第02讲根式、分式的化简精讲(解析版)2022年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练_第1页
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文档简介

第02讲根式、分式的化简(精讲)目录一、知识衔接二、典型例题题型一:二次根式有意义的条件题型二:求二次根式中的参数题型三:二次根式的乘法与除法及其混合运算题型四:最简二次根式题型五:二次根式的加法与减法及其混合运算题型六:分母有理化题型七:二次根式化简求值题型八:双重二次根式题型九:分式的意义题型十:分式的化简求值题型十一:分式的基本性质一、知识衔接1、初中知识再现(1)二次根式的定义一般地,形如的式子叫做二次根式.(2)二次根式性质:① ②③ ④(3)分式形如:(其中中含有字母)的式子叫作分式.(4)分式的基本性质:分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为的整式,分式的值不变.用式子表示为:2、高中相关知识2.1无理式:根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如:,是无理式,而不是无理式2.2分母有理化:把分母中的根号化去,叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如:.2.3有理化因式:两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含根式,那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有:①与②与2.4繁分式:当一个分式的分子或分母中仍含有分式时,该分式就称为繁分式.如:或等.繁分式的化简,通常将其化成分式的除法进行运算.二、典型例题题型一:二次根式有意义的条件1.(2022·浙江宁波·模拟预测)若代数式在实数范围内有意义,则取值范围是(

)A. B.C.且 D.且【答案】A【详解】根据题意,得,解得:,故答案为:A.2.(2022·内蒙古鄂尔多斯·一模)函数y=中自变量x的取值范围是()A.x≥﹣2 B.x≤﹣2 C.x≠﹣2 D.x≥﹣2且x≠2【答案】D解:根据题意得,x+2≥0且x﹣2≠0,解得x≥﹣2且x≠2.故选:D.3.(2022·河北·石家庄市第四十一中学一模)若式子不论取任何数总有意义,则的取值范围是(

)A. B. C.且 D.【答案】D【详解】解:若对任意总有意义,则恒成立,的最小值为,,即.故选:D.4.(2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习)使有意义的的取值范围是(

)A.且 B. C. D.【答案】D解:∵有意义,∴x+1>0,解得:x>-1.故选:D.5.(2022·河南新乡·二模)若代数式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是______.【答案】且x≠0解:根据二次根式有意义的条件可得,解得,根据分式有意义的条件可得x≠0,综上可得且x≠0,故答案为:且x≠0.题型二:求二次根式中的参数1.(2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测)若最简二次根式和能合并,则a、b的值分别是()A.2和1 B.1和2 C.2和2 D.1和1【答案】D解:∵最简二次根式和能合并,∴,∴,解得,故选D.2.(2022·江苏·靖江市靖城中学八年级阶段练习)已知与最简二次根式是同类二次根式,则a的值是_____.【答案】2解:=2,∵与最简二次根式是同类二次根式,∴2a﹣1=3,解得:a=2,故答案为:2.3.(2022·广东·模拟预测)已知a,b都是实数,,则ab的值为_____.【答案】-1根据二次根式的定义:,解得:,∴,代入原式得:,∴,故答案为:-1.4.(2022·福建·九年级专题练习)若,则______________.【答案】1,5.(2022·北京八中八年级期中)已知n是正整数,是整数,则满足条件的所有n的值为__________.【答案】或或【详解】解:由题意得,解得,∵n是正整数,∴∴,∴,∴,∵是整数,∴或或或或,解得或或或或,∵n是正整数,∴或或,故答案为:或或6.(2022·上海·七年级专题练习)已知实数x、y满足x2﹣12x++36=0,求的值.【答案】3解:∵x2﹣12x++36=0,∴x2﹣12x+36+=0,∴(x﹣6)2+=0,∴x﹣6=0,y+4=0,解得:x=6,y=﹣4,∴.题型三:二次根式的乘法与除法及其混合运算1.(2022·重庆八中九年级阶段练习)与最接近的整数是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C解:原式=,∵49<63<64,∴,∵,∴,∴最接近8,∴最接近8-3即5,故选:C.2.(2022·甘肃·平凉市第十中学九年级期中)计算:=____.【答案】解:原式=.故答案为:.3.(2022·湖北随州·八年级期中)计算.(1);(2).【答案】(1)-2(2)【解析】(1)原式(2)原式4.(2022·福建南平·八年级期中)计算:(1)(2)【答案】(1)(2)4(1)解:原式==(2)解:原式===45.(2022·河北秦皇岛·八年级期末)计算:【答案】解:原式6.(2022·湖南邵阳·八年级期末)计算:(1)(2)【答案】(1)5(2)1(1)原式.(2)原式.7.(2022·河北唐山·八年级期末)计算:(1);(2)【答案】(1)6(2)3(1)解:原式=6;(2)解:原式=3.8.(2022·湖南长沙·八年级期末)计算:.【答案】解:===.题型四:最简二次根式1.(2022·江苏·八年级专题练习)下列各式中,是最简二次根式的是(

)A. B. C. D.【答案】D解:A、被开方数里含有分母,故本选项错误;B、,被开方数里含有能开得尽方的因式,故本选项错误;C、被开方数里含有能开得尽方的因数9,故本选项错误;D、符合最简二次根式的条件,故本选项正确.故选:D.2.(2022·安徽·马鞍山中加双语学校八年级阶段练习)在中,最简二次根式的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A解:不是最简二次根式,是最简二次根式.故选A.3.(2022·河南·南阳市宛城区金华中学八年级期中)二次根式、、、、中,最简二次根式有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B解:二次根式、、、、中,最简二次根式有、,共2个故选:B.4.(2022·上海市文来中学七年级期中)下列各组二次根式中是同类二次根式的是(

)A.和 B.和C.和 D.和【答案】D解:A、,与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;B、,,不是同类二次根式,故本选项不符合题意;C、和,不是同类二次根式,故本选项不符合题意;D、,,是同类二次根式,故本选项符合题意;故选:D5.(2022·北京市第五十七中学八年级期中)如果两个最简二次根式与能合并,那么________.【答案】4解:∵最简二次根式与能合并,∴,∴a=4.故答案为:46.(2022·河南南阳·九年级期末)最简二次根式与是同类二次根式,则__________.【答案】7解:∵最简二次根式与是同类二次根式,∴2m-1=34-3m,解得m=7,故答案为:7.题型五:二次根式的加法与减法及其混合运算1.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校模拟预测)化简:________.【答案】解:===.故答案为:.2.(2022·山西大同·二模)计算:________.【答案】解:===故答案为:3.(2022·山东淄博·九年级期中)计算:(1);(2).【答案】(1)(2)(1)解:;(2).4.(2022·上海·七年级专题练习)计算:++(+1)0【答案】3解:原式=﹣4+10﹣4+1=3.5.(2022·山东淄博·九年级期中)在进行二次根式化简时,我们有时会遇到如,这样的式子,可以将其进一步化简:;,以上这种化简的方法叫做分母有理化.请化简下列各题(写出化简过程):(1);(2);(3).【答案】(1)(2)(3)(1);(2);(3)+……+..6.(2022·广西·河池市宜州区教育局教学研究室八年级期中)计算:【答案】解:原式==7.(2022·北京市第十三中学分校七年级期中)计算:(1)(2)【答案】(1)(2)(1)解:原式=.(2)解:原式.8.(2022·河南商丘·八年级期中)计算:(1);(2).【答案】(1)(2)(1)解:原式(2)解:原式题型六:分母有理化1.(2022·江苏·八年级专题练习)已知a=,b=2+,则a,b的关系是()A.相等 B.互为相反数C.互为倒数 D.互为有理化因式【答案】A解:∵a==+2,b=2+,∴a=b,故选:A.2.(2022·湖南衡阳·九年级)满足不等式的整数m的个数是______.【答案】7解:∵,,∴,,∵<m<,∴3.312<m<10.472,∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10,共7个,∴整数m的个数是7,故答案为:7.3.(2022·广西贵港·八年级期末)计算:______.【答案】解:故答案为:.4.(2022·江苏·八年级专题练习)观察下列二次根式化简:﹣1,,⋯从中找出规律并计算=___.【答案】解:原式,故答案是:2021.5.(2022·河南信阳·八年级期中)阅读并完成下面问题:①;②;③.试求:(1)下列各数中,与的积是有理数的是______.A.;B.2;C.;D.(2)的倒数为______.(3)若,求的值.【答案】(1)A(2)(3)1(1)解:阅读题干可以发现:与的积为有理数,,故选A;(2)解:的倒数,故答案为:;(3)解:∵,.题型七:二次根式化简求值1.(2022·上海·七年级专题练习)已知:,求的值.【答案】解:∵,∴,∴.2.(2022·河南新乡·八年级期中)先化简,再求值:,其中.【答案】,解:.将代入得.3.(2022·四川资阳·九年级期末)先化简,再求值:,其中.【答案】;当时,原式.4.(2022·江苏盐城·一模)先化简,再求值:,其中.【答案】,解:把代入得:原式5.(2022·河南安阳·一模)先化简.再求值:,其中,.【答案】,.解:,,,当,时,原式.6.(2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习)小芳在解决问题:已知a=,求2a2﹣8a+1的值.他是这样分析与解的:a===2﹣,∴a=2﹣,∴(a﹣2)2=3,a2﹣4a+4=3,∴a2﹣4a=﹣1,∴2a2﹣8a+1=2(a2﹣4a)+1=2×(﹣1)+1=﹣1请你根据小芳的分析过程,解决如下问题:(1)计算:.(2)若.①求4a2﹣8a﹣1的值;②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值.【答案】(1)(2)①3;②﹣18(1)解:=(-1)+(-)+(-)+…+(-)=-1;(2)解:①∵a=+1,∴a−1=,∴(a−1)2=2,∴a2−2a=1,∴4a2﹣8a﹣1=4(a2﹣2a)﹣1=4×1-1=3;②∵a2−2a=1,∴3a3﹣12a2+9a﹣12=3a(a2﹣2a)-6a2+9a-12=3a-6a2+9a-12=-6(a2﹣2a)-12=﹣18.题型八:双重二次根式1.(2021·全国·八年级期中)数学教育家波利亚曾说:“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”.材料一:平方运算和开方运算是互逆运算.如,那么.如何将双重二次根式化简?我们可以把转化为完全平方的形式,因此双重二次根式得以化简.材料二:在直角坐标系中,对于点和给出如下定义:若,则称点为点的“横负纵变点”.例如:点的“横负纵变点”为,点的“横负纵变点”为.请选择合适的材料解决下面的问题:(1)点的“横负纵变点”为_________,点的“横负纵变点”为________;(2)化简:;(3)已知为常数,点,且,点是点的“横负纵变点”,则点的坐标是_________.【答案】(1);(2)(3)(1)解:∵,∴点的“横负纵变点”为;∵,∴点的“横负纵变点”为;故答案为:;.(2)(3)∵,∴,∴,∴∴∴∵,∴故答案为:2.(2021·全国·九年级专题练习)数学教育家波利亚曾说:“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”.材料一:平方运算和开方运算是互逆运算.如a2±2ab+b2=(a±b)2,那么,如何将双重二次根式化简.我们可以把转化为完全平方的形式,因此双重二次根式得以化简.材料二:在直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′)给出如下定义:若则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如:点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(﹣2,5)的“横负纵变点”为(﹣2,﹣5).问题:(1)点的“横负纵变点”为,点的“横负纵变点”为;(2)化简:【答案】(1),;(2);解:(1)根据题目意思,∵和,点的“横负纵变点”为,点的“横负纵变点”为,故答案为:,;(2)∵2+5=7,2×5=10,∴;3.(2020·重庆·模拟预测)数学教育家波利亚曾说:“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”.材料一:平方运算和开方运算是互逆运算.如a2±2ab+b2=(a±b)2,那么,如何将双重二次根式化简.我们可以把转化为完全平方的形式,因此双重二次根式得以化简.材料二:在直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y’)给出如下定义:若则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如:点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(﹣2,5)的“横负纵变点”为(﹣2,﹣5).问题:(1)点的“横负纵变点”为,点的“横负纵变点”为;(2)化简:;(3)已知a为常数(1≤a≤2),点M(,m)是关于x的函数图像上的一点,点M’是点M的“横负纵变点”,求点M’的坐标.【答案】(1),;(2);(3)(﹣,﹣)【解析】解:(1)根据题目意思,∵和,点的“横负纵变点”为,点的“横负纵变点”为,故答案为:,;(2)∵∴;(3)∵,∵点M(,m)是关于x的函数图像上的一点,∴,即:M(,),又∵点M’是点M的“横负纵变点∴M′的坐标为(,).4.(2019·重庆市一中寄宿学校九年级阶段练习)著名数学教育家波利亚曾说:“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则.”阅读下列两则材料,回答问题材料一:平方运算和开方运算是互逆运算,如:a2±2ab+b2=(a±b)2,那么=|a±b|,那么如何将双重二次根式(a>0,b>0,a±2>0)化简呢?如能找到两个数m,n(m>0,n>0),使得(2+()2=a即m+n=a,且使即m•n=b,那么a±2=()2+()2±2=(2∴==|,双重二次根式得以化简.例如化简:.∵3=1+2且2=1×2,∴3+2=()2+()2+2,∴==1+.材料二:在直角坐标系xoy中,对于点P(x,y)和点Q(x,y′)出如下定义:若y′=,则称点Q为点P的“横负纵变点”例如,点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(﹣2,5)的“横负纵变点”为(﹣2,﹣5)问题:(1)请直接写出点(﹣3,﹣2)的“横负纵变点”为;化简=;(2)点M为一次函数y=﹣x+1图象上的点,M′为点M的横负纵变点,已知N(1,1),若M′N=,求点M的坐标;(3)已知b为常数且1≤b≤2,点P在函数y=﹣x2+16(+)(﹣7≤x≤a)的图象上,其“横负纵变点”的纵坐标y′的取值范围是﹣32<y′≤32,若a为偶数,求a的值.【答案】(1)(﹣3,2);﹣;(2)当a≥0时,M'(3,﹣2);当a<0时,M'(﹣1,﹣2);(3)a=4或a=6解:(1)∵﹣3<0,根据“横负纵变点”的定义,∴(﹣3,﹣2)的“横负纵变点”为(﹣3,2);==﹣;故答案为:(﹣3,2);﹣;(2)设点M(a,1﹣a),当a≥0时,M'(a,1﹣a),∵N(1,1),M′N=,∴(1﹣a)2+a2=13,∴a=3或a=﹣2(舍),∴M'(3,﹣2);当a<0时,M'(a,a﹣1),∵N(1,1),M′N=,∴(1﹣a)2+(2﹣a)2=13,∴a=﹣1或a=4(舍),∴M'(﹣1,﹣2);(3)∵1≤b≤2,∴0≤b﹣1≤1,∵=+1+1﹣=2,∴y=﹣x2+32,∴y'=,当﹣7≤x<0时,﹣32<y'≤17;当x≥0时,y'≤32;令﹣x2+32=17,解得x1=或x2=﹣(舍);令﹣x2+32=﹣32,解得x1=8或x2=﹣8(舍);∴≤a<8,∵a是偶数,∴a=4或a=6.5.(2019·河南·商水县希望初级中学九年级阶段练习)我们知道平方运算和开方运算是互逆运算,如:,那么,那么如何将双重二次根式化简呢?如能找到两个数,使得即,且使即,那么,双重二次根式得以化简;例如化简:;且,由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式,且能找到使得,且,那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题:(1)填空:_________________;__________________;(2)化简:①②(3)计算:【答案】(1);(2);;(3).【解析】试题解析:(1);;(2)①;②=;(3)===.题型九:分式的意义1.(2022·湖南邵阳·八年级期末)下列各式中,无论x为何实数,分式都有意义的是:(

)A. B. C. D.【答案】B∵2x+1=0,∴x=,故x=时,分式无意义,A不符合题意;∵恒大于0,故分式恒意义,B符合题意;∵x=0时,分式无意义,故C不符合题意;∵x=1时,分式无意义,故D不符合题意;故选B.2.(2022·湖北襄阳·一模)函数自变量x的取值范围是_______.【答案】解:由题意得:由①得:由②得:所以不等式组的解集为:所以函数自变量x的取值范围是故答案为:3.(2022·湖北·随州市曾都区教学研究室一模)若代数式有意义,则实数x的取值范围是______.【答案】且解:根据题意得:2-x≥0,且x+1≠0,∴x≤2且x≠1,故答案为:x≤2且x≠1.4.(2022·山东·一模)在函数中,自变量x的取值范围是__________.【答案】x≥2解:∵有意义,∴x−2≥0且x+1≠0,∴自变量x的取值范围是x≥2,故答案为:x≥2.题型十:分式的化简求值1.(2022·北京西城·二模)已知,求代数式的值.【答案】,解:==,∵x2+x-5=0,∴x2+x=5,∴3x2+3x=15,当3x2+3x=15时,原式=,2.(2022·广西百色·二模)先化简,再求值:,从-1,1,2这三个数中选择一个你认为适合的x代入求值.【答案】,当时,1解:原式,∵,∴,-1,∴,当时,原式.3.(2022·江苏扬州·二模)先化简,再求值:,其中.【答案】,1+解:原式,代入得.4.(2022·湖南邵阳·三模)先化简,再求值:,其中.【答案】;解:原式===当时,原式==.5.(2022·安徽合肥·二模)先化简,再求值:,其中.【答案】;2.解:原式,当时,原式.题型十一:分式的基本性质1.(2022·河北唐山·一模)以下是甲、乙、丙、丁四位同学做的题,甲:计算时,去分母,同乘于,得.乙:对于分式,利用分式基本性质,可得,.丙:由,解得.丁:中a、b的值都扩大到原来的2倍,所得分式的值扩大到原来的4倍.则针对以上解法,下列说法正确的是(

)A.只有丙正确 B.只有丁正确 C.甲、乙都正确 D.丙、丁都正确【答案】A解:甲:分式不能直接去分母,只能通分,所以甲错误;乙:分式的基本性质是:分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变,不是加减,所以乙错误;丙:,,,经检验,是原方程的根,所以丙正确;丁:将中a、b的值都扩大到原来的2倍,可得:,即所得分式的值扩大到原来的2倍,故丁错误;所以只有丙正确.故选A.2.(2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末)如果把分式中的和都扩大2倍,那么分式的值

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