用构造法求数列的通项公式

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse用“造法”数列通项公北大附新疆分教师董金臣Forpersonaluseinforcommercialuse【引：论文荣昌吉州办教育学论文选二奖】Foruseinstudyandnotfor数列问以多的式灵活的解法受考题者的睐历年都是高考题热求列通公式更高重考的容作常的差列或等数可接据们的通公求，也一些数要过造形等差数或比列之再应用自的项式解。例已数列

n1

n

*n

求数列

公式06年建高考）解：

2a

n

2(anaan

又

22公为的等比数列2nn

。归总结：若数列

满足

pa(p

为常数则令

(a

来构造等比数列，并利用对应项相等求

的，通公。例：数列

a2

a

，则

。解：

)

为首项为2公也为的比数列。n

n

n

，aan

)a

)a)2

11

2n小结：构造

，这是化归思想的具体应用，再用加法求出通项公式，当然本题也利用了等比数列求和公式。例已知数列

5,2,a2a

,(3)

对这数的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？（必修材69页解2n

a

3(

)又

形成首项为7公比为3的等比数列，则

n

n

n

………①又

a

)

，aa，n

形成了一个首项为—，公比为—1的等比数列则

an

n

(

n

………②①

②

n

n

n

nB(6n

713(4

n小结：题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。例4：设数列

的前项和为

若nbn

n

成立，求证：当时a是比数列四省高考题）n证明：当

n,1又nbn

n

……①b

n

n

n

……②②—①

n

n

n

b

n

n

n

n当b时有a

n

n

na

n

n

an

n

n

n

n

又

为首项为，公比为的比数列，nn

n

2

n

,ann

n小结：题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。例：数列

1

n

2an

n

，则

A．

(3

n

．

3(2

D．

解

a

n

an

nn

nnaa又n2

3构成了一个首项这，差为的等差数列，23nnn23an)n2

n

所以选B。小结：构造等比数列，注意形

nn

，当

时变为n。n例已知函数

(x)(x

2

(x

，又数列

2其前n项1为

,(n

对有大于1的然数

都有

f(

)

求列

公式。解f(x)x

,f

)

2,

S21是项为，差为的差数列。222nSnn

。2

时，

nn

n

222(nn且当时，a4

符合条件

通项公式为

4n例7

a

,

数

f()2x

的图象

11证明数列

)2006山东高考题题）解：(x)

x又aa

)

在函数图象上

n

a

n

2

n

n

n

2

ann

2lg(annnlgn

lg3

公比为等比数列a

2

lg3

a

a

小结前一个题构出

为等差数列，并且利用通项与的系来定数列的通项公式后个题构造

求解数与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。例：已知数列

2,a1

n

n

*

）中，求数列的通公式。(2007天高考题方法指导已知条件中的推关系变形用转化成等差数列形式而求

的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。解：

n

n

(n*,

0)

2

)

n

)

)n

。所以

)

n)

2所以

2)

为等差数列，其首项为，公差为；

)

nan

n例：数列

a，a

n

an1a

n

，则

a

（

）2A．19解a

n

an1

n

168B．C．15511aannn

．

34又

1a2

1是首项为公3的差列。21156na26

22619

所以选A变式题型：数列

a1

2,a

n

2n1a

n

，求

解

n

2an1a

n

113na222ann

aa令

a

11(22

a

1

111(又2a

是首项为

51公比为的等比数列22115()()aa22

1513(22

小结:

f(a)

且为一次分式型或构造出倒数成等数列或造出倒加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联相互渗透，最后融合到一起。总之，造差列等数列来数的项式是求通公的要法也是考点查思，当然是变化，造方式会着差别要具体题体析需我们反推归，而定其形，该构方的形成在索前，前进中索

仅供人用于习、究；不用于业用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenwerden.Pourl'étudeetrechercheuniquementàdesfi