八年级培优初中几何中的最短路径与最值问题

(完满)八年级培优初中几何中的最短路径与最值问题(完满)八年级培优初中几何中的最短路径与最值问题(完满)八年级培优初中几何中的最短路径与最值问题2016-01-28初中几何中的最短路径与最值问题

初中几何中的最短路径与最值问题

例：已知：如图，A，B在直线L的双侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连结AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。（依据：两点之间线段最短.）

A

河流

A

L

B

例：图所示，要在街道旁修筑一个奶站，向居民区A、B供给牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

B

练习1：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，此后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其

所走的总行程最短？

AO

C

B

例：已知：如图A是锐角∠MON内部随意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，构成三角形，使三角形周长最小.

M

A

NO

练习2：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河畔饮马，此后回到帐篷，请你帮他确立这天的最短路线。

草地AO

C河

D流

B

例：以以下列图，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食品,求蚂蚁所走的最短程.

例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上

建一座桥MN，桥造在哪处才能使从A到B的路径

AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与

河垂直）AB12016-01-28初中几何中的最短路径与最值问题

例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的面边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A处，抵达长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个极点A处C处需要走的最短行程是米．沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的极点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cmB．cmC．4cmD．3cmB例：如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC

A

最小值。（顺带研究PE+PC的最大值、PEPC的

最大值与最小值。）

AD

P

例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四均分）有一只壁虎，BEC处（宽的三均分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子

处最短距离为（）例：如图，在直角坐标系中有四个点,A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),求四边形ABCDA．4.8B．C．5D．周长的最短值。

例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高

的少儿，假如大树在距地面4米处折断（未完满折

断），则少儿最少走开大树米以外才是安全的．例：如图，在边长为6的菱形ABCD中,∠

ABC=60°,E、F分别为BD、BC上运动,求EF+EC的

最小值。

例：如图，在一个长AB为10米，宽为AD为5米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场所宽AD平行且大于AD，木块是底

AD

E

BFC

22016-01-28初中几何中的最短路径与最值问题

例：如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD

=60°,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最

小值。

D

PACEF

B

例：如图，∠AOB=45，角内有一动点P，PO=10，

在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。

A

P

Q

45°ORB

练习：如图，∠AOB=30°，角内有一动点P，PO=6，M、N分别射线在AO，BO上运动求△PMN周

长的最小值。

A

MP

ONB

AD

P

E

BC

练习2、以下左图，已知直角梯形ABCD中，AD

BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上挪动，则当PA+PD取最小值时，求△APD中边AP上的高。

AD

BPC

练习3、如上右图，已知AB=10，P是线段AB上任一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等

边三角形APC和BPD，则CD的最小值为。

C

D

APB

练习4、以以下列图,两点A、B在直线MN外的同

侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离

BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则PAPB的最

大值等