第02讲根式、分式的化简精讲（解析版）2022年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练

第02讲根式、分式的化简(精讲）目录一、知识衔接二、典型例题题型一：二次根式有意义的条件题型二：求二次根式中的参数题型三：二次根式的乘法与除法及其混合运算题型四：最简二次根式题型五：二次根式的加法与减法及其混合运算题型六：分母有理化题型七：二次根式化简求值题型八：双重二次根式题型九：分式的意义题型十：分式的化简求值题型十一：分式的基本性质一、知识衔接1、初中知识再现（1）二次根式的定义一般地，形如的式子叫做二次根式.（2）二次根式性质：① ②③ ④（3）分式形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式.（4）分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变.用式子表示为：2、高中相关知识2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：.2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：①与②与2.4繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.二、典型例题题型一：二次根式有意义的条件1．（2022·浙江宁波·模拟预测）若代数式在实数范围内有意义，则取值范围是（

）A． B．C．且 D．且【答案】A【详解】根据题意，得，解得:，故答案为：A．2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠2【答案】D解：根据题意得，x+2≥0且x﹣2≠0，解得x≥﹣2且x≠2.故选：D．3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）若式子不论取任何数总有意义，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】D【详解】解：若对任意总有意义，则恒成立，的最小值为，，即．故选：D．4．（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）使有意义的的取值范围是（

）A．且 B． C． D．【答案】D解：∵有意义，∴x+1>0，解得：x＞-1．故选：D．5．（2022·河南新乡·二模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】且x≠0解：根据二次根式有意义的条件可得，解得，根据分式有意义的条件可得x≠0，综上可得且x≠0，故答案为：且x≠0．题型二：求二次根式中的参数1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D解：∵最简二次根式和能合并，∴，∴，解得，故选D．2．（2022·江苏·靖江市靖城中学八年级阶段练习）已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_____．【答案】2解：＝2，∵与最简二次根式是同类二次根式，∴2a﹣1＝3，解得：a＝2，故答案为：2．3．（2022·广东·模拟预测）已知a，b都是实数，，则ab的值为_____．【答案】-1根据二次根式的定义：，解得：，∴，代入原式得：，∴，故答案为：-1．4．（2022·福建·九年级专题练习）若，则______________．【答案】1，5．（2022·北京八中八年级期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．【答案】或或【详解】解：由题意得，解得，∵n是正整数，∴∴，∴，∴，∵是整数，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整数，∴或或，故答案为：或或6．（2022·上海·七年级专题练习）已知实数x、y满足x2﹣12x++36＝0，求的值．【答案】3解：∵x2﹣12x++36＝0，∴x2﹣12x+36+＝0，∴（x﹣6）2+＝0，∴x﹣6＝0，y+4＝0，解得：x＝6，y＝﹣4，∴．题型三：二次根式的乘法与除法及其混合运算1．（2022·重庆八中九年级阶段练习）与最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C解：原式=，∵49<63<64，∴，∵，∴，∴最接近8，∴最接近8-3即5，故选：C．2．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级期中）计算：＝____．【答案】解：原式=．故答案为：．3．（2022·湖北随州·八年级期中）计算．(1)；(2)．【答案】(1)-2(2)【解析】(1)原式(2)原式4．（2022·福建南平·八年级期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)4(1)解：原式==(2)解：原式===45．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）计算：【答案】解：原式6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）计算：(1)(2)【答案】(1)5(2)1(1)原式．(2)原式．7．（2022·河北唐山·八年级期末）计算：(1)；(2)【答案】(1)6(2)3(1)解：原式=6；(2)解：原式=3．8．（2022·湖南长沙·八年级期末）计算：．【答案】解：===．题型四：最简二次根式1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列各式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D解：A、被开方数里含有分母，故本选项错误；B、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故本选项错误；C、被开方数里含有能开得尽方的因数9，故本选项错误；D、符合最简二次根式的条件，故本选项正确．故选：D．2．（2022·安徽·马鞍山中加双语学校八年级阶段练习）在中，最简二次根式的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A解：不是最简二次根式，是最简二次根式.故选A.3．（2022·河南·南阳市宛城区金华中学八年级期中）二次根式、、、、中，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B解：二次根式、、、、中，最简二次根式有、，共2个故选：B．4．（2022·上海市文来中学七年级期中）下列各组二次根式中是同类二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B、，，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、和，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D、，，是同类二次根式，故本选项符合题意；故选：D5．（2022·北京市第五十七中学八年级期中）如果两个最简二次根式与能合并，那么________．【答案】4解：∵最简二次根式与能合并，∴，∴a=4．故答案为：46．（2022·河南南阳·九年级期末）最简二次根式与是同类二次根式，则__________．【答案】7解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴2m-1=34-3m，解得m=7，故答案为：7．题型五：二次根式的加法与减法及其混合运算1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校模拟预测）化简：________．【答案】解：===．故答案为：．2．（2022·山西大同·二模）计算：________．【答案】解：===故答案为：3．（2022·山东淄博·九年级期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)(1)解：；(2)．4．（2022·上海·七年级专题练习）计算：＋＋（＋1）0【答案】3解：原式＝﹣4+10﹣4+1＝3．5．（2022·山东淄博·九年级期中）在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，这样的式子，可以将其进一步化简：；，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请化简下列各题（写出化简过程）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)(1)；(2)；(3)＋……＋．．6．（2022·广西·河池市宜州区教育局教学研究室八年级期中）计算：【答案】解：原式＝＝7．（2022·北京市第十三中学分校七年级期中）计算:(1)(2)【答案】(1)(2)(1)解：原式=．(2)解：原式．8．（2022·河南商丘·八年级期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)(1)解：原式(2)解：原式题型六：分母有理化1．（2022·江苏·八年级专题练习）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（）A．相等 B．互为相反数C．互为倒数 D．互为有理化因式【答案】A解：∵a＝＝+2，b＝2+，∴a＝b，故选：A．2．（2022·湖南衡阳·九年级）满足不等式的整数m的个数是______．【答案】7解：∵，，∴，，∵<m<，∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．3．（2022·广西贵港·八年级期末）计算：______．【答案】解：故答案为：．4．（2022·江苏·八年级专题练习）观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___．【答案】解：原式，故答案是：2021．5．（2022·河南信阳·八年级期中）阅读并完成下面问题：①；②；③．试求：(1)下列各数中，与的积是有理数的是______．A.；B．2；C．；D．(2)的倒数为______．(3)若，求的值．【答案】(1)A(2)(3)1(1)解：阅读题干可以发现：与的积为有理数，，故选A；(2)解：的倒数，故答案为：；(3)解：∵，．题型七：二次根式化简求值1．（2022·上海·七年级专题练习）已知：，求的值．【答案】解：∵，∴，∴．2．（2022·河南新乡·八年级期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，解：．将代入得．3．（2022·四川资阳·九年级期末）先化简，再求值：，其中．【答案】；当时，原式．4．（2022·江苏盐城·一模）先化简，再求值：，其中．【答案】，解：把代入得：原式5．（2022·河南安阳·一模）先化简．再求值：，其中，．【答案】，．解：，，，当，时，原式．6．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：(1)计算：．(2)若．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．【答案】(1)(2)①3；②﹣18(1)解：=（-1）+（-）+（-）+…+（-）=-1；(2)解：①∵a=+1，∴a−1=，∴(a−1)2=2，∴a2−2a=1，∴4a2﹣8a﹣1=4（a2﹣2a）﹣1=4×1-1=3；②∵a2−2a=1，∴3a3﹣12a2+9a﹣12=3a（a2﹣2a）-6a2+9a-12=3a-6a2+9a-12=-6（a2﹣2a）-12=﹣18．题型八：双重二次根式1．（2021·全国·八年级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为_________，点的“横负纵变点”为________；(2)化简：；(3)已知为常数，点，且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是_________．【答案】(1)；(2)(3)(1)解：∵，∴点的“横负纵变点”为；∵，∴点的“横负纵变点”为；故答案为：；．(2)(3)∵，∴，∴，∴∴∴∵，∴故答案为：2．（2021·全国·九年级专题练习）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为；（2）化简：【答案】（1），；（2）；解：（1）根据题目意思，∵和,点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为，故答案为：，；（2）∵2+5=7,2×5=10,∴；3．（2020·重庆·模拟预测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为；（2）化简：；（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）(﹣，﹣)【解析】解：（1）根据题目意思，∵和，点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为，故答案为：，；（2）∵∴；（3）∵，∵点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，∴，即：M（，），又∵点M’是点M的“横负纵变点∴M′的坐标为（，）．4．（2019·重庆市一中寄宿学校九年级阶段练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”阅读下列两则材料，回答问题材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，那么如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（2+（）2＝a即m+n＝a，且使即m•n＝b，那么a±2＝（）2+（）2±2＝（2∴＝＝|，双重二次根式得以化简．例如化简：．∵3＝1+2且2＝1×2，∴3+2＝（）2+（）2+2，∴＝＝1+．材料二：在直角坐标系xoy中，对于点P（x，y）和点Q（x，y′）出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“横负纵变点”例如，点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）问题：（1）请直接写出点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为；化简＝；（2）点M为一次函数y＝﹣x+1图象上的点，M′为点M的横负纵变点，已知N（1，1），若M′N＝，求点M的坐标；（3）已知b为常数且1≤b≤2，点P在函数y＝﹣x2+16（+）（﹣7≤x≤a）的图象上，其“横负纵变点”的纵坐标y′的取值范围是﹣32＜y′≤32，若a为偶数，求a的值．【答案】（1）（﹣3，2）；﹣；（2）当a≥0时，M'（3，﹣2）；当a＜0时，M'（﹣1，﹣2）；（3）a＝4或a＝6解：（1）∵﹣3＜0，根据“横负纵变点”的定义，∴（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为（﹣3，2）；＝＝﹣；故答案为：（﹣3，2）；﹣；（2）设点M（a，1﹣a），当a≥0时，M'（a，1﹣a），∵N（1，1），M′N＝，∴（1﹣a）2+a2＝13，∴a＝3或a＝﹣2（舍），∴M'（3，﹣2）；当a＜0时，M'（a，a﹣1），∵N（1，1），M′N＝，∴（1﹣a）2+（2﹣a）2＝13，∴a＝﹣1或a＝4（舍），∴M'（﹣1，﹣2）；（3）∵1≤b≤2，∴0≤b﹣1≤1，∵＝+1+1﹣＝2，∴y＝﹣x2+32，∴y'＝，当﹣7≤x＜0时，﹣32＜y'≤17；当x≥0时，y'≤32；令﹣x2+32＝17，解得x1＝或x2＝﹣（舍）；令﹣x2+32＝﹣32，解得x1＝8或x2＝﹣8（舍）；∴≤a＜8，∵a是偶数，∴a＝4或a＝6．5．（2019·河南·商水县希望初级中学九年级阶段练习）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：，那么，那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；例如化简：；且，由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）填空：_________________；__________________；（2）化简：①②（3）计算：【答案】（1）；（2）；；（3）．【解析】试题解析：（1）；；（2）①；②=；（3）===．题型九：分式的意义1．（2022·湖南邵阳·八年级期末）下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是：（

）A． B． C． D．【答案】B∵2x+1=0，∴x=，故x=时，分式无意义，A不符合题意；∵恒大于0，故分式恒意义，B符合题意；∵x=0时，分式无意义，故C不符合题意；∵x=1时，分式无意义，故D不符合题意；故选B．2．（2022·湖北襄阳·一模）函数自变量x的取值范围是_______．【答案】解：由题意得：由①得：由②得：所以不等式组的解集为：所以函数自变量x的取值范围是故答案为：3．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】且解：根据题意得：2-x≥0，且x+1≠0，∴x≤2且x≠1，故答案为：x≤2且x≠1．4．（2022·山东·一模）在函数中，自变量x的取值范围是__________．【答案】x≥2解：∵有意义，∴x−2≥0且x+1≠0，∴自变量x的取值范围是x≥2，故答案为：x≥2．题型十：分式的化简求值1．（2022·北京西城·二模）已知，求代数式的值．【答案】，解：==，∵x2+x-5=0，∴x2+x=5，∴3x2+3x=15，当3x2+3x=15时，原式=，2．（2022·广西百色·二模）先化简，再求值：，从－1，1，2这三个数中选择一个你认为适合的x代入求值．【答案】，当时，1解：原式，∵，∴，-1，∴，当时，原式．3．（2022·江苏扬州·二模）先化简，再求值：，其中．【答案】，1＋解：原式，代入得．4．（2022·湖南邵阳·三模）先化简，再求值：，其中．【答案】；解：原式===当时，原式==．5．（2022·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中．【答案】；2．解：原式，当时，原式．题型十一：分式的基本性质1．（2022·河北唐山·一模）以下是甲、乙、丙、丁四位同学做的题，甲：计算时，去分母，同乘于，得．乙：对于分式，利用分式基本性质，可得，．丙：由，解得．丁：中a、b的值都扩大到原来的2倍，所得分式的值扩大到原来的4倍．则针对以上解法，下列说法正确的是（

）A．只有丙正确 B．只有丁正确 C．甲、乙都正确 D．丙、丁都正确【答案】A解：甲：分式不能直接去分母，只能通分，所以甲错误；乙：分式的基本性质是：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，不是加减，所以乙错误；丙：，，，经检验，是原方程的根，所以丙正确；丁：将中a、b的值都扩大到原来的2倍，可得：，即所得分式的值扩大到原来的2倍，故丁错误；所以只有丙正确．故选A．2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值