高二的平面向量典型例题(老师)

实用标准文案【型题类一平向的关念例1.列说法中正确是①非量

a

与非零向量

b

共线，向量

b

与非零向量

c

共线，则向量

a

与向量

c

共线；②任个相等的非零向量的点与终点是一平行四边形的四个顶点；③

向量

a

与

b

不共线，则

a

与

b

所在直线的夹角为锐角；④⑤⑥

零向量模为0没有方向；始点相同的两个非零向量不平行两个向量相等，它们的长度就相；⑦若向量与CD是线量则A、B、C四点共线。【答案】①⑥【解析】①向线即方向相同或相反故非零向量间的共线关系是可以传递的；②相等向量是共线的，故四点可在同一直线上；③向共线，仅指其所在直不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角；④零向量不是没有方,它的向任的⑤向否共线与始点位置无；⑥两量相等，它们的长度等，方向相同；⑦共线向量即平行向量，非零向A

与

CD

是共线向量，可能四共，可AB平行。【总结升华】从向量的定义可以看出，向量既代数特征又有几何特征，因此借助于向量可将代数问题与几何题相互转化。零向量是一特殊向量它似乎很不起眼，但又处处存在。因此，正确理解和处理零量与非零向量之间的关系值得我们重视。于平行向量或共线向量，它们可以在同一直线上，也可以所直线互相平行，方向可以相同也可以相反相等向量则必须大小相等、方向相同。举反：【变式】判断下列各命题是否,说明理:(1)若|a|=|b,b(2)单量都相等；(3)两向量若起点相,终也同(4)若

a=b

，

c=

,则

a=c

；(5)若|a|>|b,a>b；(6)由向量方向不确,它能任向平【答案】(1)错相方向未必相同(2)错相方向未必相同(3)正因两向量的模相向相同当他们的起点相同则终点必重合；(4)正由定义知是对的；(5)错量不能比较大小；(6)错零向量与任意向平.【变式】在复平面中，已知点A（2，1（0，2（，1（0）.给出下面的结论：精彩文档

BA实用标准文案BA①直线OC直线BA平②

BC

；③

OB

；④

2OA

.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案C【解析】

OC

21，k0

，∴OC，确；∵

AC

，∴②错误；∵OAOB

，∴③正确；∵OB2OA(，AC(④正.故选C.类二平向的减其性算例2.图，已知梯形

中，

CD

，且

2CD

，M

、

N

分别是

、AB

的中点，设ADa，b，a、b为基示DC、BC、MN

.【解析】连结，DC

1b2

；∵

DC

bNB∴DC，NB∴又

BCNDa1DMb

b

；∴

DNDM

a

.【总结升华】①本题实质上是平向量基本定理的应用，由于ADAB是不共线的向量，那么平面内的所有向量都可以用它们示出.②本题的关键是充分利用几何图中的线段的相等、平行关系，结合平行向量、相等向量的概念向量的线性运算，变形求.举反：【变式1ABC中D是AB边上一点AD2DBCD【答案】CDCAAD【解析】由图知①

CB

=________.精彩文档

实用标准文案

，②且

0

。②×2得：

CA∴

2，∴

.【变式】△ABC，点D在AB，

CD

平分

ACB

，若

a

，

b

，

a1

，

b2

，则

（）A.

1443B.aC.aD.a555

【答案】【变式3】图

E

为平行四边形ABCD边AD

上一点且

设ABaBCb

，若

，BFkBEk的值【解析】

①又

kBEAB)k(-a)而

BFAFa

，∴

(1+

②由①②解得

.【变式】若

O，F

是不共线的任意三点，则以下各中成立的是（）A．

EFOFOE

B

EFOFOE

C

EFOFOE

D

EFOFOE【答案B【变式知O是△ABC所面内一点DBC中点

2OAOBOC

）Ａ．

AOOD

Ｂ．

AO2OD

Ｃ．

AO

Ｄ．

OD【答案A【解析】因为D

为BC边，所以由平行四边法则可知：

OBOC

，又

OBOC以ODOA

.例.两个非零向量

a,b

不共线，精彩文档

实用标准文案（1）若ABa+b,BCa证：AD三共.（2）试确定实数k，+ba+

共线【解析明：

ABa+b,BC2a+BDBCCD2a+8b+b)5AB

；AB

共线，又

它们有公共点

，

A

，B

，D

三点共线（2）

+和a+

共线，存实数，使++

，即(b

，a,b

是不共线的两个非零向量，kk1.

2

【总结升华】①证明三点共线问题，可以用向共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当向量共线且有公共点时，才能得到点共.②向量共线的充要条件中要注意两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向，要注意待定系数与方程思想的运举反：【变式】已知平面内有一点及个，

，则（A．点P△外部B．P段AB上C点P线段BC上．线段AC上【答案D【解析】∵

AB

，∴

PCAB

，即

PBBA

，∴

，

CP

，∴点P在段AC上【变式2若a、b是不共线的向AB三点共,实数k值.k7【答案】

2a,ab，CDa2b

,已知A【解析】ACABBC+kb)+b，CDa2b

,A,C,D三点,

AC

共线,精彩文档

实用标准文案令

,不,∴+b

a2b

,∴

1

∴

k7【变式】已知向量a、b不，c+Ra-b果c，（）A．k=1且c与d同B．k=1且c与d反C―1c与d同D―1且与d反【答案D【解析】∵

c

∥

d

且

a

、

b

不共线，∴存在唯一实数

使

c

=

d

，∴+b

∴

1，∴

，故选D.【清堂平面向量的概念与线性运401193例2】【变式】已知向量

，且ABa2b,BC5a7a2b,定共线的（））ＡA）B、D、D【答案A类三平向的本理坐表及合用例．向，

c=2b

，

若

dc

，求使

cd

成立的实数和

x

的.【解析】由题知：a2b(2x，

d

ab(2∵dc∴

7(x)0，x3

，∴

1c，,)2由

cd

得

6

，∴

，

.【总结升华】考查向量的坐标运及平行垂直的坐标表示是考试命题的主要方式之掌,灵活运.举反：【变式】已知(，)，2aba是向求实数x的值;精彩文档

BC实用标准文案BC【解析】由已知2ab(，a2b∵a2b)

，∴(22x)(4

,得

x2

.【变式】设向量量【答案2

ab

与向量（）线，【解析】ab(2,23)

，∵(ac

，∴2)3)2

.故2.【变式】如图，在ABC中AD，AD则________.【答案】

3BD

，|

，【解析】系如图所:令B（x（x，y（0，1BCC∴

，

(x，

3BD

，∴

xCyC

xB

3(xx，∴3yC

(13)xB3

，((1,3)

，AD，

.【变式】若平面向量ab满ab1a于x轴，，【答案，1）（，1【解析】设

a

=（x

ab

=，y―1由题意得

y10

1yx1

或

3

.∴

a

=（―1）或（―3，1）.【清堂平面向量的概念与线性运401193例3】【变式5线2xyc0

按向量

平与圆

2

相切c值A．8或2B或4C－6D．2－8【答案A例，C不共线点，点是A，B确平内，若OA

取最小值时，O是的）A．重心B垂心．内D外心【答案A精彩文档

实用标准文案【解析】设O（x，y，y，y，y）则

x2yxy2xy1122332

1

x2

xxxx3123

3y

2

1

y2

yy231

y22

y3

1

xy2323(y2

32k则当

y12且y

3

时，

min

，故选A.【总结升华】关注三角形的“心角的心垂、、内心和旁举反：【变式】在

ABC

中，点

O

满足

AB

，则点

O

在

ABC

的（）A.角平分线B.线C.线D.高【答案；【解析】∵

OA，OAABAC0

，即OAAC)0

，∴

OACB0

，∴

，所以点

O

在

ABC

的高上【变式2ABC一点O

O△ABC）A．重心B垂心．内D外心【答案】选D.【解析】由

AOABBOBA

得ABBO)0∴0∴|同理故D.

即OB

【变式】平面内

及一点O满

COCA，|AB||AC||

，则点O

的（）（A）重心（B心（C心