2021届江苏省南通市XX中学高三10月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年如东中学10月高三月考数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知集合U={-2,-1,0，1，2，3}，A={-1,0，1}，B={1,2}，则∁U(A∪B)=

(

A.{-2,3} B.{-2,2，3}

C.{-2,-1,0，3} D.{-2,-1,0，2，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的

(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若2x-2y<3-xA.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>04.已知α ∈(0,π)，且3cos2α-8cosα=5，则sinα=

A.53 B.23 C.135.已知m≠0

，向量a=(m,n)

，b=(-2,m)

，若|a+b|=|a-A.±2 B.2 C.-2 D.6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1A.2 B.3 C.4 D.7.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆Ｃ：x2a+1+y2a=1(a>0)

的离心率为12

，则椭圆ＣA.x2+y2=9 B.x28.已知M为函数y=8x的图像上任意一点，过M作直线MA，MB分别与圆x2+y2=1相切于A，B两点，则原点A.18 B.14 C.22二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9.设M，N是抛物线y2=x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为-12A.|OM|+|ON|≥42 B.以MN为直径的圆的面积大于4π

C.直线MN过抛物线y2=x的焦点 D.O到直线10、已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x+1)=f(x-3)，f(1+x)=f(3-x)，当0≤x≤2时，f(x)=x2-x，则下列说法正确的是(

A.f(x)的最小正周期为4

B.f(x)的图像关于直线x=2对称

C.当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2

D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为-11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f'(x)，则下列关于函数g(x)的说法中正确的是(    )

A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)

B.函数g(x)的最大值为22

C.函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行

D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1，12.把方程xx+yy=1表示的曲线作为函数y=f(x)的图象，则下列结论正确的有(A.y=f(x)的图象不经过第三象限

B.f(x)在R上单调递增

C.y=f(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1

D.函数g(x)=f(x)+x不存在零点三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知双曲线C：x23-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN14.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与15.在ΔABC中，AB=2

，AC=3，∠BAC=π3，M、N分别为BC、AM的中点，则______________．16.已知lnx1-x1-y1+2=0，x2+2y2-2四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(b-a)(sinB+sinA)=c(3sinB-sinC)．

(1)求A的大小；

(2)若a=2，B=π4，求△ABC18.为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生(男生60人，女生40人)，统计了他们的课外阅读达标情况(一个学期中课外阅读是否达到规定时间)，结果如下：

是否达标性别不达标达标男生3624女生1030

(1)是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：χ2=

P(0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828(2)如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人(2男1女)，设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望．

19.已知圆C:x(1)求过点P(0,3)且和圆(2)若斜率为1的直线n与圆交于D,E两点，求▵CDE面积的最大值及此时直线n的方程．

20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为(2)如图，动直线l：y=k1x-32交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC

的斜率为k2，且k1k2=24，M是线段OC延长线上一点，且MC:AB=2:3，21已知函数f(x)=2x(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M-m的取值范围．

22.已知函数f(x)=x2(1)求a的取值范围;(2)设x1，x2(x1<x2020-2021学年如东中学10月高三月考高一试题一、选择题（本大题共8小题，共40分）已知集合U={-2,-1,0，1，2，3}，A={-1,0，1}，B={1,2}，则∁U(A∪B)=

(

)A.{-2,3} B.{-2,2，3}

C.{-2,-1,0，3} D.{-2,-1,0，2，3}【答案】A【解析】【分析】

本题考查集合的并集与补集的混合运算，是基础题．

先计算出A∪B，再求补集即可．

【解答】

解：因为A={-1,0,1},B={1,2},

所以A∪B=-1,0,1,2，

又U={-2,-1,0,1,2,3},

所以∁U(A∪B)=设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的

(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】

本题主要考查了充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．

由不等式a2>a⇔a>1或a<0知选A．

【解答】

解：不等式a2>a⇔a>1或a<0，所以a>1能推出若2x-2y<3-xA.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0【答案】A【解析】【分析】

本题考查指数函数和对数函数的单调性，是基础题．

由函数y=2x-3-x单调递增，化简2x-2y<3-x-3-y为2x-3-x<已知α ∈(0,π)，且3cos2α-8cosα=5，则sinα=

A.53 B.23 C.13【答案】A【解析】【分析】

本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．

根据题意得到6cos2α-8cosα-8=0，进而得到cosα=-23即可．

【解答】

解：因为3cos2α-8cosα=5，

所以32cos2若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2A.2 B.3 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】

本题主要考查了抛物线与椭圆的标准方程及几何性质，属于基础题．

根据抛物线的焦点坐标为p2,0，列方程即可求得结果．

【解答】

解：根据抛物线的焦点坐标为p2,0，所以根据焦点相同得到3p-p=p已知m≠0

，向量a=(m,n)

，b=(-2,m)

，若|a+b|=|aA.±2 B.2 C.-2 D.【答案】D【解析】【分析】

本题考查平面向量模、平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．

由|a+b|=|a-b|，可得a·b=0，结合向量坐标计算可得实数n的值．

【解答】

解：因为|a+b|=|a-b“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆Ｃ：x2a+1+y2a=1(a>0)

的离心率为12

，则椭圆A.x2+y2=9 B.x2【答案】B【解析】【分析】

本题考查椭圆的离心率和新定义问题，属于中档题．

先根据椭圆的方程和离心率求出a的值，再取特殊点(a+1,0)，(0,a)，从而可得到两条切线方程以及切线的交点P，将点P的坐标代入蒙日圆的方程即可求出其半径，进而得解．

【解答】

解：∵椭圆的离心率为12，

∴a+1-aa+1=12，解得a=3．

∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，

∴找两个特殊点，分别为(a+1,0)，(0,a)，

∴对应的两条切线分别是x=a+1，y=a，这两条直线的交点为P(已知M为函数y=8x的图像上任意一点，过M作直线MA，MB分别与圆x2+y2=1相切于A，B两点，则原点A.18 B.14 C.22【答案】B【解析】【分析】

本题考查圆的切线方程的求法，以及点到直线的距离公式和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．

可设M(m, 8m  )，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由圆上一点的切线方程，可得MA，MB的方程，进而得到AB的方程，由点到直线的距离公式，结合基本不等式可得所求最大值．

【解答】

解：可设M(m, 8m  )，m≠0，

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

由圆的切线方程可得MA：x1x+y二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）设M，N是抛物线y2=x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为-12A.|OM|+|ON|≥42 B.以MN为直径的圆的面积大于4π

C.直线MN过抛物线y2=x的焦点 D.O到直线【答案】ABC【解析】【分析】

本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及直线的斜率公式的应用，直线恒过定点问题，考查转化思想，计算能力，属于中档题．

斜率不存在时，可求得MN的方程，即可判断|OM|+|ON|=26<42，|MN|=22，以MN为直径的圆的面积2π，可判断A，B．

斜率存在时，设直线MN的方程，代入抛物线方程并联立即可求得直线MN恒过定点，可判断D．

根据抛物线几何性质求得焦点坐标，可判断C．

【解答】

解：当直线MN的斜率不存在时，设M(y02,y0)，N(y02,-y0)，

由斜率之积为-12，可得-1y02=-12，即y02=2，所以MN的直线方程为x=2;

当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立y=kx+my2=x，可得ky2-y+m=0．

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y1y2=mk，x1x2=m2k2，

所以kOM已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x+1)=f(x-3)，f(1+x)=f(3-x)，当0≤x≤2时，f(x)=x2-x，则下列说法正确的是(

A.f(x)的最小正周期为4

B.f(x)的图像关于直线x=2对称

C.当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2

D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为-【答案】ABC【解析】【分析】

本题考查函数的周期性，对称性以及函数的最值．

由f(x+1)=f(x-3)得f(x+4)=f(x)，可判定A，由f(1+x)=f(3-x)得f(2+x)=f(2-x)，判定B，求出当0≤x≤2时f(x)的最大值和最小值，由对称性可判定C，再由周期性判定d

【解答】

解：由f(x+1)=f(x-3)得f(x+4)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为4，A正确；

f(1+x)=f(3-x)得f(2+x)=f(2-x)，f(x)的图像关于直线x=2对称，B正确；

当0≤x≤2时，f(x)=x2-x，x=2时f(x)取得最大值2，又因为f(x)的图像关于直线x=2对称，所以0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2，C正确；

当0≤x≤2时，f(x)=x2-x最小值为f(12)=-14，所以当2≤x≤4时，f(x)的最小值也是-14，f(x)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f'(x)，则下列关于函数g(x)的说法中正确的是(    )A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)

B.函数g(x)的最大值为22

C.函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行

D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1，【答案】ABD【解析】【分析】

本题考查了三角函数y=Asinωx+φ的图象与性质，考查了导数的几何意义，考查了辅助角公式的应用，属于中档题．

由题意可得，由函数的图象与性质可得函数gx的对称轴方程为函数gx取得最大值22，由导数的几何意义可得使得在P点处的切线与直线l：y=3x-1平行，则，解得，方程gx=2，，，则|x1-x2|最小值为π2，从而可得正确答案．

【解答】

解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象知，

A=2,T4=2π3-π6=π2，

∴T=2π,ω=2πT=1，

根据五点法画图知，当时，，，

，

，

令，

解得，

∴函数gx的对称轴方程为A正确；

当时，函数gx取得最大值22，B正确；

，

假设函数g'x的图象上存在点Px0,y0，

使得在P点处的切线与直线l：y=3x-1平行，则，

解得，显然不成立，所以假设错误，即C把方程xx+yy=1表示的曲线作为函数y=f(x)的图象，则下列结论正确的有(A.y=f(x)的图象不经过第三象限

B.f(x)在R上单调递增

C.y=f(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1

D.函数g(x)=f(x)+x不存在零点【答案】ACD【解析】【分析】

本题主要考查了含有绝对值的函数的图象，以及有关圆锥曲线的问题，利用了数形结合的思想，属于中档题．

分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给的命题的真假性．

【解答】

解：(1)x≥0，y≥0，x2+y2=1此为圆心在原点，半径为1的圆在第一象限的部分，减函数

(2)x≥0，y<0，x2-y2=1，此为a=b=1，实轴为x轴的双曲线在第四象限的部分，减函数

(3)x<0，y≥0，y2-x2=1，此为a=b=1，实轴为y轴的双曲线在第二象限的部分，减函数

(4)x<0，y<0，-x2-y2=1不表示任何图形，所以函数图象不存在，所以A选项正确；

根据上述情况作出相应的图象，如图所示，

由图象可得.f (x)在R上单调递减，所以B选项错误；

由图象可得，图象在第一象限的部分为圆三、填空题（本大题共4小题，共20分）将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与【答案】【解析】【分析】

本题主要考查了函数图象的平移，函数y=Asin(ωx+φ)的性质，属于基础题．

先平移，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的性质即可求解．

【解答】

解：将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，

平移后函数图象的对称轴方程为，即，k∈Z，

当k=0时，，当k=-1时，，

，∴与y轴最近的对称轴的方程是．

故答案为．

在ΔABC中，AB=2

，AC=3，∠BAC=π3，M、N分别为BC、AM的中点，则______________．【答案】-【解析】【分析】

本题考查向量的加法、减法、数乘运算及平面向量数量积的计算，属于中档题．

根据已知条件计算可得CN⋅AB=14AB2-34AB⋅AC，即可求得结论．

【解答】

解：因为在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=π3，M、N分别为BC、AM的中点，

则CN⋅AB=12(CA+CM)⋅AB

=12(-AC+12CB)⋅AB

=12[-AC+1【答案】3【解析】【分析】

本题考查双曲线的性质和几何意义，是基础题．

根据双曲线的渐近线的斜率求得∠MON=60°，在直角三角形MON中结合OF=c=2即可求解．

【解答】

解：由双曲线C：x23-y2=1得a=3,b=1,c=2，

所以渐近线方程为y=±33x，即直线OM，ON的斜率为33,-33，

所以∠MON=60°16.已知lnx1-x1-y1+2=0，x2+2y2【答案】165；【解析】【分析】

本题考查了导数的几何意义，两条直线垂直的判定，点到直线的距离公式和两条直线的交点坐标．

利用题目条件把问题转化为函数y=ln x-x+2图象上的点与直线x+2y-6-2ln 2=0上的点的距离的最小值的平方，利用导数的几何意义得与函数y=ln x-x+2图象相切且与直线x+2y-6-2ln 2=0平行的切点的横坐标，从而得切点坐标，再利用点到直线的距离公式得最小值，再利用两条直线垂直判定过切点与直线x+2y-6-2ln 2=0垂直的直线为2x-y-4+ln 2=0，再利用两条直线的交点坐标计算得结论．

【解答】

解：因为M=(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值可转化为函数y=ln x-x+2图象上的点与直线x+2y-6-2ln 2=0上的点的距离的最小值的平方，

由y=ln x-x+2，可得y'=1x-1，

而与直线解答题（本大题共6小题，共70分）17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(b-a)(sinB+sinA)=c(3sinB-sinC)．

(1)求A的大小；

(2)若a=2，B=π4，求【答案】解：(1)因为(b-a)(sinB+sinA)=c(3sinB-sinC)，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得(b-a)(b+a)=c(3b-c)，即b2+【解析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于基础题．

(1)根据题目条件结合正弦定理可得b2+c2-a2=3bc，代入余弦公式可得cosA=3218.为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生(男生60人，女生40人)，统计了他们的课外阅读达标情况(一个学期中课外阅读是否达到规定时间)，结果如下：

是否达标性别不达标达标男生3624女生1030

(1)是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：χ2=

P(0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828(2)如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人(2男1女)，设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望．【答案】解：(1)假设H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得

X2的观测值k=100×(36×30-24×10)2(36+24)×(10+30)×(36+10)×(24+30)=2450207≈11.836>6.635，

因为当H0成立时，k≥6.635的概率约为0.01，

所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关；

(2)记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；

事件B为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．

由题意知：P(A)=2460=25，P(B)=3040=34X0123P93923期望E(X)=0×9【解析】本题考查独立性检验，古典概型的计算公式，离散型随机变量的分布列与期望的求法，考查计算能力，属于中档题．

(1)根据表格数据，利用公式求出X2的观测值k，判断即可．

(2)求出男生、女生课外阅读“达标”的概率，列出随机变量X19.已知圆C:x(1)求过点P(0,3)且和圆(2)若斜率为1的直线n与圆交于D,E两点，求▵CDE面积的最大值及此时直线n的方程．【答案】解：(1)设所求切线l的斜率为k，因为P(0,3)在圆C:(x+1)2+所以直线l的方程为y=-33x+(2)解法一：设直线n的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=b-1弦长DE=2r则S△CDE当且仅当4-(b-1)22=b-12，即b=3或-1时取“故▵CDE面积的最大值为2，此时直线n的方程为y=x+3或y=x-1．解法二：，当且仅当sin∠DCE=90°，即CD⊥DE时，▵CDE的面积最大，此时DE=2设直线n的方程为y=x+b，则圆心到直线n的距离d=b-12，

由由DE=2r2-d2=24-所以直线n的方程为y=x+3或y=x-1．【解析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，涉及圆的标准方程、点到直线的距离、弦长公式、基本不等式、与圆有关的最值问题，属于中档题．

(1)由圆的标准方程得到圆心及半径，进而可知点P在圆上，求出直线PC的斜率后即可求得圆的切线斜率，最后得到直线的方程；

(2)解法一：先求出圆心到直线的距离及弦长DE，利用基本不等式求得最值即可；

解法二：由三角形的面积公式知CD⊥DE时三角形面积最大，此时DE=22，由弦长公式求得d=220.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为(2)如图，动直线l：y=k1x-32交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC

的斜率为k2，且k1k2=24，M是线段OC延长线上一点，且MC:AB=2:3【答案】解：(I)由题意知e=ca=22，2c=2，

所以a=2，b=1，

因此椭圆E的方程为x22+y2=1．

(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程x22+y2=1,y=k1x-32,

得(4k12+2)x2-43k1x-1=0，

由题意知Δ>0，

x1+【解析】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．

(1)由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求;

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公

式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=23|AB|=221+k21.已知函数f(x)=2x(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M-m的取值范围．【答案】解：(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a