种状况．性质型，即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法规有范围也许条件限制、也许是分类给出的，如等比数列的前n项和公式，分q＝1和q≠1两种状况．含参型，求解含有参数的问题时，必定依照参数的不同样取值范围进行谈论．别的，某些不确立的数量、不确立的图形的形状或地址、不确立的结论等，都需要经过分类谈论，保证其完满性，使之拥有确立性．追踪演练3已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且F2到直线x－3y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t>0)，且经过F，F两点，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过1232Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为2时，求t的值．22解(1)设椭圆的方程为x2＋y2＝1(>>0)，abab依题意可得2b＝|1－9|＝4，2因此b＝2，又c＝1，因此a2＝b2＋c2＝5，x2y2因此椭圆C的方程为5＋4＝1.x2y2设Q(x，y)满足＋＝1，54圆P的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1，连接PM，由于QM为圆P的切线，因此PM⊥QM，因此|QM|＝|PQ|2－t2－1x2＋y－t2－t2－1－