做题无数把“根”留住

高三复习备考离不开做题，学生要做大量的题，教师也要讲大量的题，可以说，做题、讲题是复习课的主要形式．然而，严峻的现实是，许多考生虽然做了大量的试题，遇到类似的题目仍不知所措，“这道题我好象做过，但还是做不出来”是学生普遍反映的现象，“这道题，我上课讲过的，学生怎么还是不会”这是一线教师的口头禅．为什么会有这样的偏差？高考数学题既考查学生对基础知识、基本技能的掌握程度，又考查对数学思想方法、数学本质的理解水平．如果学习中仅就题论题，对问题仅停留在知识、方法表象进行理解，而没有体会到问题背后的“根”，那么做再多的题充其量也只是事倍功半．◆平时高三教学中存在的困惑什么是数学的“根”？它应该是数学最本质的东西，是数学知识的内在联系、数学规律的形成过程、数学思想方法的提炼、数学核心价值观的理解、数学理性精神（依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理）的体验等．如何把“根”留住？可通过研究问题的变式，留住知识之“根”；通过优化问题的解法，留住方法之“根”；通过拓展问题的应用，留住价值之“根”；通过揭示问题的背景，留住本质之“根”．因为只有这样，高考数学的复习才能强“根”固本，枝繁叶茂．◆数学的“根”是什么？一、研究问题的变式，留住知识之“根”分析:对于A和B,可以令对于C和D,可以构造平行四边形OABC,∠AOB和∠OBC中至少有一个角大于或等于90O，再结合余弦定理可判断.例1.（2014年浙江高考理科第8题）记，设为平面向量，则研究:对于C和D,可以根据一个重要的不等式可得出正确答案.平行四边形对角线与边的关系极化恒等式变式1.（2012年浙江高考理科第15题）在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则

.分析:MABC,其中是抛物线过C0的切线变式2.（2013年浙江数学竞赛试题）已知直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点，M为AB的中点，C为抛物线上一个动点,若C0满足，则下列一定成立的是分析:由结合极化恒等式得即，即，即所以当是抛物线过CO的切线时,变式3.（2013年浙江高考理科第7题）设△ABC,P0是边AB上一定点，满足，且对边AB上任一点P，恒有，则A.B.C.AB=ACD.AC=BC分析:设D为BC的中点,由结合极化恒等式得即，即,所以设E为AB中点，则CEAB,所以AC=BC.P0ABCDE二、优化问题的解法，留住方法之“根”例2.（2013年高考重庆卷理科第9题）分析:原式三、拓展问题的应用，留住价值之“根”例3.（2011年高考江苏第18题）如图，在平面直角坐标系x0y中,M,N是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.(Ⅲ)对任意k>0，求证：PA⊥PB.题源:人教版《选修1-1》第35页：设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为，求动点M的轨迹方程.再进行引申：与两定点A(-a,0),B(a,0)的斜率之积为的动点M的轨迹方程为反之亦成立：椭圆上任意一点（除长轴两个端点）与长轴两个端点连线的斜率之积为还可以进一步引申：椭圆上任意一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点（除两个端点）连线的斜率之积为运用这个结论可以快速证明：设点P(x0,y0),A(-x0,-y0),B(x1,y1),C(x0,0),则运用上述结论知所以，所以由此可证结论成立.四、揭示问题的背景，留住本质之“根”例4.（2012年高考浙江理科第22题）已知,函数(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时,f(x)的最大值为|2a-b|+a.分析:该题的背景是高等数学中的函数凹凸性解决最值问题.因为,其二阶导数为，所以函数在[0,1]上为凹函数，所以对任意0≤x≤1，都有所以函数的最大值为|2a-b|+a.例5.（2013年高考浙江理科第22题）已知,函数(Ⅱ)当时，求|f(x)|的最大值.