考点28 数列求和、数列的综合应用

12223nnnn3n312223nnnn3n3数列求和、数列的综合应用A组基础题组1．(2018·湖南常德一中月考，等差数列{}前项和为，若a＋＋＝nn12则的值为7A．

B．C．56

(A)D．7（a＋）【解析】因为＋＋a＝12所以＝所以a＝则＝345＝7a＝28，故选A.42．(2018·安徽芜湖、马鞍山联考，5)已知等比数列{a}前n项和是S，且Sn

20＝21＝49则为3010

(A)A．7

B．9．D．或【解析】由等比数列的性质，得，－S，－成等比数列，∴－1020S)10

＝S·－S，∴(21－S)1010

＝－S，即(S－－63)＝0.10107即S＝7＝舍去，因为3010.1010203湖北黄冈质检数列{}通项公式是a为10则项数n

1nn

，若前n项和(A)A．

B．

C．11D．【】

因为＝n

1n＋＋

＝

n＋1－（＋1）（＋－）

＝＋1－n，所以a＋a＋…＋＝(－1)＋－＋…＋(n＋1－n)＝＋11＝10.1即＋1＝11，所以n＋1＝121，n＝120.4．山西孝义二模9)已知数列{a}{}其中{}首项为3，公差为n整数的等差数列，且>a＋，a<a＋5，a＝log，则数列{}前项3142n和S为n

(C)A．

－1)

B．4(3

8－1)C.

－1)

4D.(3

－1)第1页

<5.＝8·4n32291022)n]24nn－111210*32*n2n163232n6n1*n2n<5.＝8·4n32291022)n]24nn－111210*32*n2n163232n6n1*n2n，【解析】由题意，得a＝3＋(n－d，又>a＋，aa＋，可n12因为公差d整数，所以d＝2，所以a＝＋n－1)＝2n1.为a＝logb，nn即2n＋1＝log，所以b＝2nn

n1

，所以数列{}以为首项，4为公n比的等比数列，所以S＝n

8（1－41－4

n

）＝(4－1)．1115河北衡水中学期中8)1(1))＋…(1)22424的值为

(B

)1A．＋B20＋

C．22＋

111

D．18＋

11011【解析】设a＝1＋＋…＋＝＝[1)n].211则原式＝a＋a＋…＋a2[1)1])2

]111＝2[11222211)＝＝211

1(1

1]＝2[11)]116(2018·黑龙江哈尔滨师大附中月考，已知数列{}足n1

n

－

1

＝2a(n≥2，n∈Nn

63)，则数列{}前6项和____n【解析】由已知＝a(≥2，n∈N)得n

a1＝，所以数列{}以1为首an)项，为公比的等比数列，所以数列{}前6项和为＝＝.7．黑龙江哈尔滨师大附中月考，14)设S＝－＋57＋…＋(－1)－nn－nN，则＝(－n

－

1

n.【解析】当是偶数时S＝－＋(5－7)＋…＋[(2－3)－－1)]－2nnn－2－…－2共有项）＝－2＝－n；当n是奇数时，S＝(13)＋－27)＋…＋[(2－5)－n－3)]＋(2n－－2－2－…（共有第2页

n2

项）＋

n12222224bnn1nnn2n1nnnnn111n221nn23nn12222224bnn1nnn2n1nnnnn111n221nn23n34－1)＝－

2×（n－1）2

＋2n1＝n.∴＝(－－n

n.98．(2015·重庆文，1613已知等差数列{}足＝，前项和S＝.n3求{}通项公式；n设等比数列{}足b＝，＝a，求{}前n和T.n114nn3×29解：设{}公差为d则由已知条件得＋＝2，3a＋＝，n13化简得a＋d＝2，a＋d，解得a＝1，＝，111n－1n1故通项公式a＝1＋，即＝.n151由(1)得b＝，b＝a＝＝8.1415设{}公比为q，则qn

3

b＝＝，从而＝，1b（－）1（－）故{}前n和＝＝＝－1－q1－29山东，，分)已知数列{a}前项和S＝n＋，{}等差数n列，且a＝＋.n求数列{}通项公式；n（a＋）令＝，求数列{}前项和.（b＋）n解：由题意知当n≥时，＝S－S＝6＋，n当n＝1时，a＝＝，所以＝＋5.11n＝＋b，＝2b＋d，设数列{}公差为d由即＝＋b，＝＋，解得b＝，d＝3.所b＝n＋1.1(2)由(1)知c＝n

（6n＋6）（3n＋3）

＝3(n＋1)·2

n

＋

1

.又T＝c＋＋…＋c，n12得T＝3×[2×2＋3×2＋…＋(n＋1)·2＋]，n2T＝×[2×2＋3×2＋…＋n＋n

n

＋

2

]两式作差，得第3页

234]***21111a19202234]***21111a19202－T＝3×[2×2＋＋2＋…＋n

n1

－n＋

n2＝3[4

4(11

n

)

n

n

]＝－2

n

，所以T＝3n·2n

n2

.B组

能力题组10河南郑州一中联考，10)在数列{a}，若对任意的∈N均有＋nna＋n

2

为定值，且a＝2a＝a＝，则数列{}前100的和S7

100＝

(B

)A．

B．C．68

D．【解析】因为在数列{}若对任意的n∈均有＋＋annn1n

2

为定值，所以＝a，即数列{a}各项是以为周期呈周期变化的．因为a＝2nna＝，a＝a9

×30

＝a＝，所以a＋＋＝＋a＋a＝24＋3＝9，所82以S＝×(a＋a＋a)＋a＝×＋a＝，故选100110011(2018·徽合肥中学月考14)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．已知数列{}等和数列，且a＝－1，公和为1，n那么这个数列的前2项和S＝__1__009__．2018【解析】

根据题意，得a＋＝，n∈且a＝－，n1所以a＋a＝－＋a＝1，即a＝，a＝－1a＝2，…，14所以数列的周期T＝2，2所以S＝(－＋＋－1＋2)＋…＋－1＋2)＝＝1201812湖南师范大学附属中学月考，已知数列{}等差数列，其nna和为S且＋若存在最大值则满足S>0n最大值为_n10a【解析】因为S有最大值则数列{}调递减又<－1则aa<0，nn101110且a＋<0.以S＝19×10

a＋12

a＋＝19a＝×＝10(a＋，1020故满足S>0n最大值为19.n13江西高安中学检测，数列{}前项和是S，若数列{a}各项nnn第4页

8624826611222n22n（4＋2n）8624826611222n22n（4＋2n）11241－按如下规则排列：，，，，，，，…，，…，，…，2445n有如下运算结果和结论：3①a＝；2331②S＝；11③数列a，＋，aa＋，＋a＋＋a，…是等比数列；134567810n＋④数列a，＋，aa＋，＋a＋＋a，…的前项和T＝.134567810则正确的运算结果或结论的序号是__②④__．【解析】从题中可看出分母n1出现次，当分母为＋1时，分子依次2为1，2，3，…，n，共个，由于1＋2＋＋＋5＋6＋223.因此a＝，2312214131①错误；S＝()()()＋＝，②正确；由34512nn题意，知数列的第n项为＋＋＋…＋＝，是等差数列，不n＋1n1n＋1n1n是等比数列错误③知数列的通项公式是前n和T＝nn＋＝，④正确．4

n(214山东文，，分)在等差数列{}，已知公差＝，a是a与n14的等比中项．求数列{}通项公式；n设b＝an

n（n＋1）2

，记T＝－b＋－＋b－…＋(－1)，求Tn13nn解：(1)由题意知(a＋)＝a(a＋3d，11即(a＋2)＝(＋，解得a＝所以数列{}通项公式为＝.111(2)由题意知b＝an

n（n＋1）2

＝nn＋．则b－＝2(n1)，n所以T＝－1×2＋2×－×＋…＋(－n

n×n＋．可得当n偶数时，T＝(－b＋)＋－b＋)＋…＋－b＋)nn1n＝4＋8＋12…＋2n

n2

n（n＋）＝22

，第5页

2222n2*2n2nnn2nnnn2nn12nn*2n222n12n→1＋a42222n2*2n2nnn2nnnn2nn12nn*2n222n12n→1＋a4→→b12n1－nbnnnaa28k28→→→→→→→→→b25k25当n奇数时，（n－1）（n＋1）（n＋1）T＝＋(－b)＝－(n＝－nn1（n＋1，为奇数，所以T＝n（n＋2），为偶数15江西重点高中调研，，分)设数列{}足a＝2，a＋＝14，n15且对任意n∈，函数(＝an(1)求数列{a}通项公式；n

－a＋)x足f′(1)＝0.＋(2)设b＝n

11，记数列{}前项和为S，求证：<（a－）（a＋1）n解：(1)由f()＝a－a＋)x，得x)x－a＋a)．＋＋＋＋又∵f′(1)＝0，∴2a＝＋a，∴{}等差数列．＋＋设等差数列{}公差为d，由a＝2a＋＝14得(a＋)＋a＋)＝，n51解得d2∴数列{}通项公式为a＝a＋(－＝2＋(n－×2＝2n(n∈)．n(2)证明：∵b＝n

111＝＝()（a－）（a＋1）（－1（2n＋1）2n11111∴S＝(1)(1)322n

n11＝2n12＋16(2018·湖南郴州第一次质检n)，()别为等差数列{}{}n前和，且

S()T(n

3n2＝.点直线外一点，点直线BC上一4n5点，且＝·AB＋λBC，则实数的值为3

－

325

．解析】

∵

S（n）＋（2n－1）a＋a6n－1＝，∴＝＝，Tn）4＋T2n1b＋8n112a－即＝.因此可设a＝k－，则b＝kn8n1则＝＝，AP＝AB＝＋＝＋μAC－AB)＝μ＋3第6页

μ＝λ＋·，即即λ＝－.2nn2nn*222xx2nnn22a2n－12a11n2an＋1a＋22n1＋＋1n224n13nμ＝λ＋·，即即λ＝－.2nn2nn*222xx2nnn22a2n－12a11n2an＋1a＋22n1＋＋1n224n13na111)n－3n1n1n－－1121n1n01n1nn＋3n1－→28→→μ＝25，2525，17四川成都二模，，分)设函数f)＝

ax＋＋1x＋c

(a＞为奇函数，f（a）－a且|f(x)|＝22数列{}{}足如下关系：a＝2a＝，minnn＋1a－b＝a＋n(1)求()的