第一节正弦定理(考点分析)

【考点分析】第一节正弦定理【考点一】由已知求边和角【典型例题1】(2021·河北武邑中学)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝eq\r(6)，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件()A．A＝30°，B＝45° B．C＝75°，A＝45°C．B＝60°，c＝3 D．c＝1，cosC＝eq\f(1,3)【解析】由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2sin60°,sin45°)＝eq\f(\r(3),\f(\r(2),2))＝eq\r(6)，符合题意，故选B.【答案】B【考点二】三角恒等变换与解三角形【典型例题2】如图所示，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明：sinα＋cos2β＝0；(2)若AC＝eq\r(3)DC，求β的值．【解析】(1)证明：∵α＝eq\f(π,2)－(π－2β)＝2β－eq\f(π,2)，∴sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2β－\f(π,2)))＝－cos2β，即sinα＋cos2β＝0.(2)解：在△ADC中，由正弦定理，得eq\f(DC,sinα)＝eq\f(AC,sin(π－β))，即eq\f(DC,sinα)＝eq\f(\r(3)DC,sinβ)，∴sinβ＝eq\r(3)sinα.由(1)得sinα＝－cos2β，∴sinβ＝－eq\r(3)cos2β＝－eq\r(3)(1－2sin2β)，由2eq\r(3)sin2β－sinβ－eq\r(3)＝0，解得sinβ＝eq\f(\r(3),2)或sinβ＝－eq\f(\r(3),3).∵0<β<eq\f(π,2)，∴sinβ＝eq\f(\r(3),2)，∴β＝eq\f(π,3).【答案】(1)见解析(2)eq\f(π,3)【考点三】利用正弦定理判定三角形的形状【典型例题3】(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下面条件的三角形不一定是直角三角形的是()A．sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)B．eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2,b2)C．cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)D．acosB－bcosA＝c(2)在△ABC中，若eq\f(bcosC,ccosB)＝eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【解析】(1)对于A，sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，由正弦定理角化边得a＋b＝c(cosA＋cosB)，由sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC得a＝bcosC＋ccosB，同理得b＝acosC＋ccosA，代入上式整理得ccosB＋bcosC＋acosC＋ccosA＝c(cosA＋cosB)，即(a＋b)cosC＝0，因为a＋b>0，所以cosC＝0，则C＝eq\f(π,2)，故A正确；对于B，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，故B错误；对于C，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，根据半角公式有eq\f(cosB＋1,2)＝eq\f(a＋c,2c)，即ccosB＝a，即ccosB＝ccosB＋bcosC，整理得bcosC＝0，因为b≠0，所以cosC＝0，即C＝eq\f(π,2)，故C正确；对于D，acosB－bcosA＝c，由A知在任意的三角形中都有acosB＋bcosA＝c，所以两式相减可得bcosA＝0，因为b≠0，所以cosA＝0，即A＝eq\f(π,2)，故D正确，故选ACD.(2)由已知eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)＝eq\f(2cos2C,2cos2B)＝eq\f(cos2C,cos2B)＝eq\f(bcosC,ccosB)，所以eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c)或eq\f(cosC,cosB)＝0，即C＝90°或eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c)．当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c)时，由正弦定理，得eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，所以eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(sinB,sinC)，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B．因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D．【答案】(1)ACD(2)D【考点四】利用正弦定理求三角形的面积【典型例题4】在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，b2sinC＝4eq\r(2)sinB，则△ABC的面积为________．【解析】因为b2sinC＝4eq\r(2)sinB，所以b2c＝4eq\r(2)b，所以bc＝4eq\r(2)，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝2．【答案】2【考点五】利用正弦定理求边的最值【典型例题5】(2022•江苏高三专题练)已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积.(1)求边c；(2)若为锐角三角形，求a的取值范围.【解析】(1)因为，，所以；因为，所以.(2)在中，由正弦定理，由(1)知，，代入上式得：，因为为锐角三角形，则,所以，所以，所以.【答案】(1)1(2)【考点六】利用正弦定理求有关周长的最值(范围)问题【典型例题6】(2022•浙江省新昌中学模拟)已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为．(1)求的值及的对称中心；(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．【解析】(1)，显然的最大值为1，最小值为，则时，的最小值等于，则，则，；令，解得，则的对称中心为；(2)，，又，则，由正弦定理得，则，则周长为，又，则，则，故周长的取值范围为.【答案】(1)，对称中心；(2)【归纳总结】求有关三角形周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．【考点七】三角形解的个数【典型例题7】(2022•江西省二模)设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为(

)A． B．C． D．【解析】由正弦定理，即，所以，因为不唯一，即有两解，所以且，即，所以，所以，即；故选：A【答案】A【归纳总结】这是已知三角形两边和其中一边的对角，解斜三角形问题，首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论是否有解？如果有解，是一解，还是两解？不解三角形只判断解的个数，只需用图解法．【考点八】利用正弦定理证明恒等式【典型例题8】在△ABC中，求证：eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA).【证明】因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，所以左边＝eq\f(2RsinA－2RsinCcosB,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sin(B＋C)－sinCcosB,sin(A＋C)－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC,sinAcosC)＝eq\f(sinB,sinA)＝右边．所以等式成立．【归纳总结】正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．【考点九】正弦定理的综合应用【典型例题9】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＋c＝2acosB．(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝eq\f(a2,4)，求角A的大小．【解析】(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B．(2)由S＝eq\f(a2,4)，得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2,4)，故有sinBsinC＝eq\f(1,2)sinA＝e